CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL E1400. (1) 3x 2 x +4 3x 2 +2x 5.

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Gloria Rojo Reyes
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1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL E00 ) x 2 x + x 2 +2x 5 2) 2 x x + ) El número de vibraciones, V ) de una cuerda que vibra es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la tensión T de la cuerda Una cuerda particular vibra a 86 vibraciones por segundo, sometida a una tensión de 2 kg a) Exprese el número de vibraciones de esta cuerda en términos de la tensión T b) Determine el número de vibraciones por segundo V/seg) cuando la cuerda esté sometida a una tensión de 6 kg ) La función f es par, y para x [2, 0] tiene la gráfica de la figura siguiente así como el valor fx) si x 0, + ) fx) x a) Complete la gráfica de f b) Obtenga su dominio, raíces y rango, y además determine a partir de la gráfica completada las soluciones de fx) > 0ydefx) < 0 5) Considere las funciones fx) & gx) x ) x 6 a) Obtenga los dominios de f y g b) Obtenga fórmulas y dominios de las funciones f + g; f g ; f g; g f canekazcuammx: / / 2006

2 2 PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL E00 Respuestas ) x 2 x + x 2 +2x 5 Comenzamos por hallar los conjuntos solución de x 2 x + x 2 +2x yde x 2 +2x 5 Vamos a continuación a intersecarlos, es decir, a hallar los números que satisfacen simultáneamente a ambas desigualdades Para resolver x 2 x + x 2 +2x, traspongamos términos poniendo en el segundo miembro de la desigualdad todos los términos que tienen x de la forma siguiente: x x ; con lo anterior comprobamos que el conjunto solución es, ] La segunda desigualdad x 2 +2x 5 es equivalente a x 2 +2x 5 0 x x 5 ) 0 x ) x + 5 ) 0 x )x +5) 0 Construyamos pues ahora la tabla para esta desigualdad Con ella tenemos Signo de Intervalo x +5 x x 2 +2x 5 x< 5 < ) + 5 <x< + x>> 5 ) x 2 +2x 5 0six, 5 ] [, + ); por último, el sistema de dos desigualdades x 2 x + x 2 +2x 5 se cumple si { x, 5 ] [, + ), ], 5 ] [, ]

3 PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL E00 El diagrama asociado a esta operación es el que mostramos ahora 2) 5 Puedes comprobar, por ejemplo, que 5,y sí satisfacen el sistema de las dos desigualdades, mientras que 0 no cumple la segunda, x 2 +2x 5, pues x x + Sabemos que 2 x x + 2 x x + Para resolver 2 x x + denominadores a) Si x +> 0, es decir, si x>, obtenemos o bien 2 x x + multipliquemos ambos miembros de la desigualdad por x + ) para quitar los 8 2x x + 5 x x 5 por lo que parte del conjunto solución es el intervalo, 5 ] b) En cambio, si x +< 0, es decir, si x< la desigualdad 2 x x + se transforma en 8 2x x + 5 x x 5 ya que se multiplica por un número < 0 pero, no existe un número x que sea menor que y mayor que 5, por lo cual en este caso, el conjunto solución es el conjunto vacío Por lo tanto el conjunto solución de 2 x x + es precisamente, 5 ] Puedes comprobar, por ejemplo, que 5 satisface la igualdad 2 x x + Análogamente procedamos con 2 x x +, multiplicando por x + ) a) Si x +> 0, x>, tenemos que 8 2x x +) 8 2x x x x ; parte del conjunto solución es [, + ) pues si x, también se cumple que x>

4 PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL E00 Comprueba que cumple 2 x x +, pues b) Si x +< 0, x<, la desigualdad se transforma en 8 2x x x x x por lo que parte del conjunto solución es, ) pues si x<, también cumple que x ya que < Luego entonces, el conjunto solución de la desigualdad es 2 x x + es, ) [, + ) Por último, el conjunto solución de 2 x x + es CS, 5 ] [, { ) 5 { + ), ) R, Ahora, su diagrama: 5 Comprueba, por ejemplo, que x 6 no cumple la desigualdad 2 x x y 8 5 pues 2 5 ya que ) El número de vibraciones V ) de una cuerda que vibra es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la tensión T de la cuerda Una cuerda particular vibra a 86 vibraciones por segundo, sometida a una tensión de 2 kg a) Exprese el número de vibraciones de esta cuerda en términos de la tensión T Ya que el V es directamente proporcional a T, entonces existe una constante de proporcionalidad k tal que V k T Para la cuerda en consideración tendremos entonces que 86 k 2 por lo tanto y por último que k ; V 72 6 T 72 6T

5 PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL E00 5 b) Determine el número de vibraciones por segundo V/seg) cuando la cuerda esté sometida a una tensión de 6 kg Si T 6 tendremos que V ) La función f es par, y para x [2, 0] tiene la gráfica de la figura siguiente así como el valor fx) si x 0, + ) fx) x a) Complete la gráfica de f La gráfica completa es: fx) x b) Obtenga su dominio, raíces y rango, y además determine a partir de la gráfica completada las soluciones de fx) > 0ydefx) < 0 Su dominio: D f, ) 2, + ) Raíces: x 8,, & 8 Rango { [, ] La función fx) > 0 x 8, ), ) 2, ), 8) La función fx) < 0 x, 8) 8, + )

6 6 PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL E00 5) Considere las funciones fx) x 6 a) Obtenga los dominios de f y g D f R { x R x 60 Pero como & gx) x ) x 6x 2 + )x 2 )x 2 + )x + 2)x 2) y x 2 +> 0, entonces, D f R, +2); D g { x R x 0 [, + ) b) Obtenga fórmulas y dominios de las funciones f + g; f g ; f g; g f Calculamos: f + g)x) x 6 +x ) ; ) f x) x 6 g x ) x 6)x ) ; D f+g D f Dg { R {, +2 [, + ) D f g [, + ) {2 [, 2) 2, + ); { D f Dg { x R gx) 0 { D f Dg {, 2) 2, + ); f g)x) f[gx)] f[x ) ] x 6 x 7 ; [x ) ] 6 D fg { x D g gx) Df { x [, + ) x ) ±2 Y como x ) ±2 x ±2) x 6 x 7, entonces D fg [, + ) {7 [, 7) 7, + ); ) ) g f)x) g[fx)] g x 6 x 6 ) x +6 ) 7 x ; x 6 x 6 D gf { x D f fx) D g { x R {, +2 x 6

7 PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL E00 7 { x ±2 x 6 i) Si x 6 > 0 x > 6 x > 2 x>2 o bien x<; y multiplicando por x 6 x 6 x 6 x 7 x 7 es decir, x [ ] 7, 7 ; luego entonces, x [ 7, 7 ] { 2, + ), ) [ ) 7 ], 2, 7 ii) Ahora si x 6 < 0 x < 6 x < 2 x, 2); multiplicando x 6, tendremos que x 6 x 7 x 7 x 7 o bien x 7 y entonces, x, 2) { ], 7 [ ) 7, + Ø El conjunto solución de es precisamente x 6 ) ] [ 7, 2, 7 y como ±2 no están en el conjunto solución, nos queda [ ) D gf 7 ], 2, 7 x 6 por

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