Guía de Ejercicios: Funciones

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1 Guía de Ejercicios: Funciones Área Matemática Resultados de aprendizaje Determinar dominio y recorrido de una función. Analizar funciones: inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Determinar la función inversa. Componer funciones. Contenidos 1. Dominio y Recorrido de una función. 2. Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad. 3. Función inversa. 4. Composición de funciones. Debo saber Antes de empezar a realizar estos ejercicios es importante que recordemos algunos conceptos: Función: Una función es una relación en donde a cada elemento perteneciente al conjunto le corresponde un único elemento del conjunto. Dominio: El dominio de una función en está formado por aquellos valores reales de para los que se puede calcular la imagen Se denota como. Recorrido (o Rango): El recorrido de una función en es el conjunto de los valores reales que toma la variable ó Se denota como. Función inyectiva (o uno a uno): La función, es inyectiva si y sólo si: Función sobreyectiva (o epiyectiva): La función es sobreyectiva si y sólo si: La función es sobreyectiva si y sólo si todos los elementos del conjunto B son imagen de algún elemento de A. La función es sobreyectiva si y sólo si Función biyectiva: Una función es biyectiva si es al mismo tiempo es inyectiva y sobreyectiva. Función inversa: Se llama función inversa de a otra función que cumple que si, entonces Solo es posible determinar la función inversa, si y solo si es biyectiva. Primera Edición

2 Composición de funciones: Dadas las funciones y, donde la imagen de está contenida en el dominio de, se define la función composición como ( ), para todos los elementos de. Logaritmo: El logaritmo de un número en base se define como el número al que hay que elevar para obtener el número. Ejercicio 1 Dada la función , donde determine: a) Si la función es biyectiva. b) La inversa de ser posible. a) Si es biyectiva Recordamos que una función es biyectiva si es al mismo tiempo es inyectiva y sobreyectiva. La función es inyectiva si y sólo si, 2 3 Por definición Multiplicando por inversos es inyectiva Por distributividad y reduciendo términos semejantes. Ordenando la ecuación Reduciendo términos semejantes Multiplicando por (1/55) La función es sobreyectiva si y sólo si Por definición Multiplicando por (7x + 3) Multiplicando distributivamente Ordenando la ecuación: ; Factorzando por término común x Despejando Primera Edición

3 En donde,. Luego: 2 3 es sobreyectiva Como es inyectiva y sobreyectiva, entonces es biyectiva. c) La inversa de ser posible. Como es biyectiva, entonces es posible determinar Considerando Intercambiando variables, por, e por Reemplazando por Ejercicio 2 Sea a) Determinar el dominio de la función b) Determinar si es inyectiva y si es sobreyectiva c) Encontrar la inversa de la función d) Verificar que e) Calcular f) Determinar el valor de cuando a) Dominio de la función Como el argumento del logaritmo debe ser positivo, entonces Organizando la inecuación: Multiplicando por (1/2) -, Primera Edición

4 b) Si es inyectiva Sean -,, entonces: Por definición Ordenando la ecuación: Multiplicando por (-1) Igualando los argumentos Ordenando la ecuación: Multiplicando por (1/2) es inyectiva Si es sobreyectiva Por definición Ordenando la ecuación: Por definición de logaritmo Despejando En donde, es sobreyectiva c) Inversa de la función Considerando Intercambiando variables, por, e por. (esto es un acomodo de la notación formal) Reemplazando por d) Verificar que ( ). / Por definición. / Evaluando. / en la función Primera Edición

5 . / Simplificando ( ) Eliminando paréntesis en el argumento Reduciendo términos en el argumento Por definición y propiedad de logaritmo Eliminando paréntesis Reduciendo términos semejantes e) Calcular ( ) Reemplazando por Ordenando en el argumento Calculando resulta 4 porque f) El valor de x cuando Reemplazando por Ordenando la ecuación de tal forma que el logaritmo quede en un lado de la igualdad y positivo: ( ) Por definición de logaritmo Resolviendo la potencia Despejando la incógnita Ejercicio 3 Sea ;, donde y. Determine y su dominio. ( ) Como Primera Edición

6 Luego, igualando ( ) y se tiene: Elevando al cuadrado en ambos lados de la igualdad. Multiplicando distributivamente para eliminar paréntesis. Despejando Como la función no tiene restricciones para, entonces el Ejercicio 4 Considere la función definida por. Determine su dominio, si es biyectiva y su inversa si es que existe. a) Dominio de la función Para que la función racional no se indetermine debe cumplir que: * + b) Si es biyectiva Sean * +, entonces: Multiplicando por inversos Ordenando: ; Reduciendo términos semejantes Multiplicando por Por otro lado, es inyectiva Por definición, y multiplicando por Multiplicando distributivamente Ordenando la ecuación: ; Factorizando por el término común Despejando : multiplicando por Primera Edición

7 , donde, entonces Por lo tanto, * + Y como la función está definida por no es epiyectiva. Luego, no es biyectiva. c) Función inversa, si es que existe Como no es biyectiva, luego en estricto rigor no existe. Si de igual forma queremos construir, debemos hacer algunas aclaraciones: Considerando y podemos redefinir la función para que ahora sea biyectiva. Luego: * + * + Como ahora es biyectiva, entonces existe la función inversa. Considerando Intercambiando variables, por, e por (esto es un acomodo de la notación formal) Reemplazando por Ejercicio 5 Dada la función. Determine su dominio y recorrido. a) Dominio de la función El racional se indetermina cuando el denominador es cero, por lo tanto: Pero, como es raíz cuadrada, Primera Edición

8 Entonces, considerando ambas restricciones, se tiene que: Factorizando por diferencia de cuadrados (suma por diferencia) Identificando puntos críticos, al despejar en ambas ecuaciones: Por lo tanto: 1 0 b) Recorrido de la función Multiplicando por Elevando al cuadrado ( ) Multiplicando distributivamente Ordenando: Multiplicando por Despejando Calculando la raíz cuadrada del denominador En donde Como Identificando puntos críticos, al despejar en ambas ecuaciones: Primera Edición

9 Por lo tanto: Según lo anterior, podríamos suponer que el , pero: Si reemplazamos en valores pertenecientes al 1 0, como por ejemplo y, resulta: Para Para Por lo que los valores de obtenidos solo pertenecen al intervalo 0 0 [ [ Primera Edición