CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0300

Transcripción

1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0300 x +5 x + x 3 x 3 Sean fx x ; gx 3x yhx determinar: a D [ f, D g & ] D h f b h x, g h fx g Sea fx x3 x x x 3 x 3x determinar: a Dominio y raíces b Puntos de discontinuidad y clasificación c Ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales d Esbozo gráfico 5 Sea fx 9 5 x5 3x 3 determinar: a Intervalos de monotonía, máximos y mínimos b Intervalos de concavidad y puntos de inflexión c Decir si la función es par o impar d Esbozo gráfico x ; 6 Calcular f x, si fx x + 7 x Además, determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de fx en el punto de coordenadas, 3 7 Un hombre se encuentra en un punto A de la orilla de un río rectilíneo de km de ancho Sea C el punto enfrente de A en la otra orilla El hombre desea llegar a un punto B situado a 8 km a la derecha y en la misma orilla de C El hombre puede remar en su bote cruzando el río hasta el punto D entre B y C Si rema a 6 km/h y corre a 8 km/h a qué distancia debe estar D del punto C, para llegar al punto B lo más pronto posible? canekazcuammx: / 3/ 006

2 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0300 Respuestas x +5 x + Desde luego x + 0, es decir, x, por lo que no pertenece al conjunto solución de la desigualdad Pueden ocurrir entonces dos cosas: o bien x +> 0 o bien x +< 0 Analicemos el caso primero en que x +> 0, es decir, que x> Multiplicando a ambos miembros de la desigualdad por x + se preserva el sentido de la desigualdad; la propuesta es equivalente a x + 5x + x + x + Esto es: x +x +5x +5 x +7x +5 0 x +7x 9 0 Averigüemos cuando x +7x 90 x 7 ± ± 7 ± 8 9, 9, 9, y, +, Hallemos el signo del polinomio fx x +7x 9 en los intervalos tomando un punto en cada uno de ellos, digamos: 5, 9,0 9, y, + Calculamos fx en estos puntos: f > 0, ahora como el polinomio es continuo en R y no es cero en, 9, entonces, en todo el intervalo tiene el mismo signo; luego fx > 0 para x, 9 De la misma manera: f < 0, por lo que fx < 0 para x 9, ; f > 0, de donde se sigue que fx > 0 para x, + Ahora busquemos x> x, +, donde fx x +7x 9 0, es decir, Como se ve en la figura siguiente: x, + [ 9, ], ]

3 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E Considerando ahora que x< x +< 0, al multiplicar a ambos miembros de la desigualdad por x + se invierte el sentido de la desigualdad, y la que tenemos que resolver ahora es: x +5 x + x + 5x + fx x +7x 9 0 Esto es, x, {, 9 ] } [, +, 9 ] Lo anterior se visualiza como sigue: 9 Por lo que en definitiva, el conjunto solución es CS, 9 ], ] 9 Como podremos verificar, 9 y satisfacen la desigualdad propuesta, pues al hacer x 9 & x respectivamente: , y también Pero en cambio, como se demuestra, x & x no la satisfacen: ; x 3 x Esta desigualdad equivale a las dos desigualdades x 3 x, la primera y x 3 x, la segunda, por lo que tenemos que resolver cada una y unir los conjuntos solución resultantes Trasponiendo términos en la primera obtenemos que: x 3 x x +x

4 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0300 Lo cual no ocurre para cualquier x, de lo que se desprende que el conjunto solución de esta desigualdad es el conjunto vacío, Ø Haciendo lo mismo en la segunda tenemos: x 3 x x 3+x x x 3+ x x x [, + Por lo que el conjunto solución es precisamente CS Ø [, + [, + Confirmemos, por ejemplo, que x sí satisface la desigualdad, poniendo en lugar de x, Sean fx x ; gx 3x & hx x ; determinar: a Los siguientes dominios: D f, D g & D h Dominio de f: D f R ; Dominio de g: D g { x R 3x 0 } { x R 3x } { x R x } 3 y, por último: Dominio de h: D h R { x R } { } x 0 R x R x R { } [ ] f b Las funciones: h x & g h fx g [ 3, + ;

5 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E Tenemos que [ ] f h x f g g [hx] f f x g x g x x 6 x x x x x 8 x 6 x x x x x 3 x x 8 x x 6 x + g h fx g hx fx g xhx fx 3x x x 3x x x x 6x + x ++x3 x x x3 x 7x + x Sea fx x3 x x x 3 x 3x determinar: a Dominio y raíces Dominio de f: como fx es una función racional su dominio es el complemento de las raíces del denominador Como x 3 x 3x xx x 30 x 0ox x 30 y como x x 30 x ± + ± 5 ± 5 3, { se tiene entonces que D f R, 0, 3 } Las raíces deben ser los puntos donde se anule el numerador: x 3 x x xx x 6 0 x 0 y también x ± +8 ± 9 ± 7 3 Pero, como 0 D f, entonces las únicas raíces son 3 y b Puntos de discontinuidad y clasificación

