Funciones. 2.7 Transformaciones de funciones CAPÍTULO

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1 CAPÍTULO Funciones. Transformaciones de funciones Se pretende ahora que, a partir del conocimiento de la gráfica de una función f, esencialmente mediante traslaciones, contracciones refleiones, se obtenga un bosquejo de la gráfica de una función g de la forma g./ D kf.a b/ C c : Ejemplo.. La gráfica de: g./ D C es la gráfica de f./ D desplazada hacia arriba unidades. g./ D f./ C D C Œ; C Œ; f./ D D g D D f ; R f D Œ0; C/ & R g D Œ; C/. Ejemplo.. La gráfica de: g./ D es la gráfica de f./ D desplazada hacia abajo unidades. canek.azc.uam.m: / / 008

2 Cálculo Diferencial e Integral I f./ D Œ; D g D D f R f D Œ0; C/ & R g D Œ ; C/. Œ; g./ D f./ D De los dos ejemplos anteriores vemos que: La gráfica de g./ D f./ C c es la gráfica de f desplazada verticalmente c unidades. En este caso D g D D f & R g D { f./ C c f./ R f. Ejemplo.. La gráfica de g./ D. C / es la gráfica de f./ D desplazada hacia la izquierda unidades. f./ D g./ D f. C / D. C / Œ;. C / Œ C ;. C / D g D { R C Df & Rg D R f. C Ejemplo.. La gráfica de g./ D. / es la gráfica de f./ D desplazada hacia la derecha unidades.

3 . Transformaciones de funciones g./ D f. / D. / Œ ;. / Œ;. / f./ D D g D { R Df & Rg D R f. De los dos ejemplos anteriores vemos que: La gráfica de: g./ D f. c/ es la gráfica de f desplazada horizontalmente c unidades. En este caso D g D { R c D f & Rg D R f. Ejemplo.. La gráfica de g./ D es la gráfica de f./ D alargada veces en la dirección vertical. g./ D f./ D.; / f./ D.; / D g D D f & R g D { f./ f./ Rf. Ejemplo.. La gráfica de g./ D es la gráfica de f./ D comprimida veces en la dirección vertical. f./ D.; /.; / g./ D f./ D D g D D f & R g D { f./ R f./ Rf.

4 Cálculo Diferencial e Integral I Ejemplo.. La gráfica de g./ D es la gráfica de f./ D reflejada respecto al eje. f./ D.; / g./ D f./ D.; / D g D D f & R g D { f./ R f./ R f. De los tres ejemplos anteriores vemos que: La gráfica de g./ D kf./ es la gráfica de f :. Alargada verticalmente si k >.. Comprimida verticalmente si 0 < k <.. Si k < 0, consideramos a la gráfica de la función j k j f./ D kf./ la reflejamos con respecto al eje de las. D f D D g, R g D { kf./ R f./ R. Ejemplo..8 La gráfica de g./ D./ es la gráfica de f./ D comprimida horizontalmente veces. g./ D f./ D./ D.;./ /.;./ / f./ D D g D { R Df & Rg D R f.

5 . Transformaciones de funciones Ejemplo..9 La gráfica de g./ D ( ) es la gráfica de f./ D alargada horizontalmente veces. g./ D f D g D D D { R D f f./ D & R g D R f. " «# ; " ; «# Ejemplo..0 La gráfica de g./ D. / es la gráfica de f./ D reflejada respecto al eje. f./ D Œ;. / Œ ;. / g./ D f. / D. / D D g D { R D f & Rg D R f. De los tres ejemplos anteriores vemos que: La gráfica de g./ D f.k/ es la gráfica de f :. Comprimida horizontalmente si k >.. Alargada horizontalmente si 0 < k <.. Si k < 0, consideramos a la gráfica de la función f.jk j / D f. k/ la reflejamos con respecto al eje de las. D g D { R k D f, Rg D R f. Por otro lado, tenemos el siguiente resultado: Ejemplo..

