+ 1. La función del tercer tramo es un polinomio (una constante) que tampoco da problemas en ningún punto.

Transcripción

1 1.- Considerad la función: x + 4 x para x f(x) = 12x 36 x para 0 < x < para x 3 a) Estudiar, en todos los puntos del dominio, la continuidad de f. b) Estudiar, en todos los puntos donde sea continua, la derivabilidad de f. c) Indicar las ecuaciones de todas las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas) que tenga f. a) La función del primer tramo es un cociente de polinomios cuyo denominador no se anula nunca, por lo que no da problemas y será continua siempre. La función del segundo tramo es un cociente de polinomios cuyo denominador sí se anula, pero lo hace en los puntos -3 y 3, que están fuera de la zona de definición de este tramo, por lo que tampoco nos da problemas y es continua en el tramo. La función del tercer tramo es un polinomio (una constante) que tampoco da problemas en ningún punto. Por lo tanto, sólo nos queda comprobar los puntos de empalme de la función. Es decir: Miramos la continuidad en x=0. x + 4 f(x) = x + 1 = = 4 1 = 4 f(x) = Por lo que la función es continua en x=0. Miramos la continuidad en x=3. f(x) = 12x 36 x 9 = = 36 9 = 4 12x 36 x 9 = Que es una indeterminación. La resolvemos descomponiendo los polinomios (sabemos que los dos tienen el factor (x-3), por lo que la descomposición es fácil): f(x) = 12x 36 x 9 = 0 0 = 12 (x 3) (x 3)(x + 3) = 12 (x + 3) = = 12 6 = 2 f(x) = 2 = 2 Por lo tanto, la función también es continua en x=3. Por lo tanto, la función es continua en todo R.

2 b) Para estudiar la derivabilidad, hacemos la derivada d la función y estudiamos cada caso por separado: f (x) = 1 (x + 1) (x + 4) 2x (x + 1) 12 (x 9) (12x 36) 2x (x 9) = x + 1 2x 8x (x + 1) = x 8x + 1 (x + 1) para x 0 = 12x x + 72x (x 9) = 12x + 72x 108 (x 9) 0 < x < 3 0 para x 3 La función del primer tramo es un cociente de polinomios cuyo denominador no se anula nunca, por lo que no da problemas y será derivable siempre. La función del segundo tramo es un cociente de polinomios cuyo denominador sí se anula, pero lo hace en los puntos -3 y 3, que están fuera de la zona de definición de este tramo, por lo que tampoco nos da problemas y es derivable en el tramo. La función del tercer tramo es un polinomio (una constante) que tampoco da problemas en ningún punto. Por lo tanto, sólo nos queda comprobar los puntos de empalme de la función. Es decir: f (x) = x 8x + 1 (x + 1) = 1 1 = 1 1 = 1 12x + 72x f (x) = (x 9) = (0 9) = = 4 3 = 1,333 Por lo tanto, la función no es derivable en x=0. Miramos la derivabilidad en x=3. f (x) = 12x + 72x (x 9) = (9 9) = 0 0 Que vuelve a ser una indeterminación. Sabemos que ambos polinomios (numerador y denominador) son divisibles por (x-3), por lo que, descomponiendo, tenemos que: Por lo que: 12x + 72x 108 = 0 x = 72 ± 72 4 ( 12) ( 108) 2 ( 12) = 72 ± = 72 ± x + 72x 108 = 12 (x 3) Y además, en el denominador tenemos que: = 3 (raíz doble)

