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Transcripción

1 1. Considera la función definida por f(x) =. a. Descompón la función en fracciones simples. Recuerda que las posibles raíces enteras de un polinomio son los divisores del término independiente. b. Calcula la primitiva (x) de la función (x) que cumple que (0)=0. c. Calcula el área de la región determinada por la gráfica de la función f(x), el eje horizontal y las rectas verticales x=0 y x=100. a.- Lo primero es encontrar las raíces del polinomio del denominador, por lo tanto aplicamos Ruffini. Como todos los coeficientes son positivos, ya vemos que no debemos ensayar valores positivos. Como además el término independiente es 245, probamos sólo con sus divisores es decir, -1, -5, -7, -5, -49. Empezamos con -1: No es raíz. Probamos con -5: Y ahora resolvemos el polinomio que nos queda con la fórmula de Cardano-Vieta o bien directamente, al reconocer un producto notable, en este caso (x + 7). Por lo tanto, tenemos que: x + 19x + 119x = (x + 5) (x + 7) Por lo tanto, ya podemos plantear nuestra descomposición en fracciones simples: x 5x + 12 x + 19x + 119x = A x B x c (x + 7) Al reducir a común denominador e igualar los numeradores tenemos que: x 5x + 12 = A (x + 7) + B (x + 5) (x + 7) + C (x + 5) Damos valores a ambos polinomios y tenemos que, para x=-5 nos queda: ( 5) 5 ( 5) + 12 = A ( 5 + 7) + B 0 + C 0

2 Si damos el valor x=-7 tenemos: = 4A 12 = 4A A = 12 4 = ( 7) 5 ( 7) + 12 = A 0 + B 0 + C ( 7 + 5) = 2C 2 = 2C C = 1 1 = 1 Ahora sólo nos queda encontrar B, pero si nos fijamos bien, el coeficiente de x es muy fácil de calcular ya que sólo intervienen los dos primeros sumandos, por lo que tenemos que: 1 = A + B 1 = + B B = 4 Por lo tanto, nuestra fracción original se descompone como: x 5x + 12 x + 19x + 119x = x x (x + 7) b.- Para calcular la primitiva, hacemos uso de la descomposición en fracciones simples: x 5x + 12 F(x) = x + 19x + 119x dx = x x (x + 7) dx = dx x dx x dx (x + 7) Las dos primeras integrales son inmediatas, mientras que la segunda es prácticamente inmediata, basta con hacer el cambio t=x+7, con lo que nos queda: Así nuestra primitiva queda: dx dt = (x + 7) t = t dt = t = t 1 = 1 t = 1 x + 7 F(x) = ln x ln x x Cte. Como nos piden que F(0) = 0, al sustituir tenemos que: 0 = F(0) = ln ln Cte. = ln 5 4 ln Cte. Por lo tanto, la primitiva buscada es: = 1, ,9459 0, Cte. = 4,8282 7,786 0, Cte. =, Cte. Cte. =,0982 F(x) = ln x ln x x + 7 +,0982

3 c.- Para hallar el área pedida hay que hacer la integral definida entre 0 y 100, pero hay que tener en cuenta si la función corta o no al eje. Resolvemos: x 5x + 12 = 0 x = 5 ± = 5 ± 7 2 = 6,772 1,772 Por lo tanto, hemos de hacer la integral dividida en dos trozos, de 0 a 1,772 y de 1,772 a 100. Ccomo que ya tenemos calculada F(x) nos queda: S = x 5x + 12 x + 19x dx + 119x =, x 5x + 12 x + 19x dx + 119x = F(1,772) F(0) + F(1,772) F(100) = ln 1, ln 1, , x 5x + 12 x + 19x dx + 119x , ,0982 ln ln , ln 1, ln 1, , ,0982 ln ln = (5,784 8,686 0,1140 +,0982) , (5,784 8,686 0,1140 +,0982) (1, ,691 0,009 +,0982) = 0, ,06 28,595 = 0,06 + 1,6768 = 1, Dada la función f(x) = x (1 x) a. Determina su dominio y sus asíntotas. b. Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función. c. Calcula los extremos relativos de la función. d. Halla sus extremos absolutos en el intervalo [ 1,]. a.- Al tratarse de una raíz cúbica no tenemos problemas con lo que hay dentro de la raíz. Como lo de dentro es un producto de polinomios, el dominio son todos los reales. Como no hay puntos especiales del dominio, no hay asíntotas verticales. Falta ver los límites en el infinito, que son: x2 (1 x) = 2 (1 ) = ( ) = = x2 (1 x) = ( ) (1 ( )) = = = Por lo que no hay asíntotas horizontales. Falta mirar las oblicuas. Calculamos:

4 f(x) m = x = x 2 (1 x) x = 1 = x2 (1 x) = x2 x x = 2 x x x x = 1 1 Donde hemos aplicado el método de comparación de infinitos para resolver la indeterminación. Ahora buscamos b haciendo: b = [f(x) mx] = x 2 (1 x) ( 1) x = x + x 2 (1 x) = Para resolver la indeterminación, utilizamos la fórmula: a + b = (a + b) (a ab + b ) Donde a es x y b la raíz cúbica.por lo tanto, multiplicamos arriba y abajo por: Y nos queda: x x x (1 x) + x (1 x) b = x + x 2 (1 x) x 2 x x 2 (1 x) x 2 x x 2 (1 x) + x 4 (1 x) 2 + x 4 (1 x) 2 Así lo de arriba nos queda a + b, es decir, que tenemos: b = x + x (1 x) x 2 x x 2 (1 x) = x 2 x 5 x 6 + x 4 (1 x) 2 x = + x 4 2x 5 + x 6 x 2 x 5 (1 x) x + x (1 x) + x 4 (1 2x + x 2 ) Ahora hemos de fijarnos en los coeficientes de los términos de mayor grado que son. Los términos en x (o los que dentro de la raíz están elevados a la sexta). Arriba tenemos un único término con coeficiente 1. Y abajo tenemos tres términos con coeficientes 1, -(-1) y 1, por lo tanto tenemos que: b = 1 1 ( 1) + 1 = 1 Por lo tanto hay una asíntota oblicua en y=-x + 1/. b.- La función es continua en todos los reales. Falta mirar su derivabilidad. Calculemos f (x).

5 f (x) = x 2 (1 x) = (x 2 x ) = 1 x2 (1 x) (2x x ) = 2x x x 2 (1 x) Esta función existirá siempre que no se anule el denominador, es decir, siempre que no se cumpla que: Por lo tanto f(x) es derivable en: x 2 (1 x) = 0 x 2 (1 x) x = 0 x = 1 R {0, 1} Vamos a calcular la imagen de estos dos puntos especiales : f(0) = 0 (1 0) f(1) = 1 (1 1) = 0 (0,0) = 0 (1,0) c.- Los extremos relativos se encuentran donde se anula la derivada o en los puntos especiales (en este caso x=0 y x=1), es decir: 2x x x 2 (1 x) x = 0 = 0 2x x = 0 x (2 x) = 0 x = 2 Ya sabemos que el cero nos da problemas, vamos a calcular el límite de la derivada cuando x tiende a cero, a ver qué sale: 2x x f (x) = x 2 (1 x) = = 0 0 Para resolver la indeterminación reagrupamos términos, y nos queda: x (2 x) f (x) = x (1 x) = x (2 x) x x (1 x) = (2 x) x (1 x) = 2 0 = Por lo tanto, tiene pendiente vertical, pero si miramos los valores de la derivada a izquierda y derecha del cero tenemos que. f ( 0,1) = 2 ( 0,1) ( 0,1) ( 0,1) 2 (1 ( 0,1)) = 0,2 0,1484 = 1,55

6 f (0,1) = 2 0,1 (0,1) (0,1) 2 (1 0,1) = 0,17 0,1298 = 1,1 Por lo tanto, tenemos un punto anguloso con pendiente infinita que se corresponde con un mínimo (algo así como el pico inferior de una V). En x=2/ tenemos un candidato a extremo. Miramos los signos a izquierda y derecha del punto y tenemos: f (0,6) = f (0,7) = 2 0,6 (0,6) (0,6) 2 (1 0,6) 2 0,7 (0,7) (0,7) 2 (1 0,7) Por lo tanto, se trata de un máximo. Calculamos su imagen: = 0,12 0,8242 = 0,1456 > 0 = 0,07 0,856 = 0,088 < 0 El máximo está en (0,6667, 0,5291). f 2 = = 0,5291 Para acabar de entender qué pasa, sólo nos quedaría mirar los signos de la derivada a izquierda y derecha del 1, así que: f (0,9) = f (1,1) = 2 0,9 (0,9) (0,9) 2 (1 0,9) 2 1,1 (1,1) (1,1) 2 (1 1,1) = 0,6 0,5616 = 1,1217 < 0 = 1,4 0,528 = 4.05 < 0 Por lo que en x=1 lo que pasa es que la pendiente se hace infinita (vertical) para luego volver atrás y seguir siendo negativa. Ahora ya podemos dibujar aproximadamente la curva. Intentaré reflejar todo lo visto hasta ahora, es decir, la asíntota oblicua, el punto anguloso con pendiente vertical del cero, el máximo de 2/ y el punto con pendiente vertical en x=1. Queda algo parecido a:

7 d.- En el intervalo [-1, ] tenemos nuestro mínimo y nuestro máximo relativo (aunque uno tenga pendiente infinita en vez de horizontal), nos falta ver qué valores toman los extremos del intervalo: f( 1) = ( 1) (1 ( 1)) f() = (1 ) = 1 2 = 18 = 2 = 2,62 = 1,2599 Como ya se podía adivinar de nuestro dibujo, los extremos absolutos son precisamente los extremos del intervalo:. Dada la función f(x) = max x, ( 1, 1,2599) es un máximo absoluto del intervalo (, 2,62) es un mínimo absoluto del intervalo a. Estudia cuando la función x es mayor que la función una función definida a trozos. y expresa la función f(x) como b. Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función y calcula su derivada cuando sea posible.

8 c. Determina los máximos y mínimos relativos y clasifícalos según correspondan a puntos de no derivabilidad o puntos con derivada cero. d. Halla los extremos absolutos de la función en el intervalo [ 2,2]. a.- Empezamos resolviendo la inecuación: x > x x + x > 6 x + x 6 > 0 Al tratarse de una ecuación bicuadrada (con sólo términos de grado 4 y de grado 2) se resuelve haciendo el cambio x = t, con lo que nos queda: t + t 6 > 0 Resolvemos mediante Cardano-Vieta la versión igualada y tenemos que: t = 1 ± ( 6) 2 1 Ahora hay que deshacer el cambio y tenemos: = 1 ± 25 2 = 1 ± x = ± t = = 4 = 2 2 = = = Por lo tanto, sólo hay dos puntos de corte, lo que significa que nuestra recta real queda dividida en tres intervalos (-, - 2), (- 2, 2) y ( 2, ). Vamos a ver los signos de la función en cada intervalo. f( 2) = ( 2) + ( 2) 6 = = 14 > 0 f(0) = = 6 < 0 f(2) = = = 14 > 0 Por lo tanto la función definida a trozos queda como: f(x) = x para < x < 2 6 para 2 < x < x x para 2 < x < Como que la función está definida en los puntos de cambio, hay que decidir arbitrariamente en qué sitios se pone < y en qué sitios se pone, por lo que finalmente queda:

9 x para < x 2 6 f(x) = para 2 < x < x x para 2 x < b.- Como que la función está definida mediante un polinomio y un cociente de polinomios cuyo denominador no se anula nunca, la función existe en todos sitios y será continua en todos sitios. Falta mirar los puntos de unión, por lo que hay que hacer los límites por la izquierda y la derecha en ambos puntos: f(x) = f(x) = Por lo tanto es continua en x=- 2. Miramos el otro punto: x = 2 = x = = = 2 6 f(x) = 1 + x = = = 2 Por lo tanto es continua para todos los reales. f(x) = x = 2 = 2 Para estudiar la derivabilidad, hacemos la derivada por trozos, y nos queda: f (x) = 2x para < x 2 0 (1 + x ) 6 2x (1 + x ) = 2x 12x (1 + x para 2 < x < 2 ) para 2 x < Igual que pasaba antes, como son polinomios o fracciones que nunca anulan el denominador, sólo hemos de mirar los puntos de unión. Hacemos los límites laterales en ambos puntos: f (x) = f (x) = 2x = 2 2 = x (1 + x ) = = = = 4 2 (1 + 2) 9 Por lo tanto, no es derivable en x=- 2. Veamos el otro punto de unión: f(x) = 12x (1 + x ) = = = (1 + 2) 9 = 4 2