6 !! Cálculo Diferencial e Integral I Si g./ D, la gráfica de g es la gráfica de f./ D cuando 0 la simétrica de f con respecto al eje de las cuando < 0. `; p p g./ D j f./ j D f./ D.; / D g D D f, R f D Œ ; /, R g D Œ0; /. Si g./ D j f./ j, la gráfica de g./ es la gráfica de f cuando f./ 0 es la simétrica de f con respecto al eje de las cuando f./ < 0. D g D D f, R g D { j f./ j f./ R. Ejemplo.. Considerando que la siguiente curva es la gráfica de la función f, bosquejar la gráfica de la función g./ D f./. Elegimos puntos apropiados que determinan la gráfica de f cuas imágenes determinarán la de g: C. ; /!! E.; / B. ; / F.; / G.; / A. ; 0/! D.0; 0/

7 " % $# & ' )( *. Transformaciones de funciones. Primero se obtiene la curva D f./ comprimiendo horizontalmente la curva D f./ por un factor de. La transformación de los puntos ocurre así: A. ; 0/; B. ; /; C. ; /; D.0; 0/; E.; /; F.; / & G.; / I A 0. ; 0/; B 0. ; /; C 0. ; /; D 0.0; 0/; E 0.; /; F 0.; / & G 0.; / :. Luego se obtiene la curva D f./ desplazando verticalmente unidades hacia abajo a la curva D f./. La transformación de los puntos ocurre así: A 0. ; 0/; B 0. ; /; C 0. ; /; D 0.0; 0/; E 0.; /; F 0.; / & G 0.; / I A 00. ; /; B 00. ; /; C 00. ; /; D 00.0; /; E 00.; /; F 00.; / & G 00.; / :. La gráfica de g./ D f./ es así: C 00. ; / E 00.; / F 00.; / B 00. ; / G 00.; / A 00. ; / D 00.0; / También lo podríamos resolver directamente notando que D f Œ ;. Usando los puntos elegidos anterioremente tenemos: D Œ ; que por tanto el D g D A. ; 0/: g. / D f. / D 0 D ) A 00. ; / G g ; B. ; /: g. / D f. / D D ) B 00. ; / G g ; C. ; /: g. / D f. / D D ) C 00. ; / G g ; D.0; 0/: g.0/ D f.0/ D 0 D ) D 00.0; / G g ; E.; /: g./ D f./ D D ) E 00.; / G g ; F.; /: g. C / D f. C / D D ) F 00.; / G g ; G.; /: g./ D f./ D D ) G 00.; / G g.

8 8 -, /. 0 -, + / , / Cálculo Diferencial e Integral I Ejemplo.. Considerando que la siguiente figura es la gráfica de una función f, bosquejar la gráfica de la función g./ D f. /. Elegimos puntos apropiados que determinan la gráfica de f cuas imágenes determinarán la de g: C. ; / E.; / B. ; / F.; / D.0; 0/ G.; 0/ A. ; /. Primero se obtiene la curva D f. / desplazando horizontalmente unidades hacia la derecha a la curva D f./. La transformación de los puntos ocurre así: A. ; /; B. ; /; C. ; /; D.0; 0/; E.; /; F.; / & G.; 0/ I A 0. ; /; B 0.; /; C 0.; /; D 0.; 0/; E 0.; /; F 0.; / & G 0.; 0/ :. Luego se obtiene la curva D f. / alargando verticalmente a la curva D f. / por un factor de. La transformación de los puntos ocurre así: A 0. ; /; B 0.; /; C 0.; /; D 0.; 0/; E 0.; /; F 0.; / & G 0.; 0/ I A 00. ; /; B 00.; /; C 00.; /; D 00.; 0/; E 00.; /; F 00.; / & G 00.; 0/ :. Después se obtiene la curva D f. / poniendo un espejo en el eje para reflejar a la curva D f. /. Esto se consigue multiplicando a las ordenadas por. La transformación de los puntos ocurre así: A 00. ; /; B 00.; /; C 00.; /; D 00.; 0/; E 00.; /; F 00.; / & G 00.; 0/ I A 000. ; /; B 000.; /; C 000.; /; D 000.; 0/; E 000.; /; F 000.; / & G 000.; 0/ :

