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Julia Cabrera Toro
hace 6 años
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1 1.- Considerad la función: f(x) x + 3x + 1 x + 3 a) Determinad si la función tiene una asíntota oblicua y, en caso de tenerla, calculad su ecuación. b) Calculad la recta tangente a la función en el punto x 0. c) Calculad el área de la región delimitada por la recta tangente a la función en el punto x 0, la propia función f(x) y las rectas verticales x 0 y x 10. Ayuda: La función y la recta tangente no se cortan en el intervalo [0; 10]. a) Lo primero que hacemos es calcular el límite correspondiente a la pendiente de la asíntota. f(x) m lim x lim x + 3x + 1 x + 3 x lim x + 3x + 1 x + 3x Y este límite lo podemos resolver por L Hôpital o por comparación de infinitos, y nos queda m1. Por lo tanto, sí que tenemos una asíntota oblicua. Ahora nos falta encontrar el punto de corte con el eje y, es decir: b lim [f(x) m x] lim x + 3x + 1 x + 3 Por lo tanto, la asíntota pedida es y x. x lim x + 3x + 1 x + 3 lim x + 3x + 1 x 3x 1 lim x + 3 x b) Vamos a calcular la imagen de la función en el punto pedido. Es decir: f(0) x + 3x x + 3 Así que el punto en el que nos piden que calculemos la recta tangente es el 0,. Aplicamos la fórmula: y y m (x x ) Para eso hemos de calcular mf (0), por lo que hacemos: f (x) (2x + 3) (x + 3) (x + 3x + 1) 1 (x + 3) 2x + 6x + 3x + 9 x 3x 1 (x + 3) x + 3x + 8 (x + 3) Y tenemos:

2 f (0) (0 + 3) 8 9 Por tanto: y (x 0) y 8 9 x c) Como que nos dicen que la función y la recta no se cortan (aparte de la tangencia en x0) podemos hacer la integral de 0 a 10 de la resta de ambas y el resultado (en valor absoluto porque no sabemos cuál va por arriba y cuál va por abajo) será el resultado. Si queremos asegurarnos, tomamos un punto intermedio (como por ejemplo x5) y miramos cuál va por arriba. El valor de la recta en x5 será: f(5) y ,778 Por lo tanto, la función va por arriba y hemos de calcular: ,125 S f(x) 8 9 x 1 3 dx x + 3x x x 1 3 dx x + 3x + 1 8x + 3 dx x x + 27x + 9 (8x + 3)(x + 3) dx 9(x + 3) 9(x + 3) 9x + 27x + 9 8x 24x 3x 9 dx 9(x + 3) 1 9 x dx x + 3 x 9(x + 3) dx La integral se ha simplificado mucho. Ahora se trata sólo de hacer una racional, pero OJO, que el grado del numerador es mayor que el del denominador, por lo que hemos de hacer primero la división. Usamos Ruffini: Por lo que tenemos que: Y la integral se transforma en: x 9 (x 3) + x + 3 x + 3

3 S 1 9 (x 3) + 9 x + 3 dx 1 9 x 2 3x + 9 ln x ln ln {[ ln 13] [9 ln 3]} ln 13 2, , ,6885 u 2.- Considerad la función: f(x) 2 e x a) Determinad el dominio de la función. b) Calculad la primitiva de f(x), denotada por F(x), que verifica que F(1) 0. c) Calculad los extremos relativos de la nueva función g(x) x f(x) y clasificadlos. a) Para analizar el dominio de la función, lo primero es mirar a ver qué pinta tiene. Vemos que es un producto de dos funciones: La primera es un cociente y la segunda una exponencial. Si miramos la primera (el cociente) lo que hay que verificar es que lo de abajo nunca se haga cero. Por lo tanto tenemos que la función nos dará problemas si: x 0 x 0 Por otro lado, la exponencial existe siempre, pero hay que mirar que el exponente exista. Ahí nos encontramos con el mismo problema que antes: el exponente es una fracción, por lo que hay que verificar que exista, es decir, que el denominador no se anule. Por tanto, la función también nos dará problemas cuando: Por lo tanto, el dominio será: x 0 x 0 D R {0} b) Para calcular la primitiva pedida hemos de realizar la integral: I 2 e dx x Al principio parece que la tengamos que hacer por partes (tenemos una cosa que es un polinomio multiplicando una exponencial) pero si lo intentamos vamos a ver que se nos complica cada vez más en vez de irse simplificando y es que el polinomio NO es un polinomio de verdad, sino una racional con un polinomio en el denominador. Y eso es una faena. Sin embargo, podemos probar otra cosa. El primer término se parece mucho a la derivada del exponente. qué os sugiere eso?... Vamos a probar con un cambio de variable: Si llamamos:

4 De manera que podemos hacer: t 1 x x dt 2 x dx 2 dx x I 2 e x dx e 2 x dx e dt e + C e + C Ahora ya podemos calcular la primitiva pedida: Y la primitiva pedida es: c) La nueva función es: 0 F(1) e + C e + C C e F(x) e e g(x) x f(x) x ( 2) x e 2x e Esta función se parece bastante a f(x). De entrada, seguimos teniendo un problema de Dominio en x0 (por el exponente) y sigue siendo un producto de funciones, aunque en este caso es más sencillo, ya que el primer factor es un polinomio real. Pasemos a derivar para buscar los extremos: g (x) ( 2) e + ( 2x) e 2 2 e x + 4 e x e 4 2 x Si ahora igualamos a cero tenemos: 0 e 4 x 2 e 0, que no pasa nunca 4 x x x ± 2 Por lo tanto, tenemos dos candidatos a extremos en 2 y en 2. Vamos a ver qué son. Para ello miraremos el valor de la derivada g (x) a ambos lados de cada punto: g 4 ( 2) e() ( 2) 2 e (1 2) 1,284 g 4 ( 1) e() 2 e 2 5,436 ( 1) Por lo tanto, en 2 pasa de ser decreciente a creciente por lo que es un mínimo (de los de derivada cero). g (1) e 4 2 e 2 5,436 1 g (2) e e (1 2) 1,284 Y así, en 2 pasa de creciente a decreciente y es un máximo (de los de derivada cero). Nos falta mirar qué pasa en el entorno del cero, que ya sabemos que es un punto singular. Vamos a mirar el valor de la función en ese punto por ambos lados:

5 lim g(x) lim 2x e 2 0 e( ) 0 e 0 Esto es una indeterminación y, para resolverla, hemos de convertirla en una división de las que resolver por L Hôpital o comparando infinitos..hacemos lo siguiente: lim g(x) lim 2x e lim 2x e lim 2x e ( ) 0 e 0 0 Pero el 0 de abajo es mucho más fuerte que el de arriba, por lo que tenemos que ese límite es iguala a: Veamos el límite por la derecha: lim lim g(x) lim 2x e ( ) 1 0 g(x) lim 2x e 2 0 e( ) 0 e Y que se resuelve igual y nos vuelve a dar: lim g(x) Por lo tanto, no tenemos extremo en el cero y sí una asíntota vertical. 3.- Consideramos un rectángulo que tiene 7 centímetros de diagonal y lados x e y (Ver figura). a) Escribid la función a maximizar, es decir, la función del perímetro en términos de uno sólo de los lados del rectángulo. b) Encontrad qué valores han de tener x e y para que el perímetro sea el mayor posible. a) Está claro que el perímetro será: P(x, y) 2x + 2y Como que nos la piden en función de uno sólo de los lados, hemos de utilizar el teorema de Pitágoras para relacionar uno con el otro. 7 x + y y 49 x y 49 x Y la fórmula del perímetro (ya sólo con x) será: b) Para resolver, derivamos e igualamos a cero: Y se resuelve haciendo: P (x) P(x) 2x x 1 2x ( 2x) 2 49 x 49 x 0

6 2x 2 49 x x 49 x x 49 x 49 2x x 49 2 Como no consideramos las distancias negativas, la respuesta es: x ± 7 2 Y por lo tanto: x 7 2 y 49 x Y el rectángulo de mayor perímetro es un cuadrado. 4.- Sea f(x) 36 + x y considerad que disponéis de una calculadora que sólo puede hacer sumas, restas, productos y divisiones. Dado que , tenemos que f(0) a) Calculad el polinomio de Taylor de orden 2 de la función f alrededor de a 0 y utilizadlo para dar una aproximación de f(2) 38. b) Según la expresión del resto de Taylor, qué orden del polinomio se habría de usar para poder dar una aproximación de 38 con un error inferior a 10-5? a) Para poder calcular el polinomio de Taylor de orden 2 necesitamos el valor de la función y sus dos primeras derivadas en el punto pedido. f(0) f (x) (36 + x) 1 2 (36 + x) x f 1 (0) f (x) (36 + x) 1 f 1 1 (0) 2 4 (36 + x) 4 (36 + 0) 864 Y ahora ya podemos hacer el Polinomio pedido: P, (x) (x 0) + 1! ! (x 0) 6 + x 12 x f(2) P, (2) ,16435 b) Para resolver este apartado necesitamos la fórmula del resto de Taylor: R, (x) f (c) (n + 1)! (x a) con c (a, x) Como en este caso a0 se nos simplifica mucho y tenemos que: R, (x) f (c) (n + 1)! x con c (0, x)

7 Si hacemos la tercera derivada de f ya empezamos a advertir un patrón: f (x) (36 + x) 1 3 (36 + x) 2 2 Y si hacemos la siguiente, creo que ya lo veremos clarísimo.. Y la fórmula general sería: f (x) (36 + x) (36 + x) f (x) ( 1) (2 n 3) 2 (36 + x) () Por lo tanto, la derivada (n+1) será: Y el resto vale: f (x) ( 1) 2 (36 + x) () R, (x) ( 1) ( 1) 2 (36 + x) () 2 (36 + c) () x (n con c (0, x) + 1)! 2 (36 + c) () x con c (0, x) Como que c está abajo, dividiendo, para acotar superiormente este número, tomamos el valor más bajo de c, es decir c0 y como que nos piden que acotemos el error al calcular 38, es decir, para el caso x2, sustituimos y nos queda: R, (2) (n + 1)! 2 (36 + 0) () (n + 1)! (n + 1)! (36) () 2 Y ahora ya nos podemos fabricar la tabla para ver cuál es el valor de n que estamos buscando: n 1 3 (2n-1) (n+1)! 6 R Cumple , No , Si Y con n3 ya cumplimos.

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