3 Con lo que tenemos que: f (x) = (x 9) = [(x 3) (x + 3)] = (x 3) (x + 3) 12x + 72x 108 (x 9) = 1 3 = 0,333 Por otro lado tenemos que: 12 (x 3) = (x 3) = = (x + 3) (x + 3) 36 f (x) = 0 = 0 Por lo que tampoco es derivable en x=3. Así que la función es derivable en R-{0, 3}. c) Miramos primero las asíntotas verticales, que ya sabemos que no hay, ya que la función no se hace infinita nunca (bueno, la segunda función sí se hace infinita, pero fuera del intervalo en donde está definida). Miramos las asíntotas horizontales. Primero en : f(x) = x + 4 x + 1 = Que es una indeterminación. La podemos resolver de varias maneras (por ejemplo L Hopital) pero es más rápido comparando infinitos. Como abajo tenemos un término al cuadrado y arriba lo tenemos sólo lineal, es más fuerte el término del denominador, por lo que la indeterminación da 0. Así que tenemos una asíntota horizontal por la izquierda en y=0. Miramos ahora en + : f(x) = 2 = 2 Por lo tanto, tenemos una asíntota horizontal por la derecha en y=2. Y como tenemos asíntotas horizontales, no hace falta buscar oblicuas. 2.- Considerar las funciones: f(x) = x e g(x) = x e a) Calcular la primitiva de la función f(x), denotada por F(x), que verifica F(2) = 0. b) Calcular los extremos relativos de la función g(x).

4 a) Para calcular la primitiva pedida usaremos la fórmula de la integración por partes, haciendo: u = x du = dx F(x) = f(x) dx = x e dx dv = e dx v = e dx = e Por lo tanto, tenemos que: F(x) = x e e dx = x e e = e (x 1) + C Como que nos dicen que F(2)=0 resulta que: 0 = F(2) = e (2 1) + C = e + C C = e Por lo tanto, la primitiva pedida es: F(x) = e (x 1) e b) Para calcular los extremos relativos de la función g(x) necesitamos su derivada e igualarla a cero, así que: e = 0 No pasa nunca 0 = g (x) = 2x e + x e = e (x + 2x) x + 2x = 0 x = 0 x = 2 Por lo tanto, ya tenemos los dos puntos candidatos a extremo. Para saber si son máximos o mínimos tenemos dos opciones: Dar valores o hacer la segunda derivada. Los dos son igual de válidos, pero me parece más matemático hacerlo de la segunda manera, así que. g (x) = e (x + 2x) + e (2x + 2) = e (x + 4x + 2) Para saber qué tipo de extremo son, sustituyo los valores obtenidos: g (0) = e ( ) = 2 > 0 mínimo g ( 2) = e (( 2) + 4 ( 2) + 2) = e = 2 = 0,27067 < 0 máximo e Como además la función g(x) es el producto de dos funciones que son continuas y derivables en todo R, no tenemos que buscar puntos especiales, así que, ya hemos terminado. 3.- Pretendemos calcular el valor de la integral: x sin x dx aproximando la función f(x) = x sin(x) por su polinomio de Taylor de orden 4 alrededor del 0.

5 a) Cuál es este polinomio, P (x)? b) Según la expresión del residuo de Taylor, qué error podríamos llegar a cometer con la aproximación de f(x) porp (x)? c) Si sustituimos f(x) por este polinomio, qué valor tiene la integral? Si en el apartado (a) no habéis calculado el polinomio, usad P(x) = x x + 5 para contestar este apartado. a) Para calcular el polinomio de grado 4 necesitamos el valor de f(x) y de sus 4 primeras derivadas en x=0, por lo tanto. f(0) = 0 sin 0 = 0 0 = 0 f (x) = 1 sin x + x cos x = sin x + x cos x f (0) = sin cos 0 = = = 0 f (x) = cos x + 1 cos x + x ( sin x) = 2 cos x x sin x f (0) = 2 cos 0 0 sin 0 = = 2 f (x) = 2 ( sin x) 1 sin x x cos x = 3 sin x x cos x f (0) = 3 sin 0 0 cos 0 = = 0 0 = 0 f (x) = 3 cos x 1 cos x x ( sin x) = x sin x 4 cos x f (0) = 0 sin 0 4 cos 0 = = 4 Por lo tanto, el polinomio de Taylor de orden 4 queda como: P, (x) = ! x + 2 2! x + 0 3! x + 4 4! x = x x 6 b) Para acotar el error, necesitamos una derivada más: La fórmula del error es: f (x) = 1 sin x + x cos x 4 ( sin x) = 5 sin x + x cos x Por lo tanto el error cometido será: R, (x) = f (c) x con c (0, x) 5! 5 sin c + c cos c R, (x) = x con c (0, x) 5! Y dependerá de en qué punto x aproximemos. Pero como que nos dicen que queremos hacer la integral entre -1 y 1, ese será nuestro intervalo de aplicación de la aproximación, por lo que el error máximo será (acotamos las funciones trigonométricas por 1 y el valor máximo de x será 1): 5 sin c + c cos c R, (x) = 5! x = = 1 20 = 0,05