9 9. Transformaciones de funciones 9. Finalmente se obtiene la curva D f. / C desplazando hacia arriba una unidad a la curva D f. /. La transformación de los puntos ocurre así: A 000. ; /; B 000.; /; C 000.; /; D 000.; 0/; E 000.; /; F 000.; / & G 000.; 0/ I A IV. ; /; B IV.; /; C IV.; /; D IV.; /; E IV.; /; F IV.; / & G IV.; / :. Por lo tanto, la gráfica de g./ D f. / es A IV. ; / B IV.; / D IV.; / G IV.; / F IV.; / C IV.; / E IV.; / También lo podríamos resolver directamente notando que D f Œ ;. Usando los puntos elegidos anterioremente tenemos: D Œ ; que por tanto el D g D A. ; /: g. / D f. / D. / D C D ) A iv. ; / G g ; B. ; /: g./ D f. / D./ D D ) B iv.; / G g ; C. ; /: g. C / D f. C / D./ D D ) C iv.; / G g ; D.0; 0/: g./ D f.0/ D.0/ D 0 D 0 ) D iv.; / G g ; E.; /: g./ D f./ D./ D D ) E iv.; / G g ; F.; /: g. C / D f. C / D./ D D ) F iv.; / G g ; G.; 0/: g./ D f./ D.0/ D 0 D ) G iv.; / G g. Ejercicios.. Soluciones en la página. Considerando la siguiente figura como la gráfica de cierta función f,

10 0 0 Cálculo Diferencial e Integral I C.0; / D f./ B. ; 0/ D.; 0/ A. ; / realizar un bosquejo de la gráfica de la función g./ D f. / C : Especificar la nueva posición de los puntos A. ; /; B. ; 0/; C.0; / & D.; 0/.. Considerando que la figura siguiente es un bosquejo de la gráfica de cierta función f, obtenga el dominio, el rango, las raíces así como un bosquejo de la gráfica de la función g./ D f. C / C. D f./ 8. Considerando la función definida por: f./ D { C si < 0 I si 0 : a. Realizar un bosquejo de la gráfica de la función f. b. Realizar un bosquejo de la gráfica de la función g./ D f. /. c. Obtener dominio, rango raíces de la función g.

11 . Transformaciones de funciones. Dada f./ D Obtenga la gráfica de h./ D f. /. { C C si I si > :. Dada la función g.t/ D { t si t < I t si < t < : a. Bosquejar su gráfica determinar dominio, rango raíces. b. Obtener los intervalos en los que g.t/ 0 así como aquellos en donde g.t/ < 0. c. A partir de la gráfica obtenida, bosquejar la gráfica de f.t/ D g.t C /.. Considere la función: f./ D { C si 8 < 0 I p si 0 : a. Determinar dominio, raíces o puntos en donde la función vale cero, gráfica rango de f. b. A partir de la gráfica de f, construir la gráfica de h./ D f. C /.. Considere la función f definida por a. Grafique la función f. f./ D { si < 0 I si : b. Usando la gráfica de f, construir la gráfica de la función h./ D f. C / obtener una epresión o fórmula para h./. 8. Sea determine: si < I f./ D C si 0 I si 0 < < ; a. Un esbozo gráfico de la función. b. Dominio, rango, raíces, paridad, intervalos de monotonía e intervalos donde f./ > 0 donde f./ < 0. c. Un esbozo gráfico para la función g./ D f. / C. 9. Sea si < I g./ D si < < I. / si :

12 8 Cálculo Diferencial e Integral I a. Obtenga dominio, raíces un bosquejo de la gráfica de g, así como su rango. b. Grafique la función h./ D g. C /, a partir de la gráfica de g. 0. Sea f la función dada por f.t/ D t con 0 t. Sea g la función definida por g.t/ D { f. t/ si t 0 I f.t/ si 0 t : a. allar el dominio hacer un bosquejo de la gráfica de g indicando su rango o imagen. b. Si h.t/ D g.t / C, hacer un bosquejo de la gráfica de esta nueva función e indicar su dominio rango.. Sean f./ D {p si I j j si > : g./ D f. C / ; determinar las gráficas de ambas funciones, el dominio el rango de la función g.. Dada la función C si < I f./ D si < I si < : a. Obtener la gráfica, el rango las raíces de f. b. A partir de la gráfica de f hacer un bosquejo de la gráfica de la función g./ D f. /.. a. Encuentre la regla de correspondencia para la función f representada por la siguiente gráfica: D f./ 8 8 b. Elabore la gráfica de la función dada por: g./ D f. / C.. Dada la gráfica de una función f :

13 < < < 9 = : = ; = > > >. Transformaciones de funciones 0 D f./ 0 asocie cada una de las siguientes funciones f. C /, f./ & f./ con su gráfica correspondiente. a. b. c Sea Grafique: C si < I f./ D si I si > : a. f./. b. g./ D f. / C. c. h./ D j f./ j.. Considere la función f./ D { C si 0 < I C si : a. Determinar dominio, raíces, gráfica e imagen o rango de f. b. A partir de su gráfica, construir la gráfica de g./ D j f./ j. c. Graficar la función h./ D f. / C.