6 6 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0300 La función f es discontinua en las raíces del denominador, 0 y 3 Ahítenemos que lím fx x lím x xx x x 3 pues el lím x 3 y el lím x x Y en cambio, el lím x + 3 > 0 x Mientras que el Por otro lado x por último Pues el lím x 3 Y el lím x 3 x + 3 x + x 3 5 lím x x x 3 son negativos lím x x + 0 con valores negativos y el lím lím fx lím x 0 x 0 x 3 x + 3 lím x 3 x 3 x + 3 x + fx lím x 3 y el lím x 3 x 3 3 x + 3 x + 3 x +, x +x + 0 con valores positivos 6 x 3 x + 0 con valores negativos; pero el lím x ± 6 3 ; x + son positivos Además límx < 0 x 3 x 3 0 con valores positivos Luego, x & x 3 son discontinuidades esenciales: específicamente ambas son infinitas; mientras que en x 0 hay una discontinuidad removible c Ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales Por lo que acabamos de ver, las rectas x & x 3 son asíntotas verticales, y para hallar la horizontal calculamos: x 3 lím fx lím x x x ± x ± x 3 x 3 lím x x x ± x x , x luego la recta y es asíntota horizontal d Esbozo gráfico La gráfica de la función fx es

7 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E fx 3 3 x 5 Sea fx 9 5 x5 3x 3, determinar: a Intervalos de monotonía, máximos y mínimos La monotonía de la función nos la da su derivada: f x 9x 9x 9x x 0 x 0óx 0 x 0óx + x 0 x 0óx óx Veamos el signo de la derivada fuera de estos tres puntos críticos, aprovechando el hecho de que es continua en R Los tres puntos críticos dividen al eje real en cuatro subintervalos:,,, 0, 0, y, + Elegimos un punto en cada uno de ellos y determinamos el signo de la derivada en él, que será el mismo que tiene en todo el intervalo, ya que ahí no tiene raíces Así:, f > 0 f x > 0en, fx es creciente en, ;, 0 f < 0 f x < 0en, 0 fx es decreciente en, 0; 0, f < 0 f x < 0 en 0, fx es decreciente en 0, ; y por último,, + f > 0 f x > 0 en, + fx es creciente en, + También de aquí resulta que en x hay un máximo, pues la función pasa de ser creciente a ser decreciente; y en x hay un mínimo, porque ahora la función cambia de decreciente a creciente El mínimo es f Y el máximo es f b Intervalos de concavidad y puntos de inflexión De esto nos habla la segunda derivada: 6, naturalmente, pues la función es impar 5 f x 9x 9x 36x 3 8x 8xx 0 x 0óx 0 x x ± ±

8 8 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0300 Procedamos exactamente igual a como lo hicimos para discernir la monotonía de f Sean:, ;, 0 ; 0, y por último, + ; f < 0 f x < 0en, fx es cóncava hacia abajo en, ; f > 0 f x > 0en, 0 fx es cóncava hacia arriba en, 0 ; f < 0 f x < 0en 0, fx es cóncava hacia abajo en 0, ; f > 0 f x > 0en, + fx es cóncava hacia arriba en, + En x yenx hay puntos de inflexión, ya que en ellos la curva continua cambia el sentido de su concavidad Los puntos de la gráfica de f son: [,f ], 9 / 5 5/ +3 3/, 076 ; [,f [0,f0] 0, 0 ] /, 076 c Decir si la función es par o impar Ya veíamos que era impar d Esbozo gráfico La gráfica de la función fx es

9 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E fx x Calcular f x, si fx x + 7 x Además, determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de fx en el punto de coordenadas, 3 Escribamos: fx [x + 7 x / ] / 8x + f 7 x x x + 7 x 8x 7 x 7 xx + 7 x Luego, la pendiente de la recta tangente en el punto, 3 es f ; y la ecuación de la recta tangente requerida es y x y x y x Observación: el punto, 3 sí pertenece a la gráfica de la función, pues f Un hombre se encuentra en un punto A de la orilla de un río rectilíneo de km de ancho Sea C el punto enfrente de A en la otra orilla El hombre desea llegar a un punto B situado a 8 km a la derecha y en la misma orilla de C El hombre puede remar en su bote cruzando el río hasta el punto D entre B y C Si rema a 6 km/h y corre a 8 km/h a qué distancia debe estar D del punto C, para llegar al punto B lo más pronto posible? Hagamos un bosquejo figurado de la situación:

10 0 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0300 A río x 8 x C D B 8 Queremos hallar x de manera que el tiempo para ir de A a D por el río, y de D a B por la orilla, sea mínimo Por el teorema de Pitágoras AD +x ; entonces, el tiempo empleado para recorrer esta +x distancia es t horas ya que 6 tiempo empleado espacio recorrido espacio recorrido, puesto que velocidad velocidad tiempo empleado El tiempo para recorrer DB es t 8 x horas 8 La función de la que vamos a buscar su máximo es +x T x t + t + 8 x 6 8 Su derivada es T x x 6 +x 8 0 x 6 +x 8 6 +x 8x 36 + x 8 x 6x 36x 8x x x km, es decir, 7 éste es el único punto crítico Calculamos la segunda derivada: 6 +x 6xx T +x x x 6x +x 36 + x +x + 6x 6x 36 + x +x 36 + x +x 3 + x +x Observemos que T > 0 siempre y en particular T 6 > 0, por lo cual existe un mínimo local en x 6 km; podemos considerar que el dominio de la función T es D T [0, 8], pues no tendría sentido desembarcar a la izquierda de C ni más allá de B; luego el mínimo es el menor de los tres números: T h 3 hora; 3 +6 T hora; T hora Luego efectivamente el tiempo mínimo se logra si desembarca a 6 km de C