6 c) Al sustituir la función por el polinomio, el valor que obtenemos es: I = x sin x dx x x 6 = ( 1) 30 3 dx = x x 5 ( 1) = 0,3 ( 0,3) = 0,6 30 Abrimos un pequeño paréntesis para verificar un par de detalles. El primero es comprobar que la función realmente queda aproximada por el polinomio, por ejemplo al calcular f(1). Tenemos: El error cometido es: f(1) = 1 sin 1 = 1 0,84147 = 0,84147 f(1) = = 1 0, = 0,83333 ε = f(1) f(1) = 0, ,83333 = 0,00814 < 0,05 Que ya vemos que es menor que la cota que habíamos encontrado. Por otro lado, para ver si la integral aproximada se parece a la integral calculada con la función, hagamos la integral por partes: u = x du = dx x sin x dx = dv = sin x dx v = sin x dx = cos x = x ( cos x) cos x dx = x cos x + sin x = sin x x cos x Por lo tanto, la integral definida valdrá: x sin x dx = sin x x cos x = (sin 1 1 cos 1) (sin( 1) ( 1) cos( 1)) = (0, ,54030) ( 0,84147 ( 1) 0,54030) = 0,30117 ( 0,30117) = 0,60234 Y el error cometido al calcular la integral es: ε = Integral Integral = 0,6 0,60234 = 0,00236 Que, aunque no tengamos ninguna cota para este valor, ya vemos que es una aproximación bastante buena.. Y cerramos el paréntesis.

7 4.- Considerar un triángulo isósceles, ver figura, que tiene base 2 y cm. y longitud de los lados iguales x cm. a) Justificar que la fórmula para el área de este triángulo, en función de la base y de los lados, es: A = 1 2 2y x y = (xy) y b) Escribir la fórmula del perímetro (suma de los 3 lados) de este triángulo, en función de x e y. c) Si el perímetro del triángulo es de 30 cm, calcular las dimensiones (base y lado) del triángulo que tiene área máxima. x x y y a) Para calcular el área del triángulo, necesitamos la longitud de la base y la altura. La longitud de la base no es problema, ya que será 2 y, mientras que para la altura tenemos que aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo formado por la altura, x e y, es decir: x = h + y h = x y Por lo tanto, el área del triángulo pedida es: A = y x y Que, si metemos la y dentro de la raíz, nos queda: A = y (x y ) = y x y = (xy) y b) El perímetro del triángulo valdrá: P(x, y) = 2y + 2x = 2 (x + y)

8 c) Como que nos dan el valor del perímetro, ya tenemos una relación entre x e y: 30 = 2 (x + y) 15 = x + y x = 15 y Y ahora ya podemos sustituir en la ecuación del área para tenerlo todo en función de una única variable: A(x, y) = y x y A(y) = (15 y) y y = ( y + y ) y y = 225 y 30 y + y y = 225y 30y = (225y 30y ) Ahora hacemos la derivada y la igualamos a cero y tenemos que: 0 = 1 2 (225y 30y ) (225 2 y 30 3 y 450y 90y ) = 2 225y 30y Para que esta expresión sea 0, ha de valer 0 el numerador, así que tenemos que: y = 0 450y 90y = 0 y = = 5 El primer valor no es solución, ya que convertiría nuestro triángulo en un segmento sin área y de longitud x = 15. Pero el segundo valor sí que nos da el triángulo de área máxima. Así, si tomamos y=5, tenemos que: Los otros lados miden: El área máxima valdrá: Base = 2 y = 2 5 = 10 cm x = 15 y = 15 5 = 10 cm A = y x y = = = 1875 = 43,3 cm Y la altura valdrá: h = x y = 10 5 = = 75 = 8,66 cm