10 Por lo tanto, la función es derivable en: f (x) = 2x = 2 2 = 2 2 R { 2, 2} c.- Para calcular los extremos relativos, igualamos la derivada a cero y tenemos: 2x = 0 x = 0 para < x 2 2 x <. No pertenece al intervalo 12x (1 + x = 0 ) 12x = 0 x = 0 para 2 < x < 2 Por lo tanto sólo hay un extremo en x=0. Calculemos la imagen de x=0: f(0) = = 6 El extremo es el punto (0, 6). Para saber si es máximo o mínimo podemos calcular la segunda derivada o mirar los signos de f (x) a izquierda y derecha del cero. f ( 0,1) = f (0,1) = 12 ( 0,1) (1 + ( 0,1) ) = 1,2 1,2 = (1 + 0,01) 1,0201 = 1,176 > 0 12 (0,1) (1 + (0,1) ) = 1,2 1,2 = (1 + 0,01) 1,0201 = 1,176 < 0 Por lo tanto, tenemos un máximo en (0, 6), y se trata de un máximo de derivada igual a cero. Nos falta por mirar el comportamiento de la derivada en los puntos especiales, es decir en 2 y en 2. Al calcular los límites de f (x) cuando x tiende a - 2 ya hemos visto que por la izquierda es negativo y por la derecha es positivo, por lo tanto, tenemos un mínimo en (- 2, 2). Por otro lado, al estudiar los límites de f (x) cuando x tiende a 2 también hemos obtenido que por la izquierda es negativo y por la derecha positivo, por lo que también tenemos un mínimo en ( 2, 2). En ambos casos se trata de mínimos de puntos de no derivabilidad. d.- Para hallar los extremos absolutos en el intervalo [-2, 2] necesitamos (aparte del máximo y los mínimos que ya hemos encontrado), los valores de la función en los puntos extremos del intervalo. Así que calculamos: f( 2) = ( 2) = 4 f(2) = 2 = 4 Por lo tanto, estudiando los puntos mencionados, tenemos que: Hay un máximo absoluto y relativo en (0, 6) Hay dos mínimos absolutos y relativos en 2, 2y ( 2, 2)

11 Al dibujar la función queda algo parecido a: 4. Una habitación tiene forma de prisma recto con base cuadrada de volumen 27 m. Puesto que el aire caliente sube, la pérdida de calor por unidad de área a través del techo es 5 veces mayor que la pérdida de calor a través del suelo por unidad de área. La pérdida de calor a través de las paredes es veces mayor que la pérdida de calor a través del suelo por unidad de área. Determina las dimensiones de la habitación que minimizan la pérdida de calor y en consecuencia los costes de calefacción. Llamaremos x al lado de la base cuadrada e y a la altura de la habitación, por lo tanto sabemos que: x y = 27 y = 27 x La pérdida de calor por el suelo es proporcional a su superficie, por lo tanto tenemos que, para una constante de proporcionalidad k>0, tenemos que: PC = k x La de las paredes es proporcional a la superficie de las paredes, pero con un coeficiente k, por lo tanto:

12 12 k x 27 PC = k (4 x y) = x = 24k x La del techo será: PC = 5k x Por lo tanto, la pérdida total será: PC = k x + 24k x + 5k x = k 6x + 24 x Para hallar el valor de x que minimiza la pérdida de calor, derivamos e igualamos a cero, teniendo en cuenta que k es una constante: = k 12x = 0 12x x x = 0 12x = 24 x = PC = 27 = Por tanto, la pérdida mínima se producirá con la habitación cúbica de m de lado. Lo único que no está demostrado es que se trata de un mínimo, pero eso es muy sencillo. Calculamos la segunda derivada y tenemos: Y calculamos su valor para x=, es decir: PC (x) = k x = k 12x x PC () = k = k 972 = 6k > 0 Se trata de un mínimo Mediante el programa Modellus define el siguiente Modelo Matemático: dy dt dx dt = bxy = bxy cy dz dt = cy Donde t (tiempo) es la variable independiente y b y c son dos parámetros. La solución son tres funciones del tiempo x(t), y(t), z(t). Considera c=10 y las siguientes condiciones iniciales para t=0: x(0) y(0) z(0)

13 a.- Calcula la solución x(t), y(t), z(t) en el tiempo t=2 para cada valor del parámetro b=0, y b= 0,1. Escoge un paso de tiempo t = 0,01 y realiza una tabla de valores. b.- Dibuja en un mismo gráfico las tres componentes de la solución x(t), y(t), z(t) para valores de tiempo entre 0 y 2 con b=0,6 y con la condición inicial x(0) = 95, y(0) = 5, z(0) = 0. Marca la opción en la pestaña Gráfico Escala automática. c.- Podrías decir cuánto vale la suma de las tres cantidades x(t), y(t), z(t) en todo momento? Justifica tu respuesta. a.- Para el caso b=0, la solución obtenida es: x = 4,57 y = 0 z = 95,4 Para el caso b=0,1 los resultados son: x = 47,17 y = 0 z = 52,8 b.- El gráfico queda así: c.- La suma vale siempre 100 ya que el incremento de x es siempre igual al decremento de y + decremento de z, por lo que se van compensando incrementos y menguas.