14 ? Cálculo Diferencial e Integral I. La siguiente es la gráfica de una función f W Œ0; 0! R. D f./?? 0 a. Determine su regla de correspondencia. b. Considere la función g definida por { g./ D f. / si 0 < 0 I f./ si 0 0 : Bosqueje la gráfica de g. Determine su dominio, rango raíces. c. Sea h./ D g. C / ; a partir de la gráfica de g obtenga la de h.

15 BA C C BA K ML P K P JI K P ON ON. Transformaciones de funciones Ejercicios.. Transformaciones de funciones, página 9. A 0. ; / g./ B 0.0; / D 0.; / D g./ f./ C.0; / D g./ C 0.; / B. ; 0/ D.; 0/ A. ; / A. ; /! A 0. ; /; B. ; 0/! B 0.0; /; C.0; /! C 0.; /; D.; 0/! D 0.; /.. D f D Œ; 8/, R f D. ;, raíz D ; Dominio:. ; / Œ; /; rango: R ; raíces: C p.. D g./ D h./. a.. 0 D g.t/ t D f./ D g D Œ ; / fg D Œ ; /.; /; R g D Œ ; /; raíces: f g;

16 Y V S Y S V XW Y S UT V RQ RQ Y V b b a` b _^ b \[ ] b Z a` Cálculo Diferencial e Integral I b. g.t/ 0 si t Œ ; / fg D Œ ; /.; /; g.t/ < 0 si t Œ ; /;. 9 c. D g.t C / 9 D f./ t D h./. a. D f D Œ 8; ; raíces: & 0; R f D Œ ; /; 8. C F 8 p D f./ A B D E D f./ b. 9 8 D f. C / p Dominio: D f D Œ ; /; rango: R f D Œ ; ; raíces: D ; D :; no es par ni impar; f./ decrece si Œ ; f./ crece si Œ ; /; ; 9 f./ > 0 si. ; /.:; /;

17 e gf ji l e dc k h e l e h k k h l dc p s m on rq p s m p s p s m. Transformaciones de funciones f./ < 0 si. ; :/; D 0 E 0 R g D Œ ; ; D g./ D h.t/ C 00.; / A 0 B 0 C 0 F 0 B 00.; / 9. D g D. ; C/; A 00.0; / R g D. ; f g Œ0; C/; t C E F D fgfg. D h D Œ0; ; R h D Œ;. B D g./ C. ; / A E 00 C 00 ijij D 00 F 00 B 00 D h./ 8 A. ; / B. ; / C. ; / E.; / «D ; 0 D f./ A 00 E.; / 0. C.; / D g.t/ A D g./. ; / B. ; :/ «D ; B.0; 0/ t El dominio de g es R ; el rango de g es. ; C/. A. ; /.

18 8 w ut ~ z v ƒ v v ut v { ƒ v ƒ 8 Cálculo Diferencial e Integral I tutu D f./ b. Ésta es la función f. C /: R f D Œ ; ; 0 raíces: D ; D ; D g./ si Œ; I. f./ D.observe que f./ D /I si Œ; : 0 8 D g./ c. Ésta es la función f./:. a. Ésta es la función f./ :

19 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Š Š Š Œ Š 9. Transformaciones de funciones 9. E f./ D g./; B D D f./ A p C D h./ 0 E 00 B 00 D 00 C 00 A 00 D f. / C si 0 < I. a. f./ D 0 si 0: b. 0 D g./ 0 B E D h./ D c. D g D Œ 0; 0; R g D Œ ; ; raíces: D 80. A p C Ž 9. D f D Œ0; ; raíces de f D Ø; R f D Œ; : D h./ D f./