Álgebra Básica Desarrollo ejercicios Guia 7.

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1 Álgebra Básica Desarrollo ejercicios Guia 7. Ecuaciones Racionales 1. Resuelva las siguientes ecuaciones racionales, analizando el dominio y dando el conjunto solución. a) 1 m Convencionalmente despejamos, a menos que me indiquen otra variable. Además debemos considerar las restricciones de la ecuación, es decir, los valores que no puede tomar. En este caso 0, o de lo contrario la fracción se me indeterminaria, por lo tanto el Dom {0}. 1 m m m m m m m m / Distributividad. m m n mn m / Simplificando. 1 / Encontramos el m.c.m y multiplicamos a ambos lados de la ecuación. n m mn m / Agrupando "" a un lado de la igualdad. ( n m) m( n m) / Factorizando. m( n m) / Despejando. ( n m) m / Simplificando. m m Aquí NO hemos encontrado la solución a la ecuación, a menos que reemplacemos en la primera ecuación y haga verdadera la igualdad. Al reemplazar mobtenemos una igualdad, por lo tanto S { m }. b) En este caso no puede tomar los valores -5 y -3, ya que indeterminan la fracción, por lo tanto el Dom { 3, 5}

2 ( 4)( 3) ( )( 5) 1 /Operatoria de fracciones algebraicas. ( 5)( 3) 4 4 ( 4)( 3) ( )( 5) ( 5)( 3) / Operatoria fracciones. 4 ( 7 1) ( 7 15) 8 15 /Desarrol 4( ) 8 15 / Reducción terminos semejantes / Propiedades de cuerpo /Descomposición. ( 11) 3( 11) 0 /Factorización. ( 11)( 3) 0 /Factorización /Propiedades de cuerpo. lo binomios de termino común. En este caso tenemos posibles soluciones 11 o 3. Verificando en la ecuación (debemos reemplazar en la primera ecuación) obtenemos que el conjunto solución es S { 11,3} En estos ejemplos hemos apreciado posibles caminos (eisten caminos) para resolver este tipo de ecuaciones. Es de suma importancia considerar el dominio y el conjunto solución, para esto debemos verificar las posibles soluciones adecuadamente.. Plantee los siguientes problemas como ecuaciones con una incógnita y resuélvalos. a) El numerador de una fracción ecede al denominador en. Si al numerador se le resta 15, la diferencia entre la fracción original y la nueva fracción es 3. Hallar la fracción. Analizaremos el planteamiento en cada frase para poder entenderlos a cabalidad. 1 4 El numerador de una fracción ecede al denominador en. Por ejemplo?,. Ósea el 1 4 numerador es más grande que el denominador y El numerador depende del denominador o al revés? Habiendo analizado la situación tenemos que generalizarlo, para esto consideramos: Se =denominador, entonces la fracción se puede escribir de la siguiente forma. Si al numerador se le resta 15, la diferencia entre la fracción original y la nueva fracción es 3. Analizando la 7 primera parte de la frase tenemos que al numerador hay que restarle 15, es decir, la nueva fracción será.ahora me dice que la diferencia entre la fracción original y la nueva es 3 (hay que tener presente que no es lo mismo restar la nueva fracción que restar la fracción original, hay que mantener el orden que me propone el 7 enunciado). Traduciendo el enunciado a una ecuación 3

3 / Operatoria con fracciones. 5 Hallar la fracción. Si =5, entonces la fracción original es 5 5 b) Compré cierto número de paquetes de galletas por $400. En otro supermercado, los paquetes de galletas valían 40$ menos y hubiera podido comprar 3 paquetes más por el mismo precio. Cuántos paquetes compré y a qué precio? CAMINO1: Luego de leer el enunciado debemos etraer las variables que interfieren en el problema. Estos son: numero de paquetes de galletas, valor total de los paquetes que compré y valor unitario de los paquetes de galleta. Además hay que considerar que se están comparando los precios en supermercados. Ordenando esto en una tabla tenemos que: Sea = numero de galletas. Supermercado Supermercado Ahora debemos completar los datos del segundo supermercado, para esto debemos usar la información ya representada en la tabla. En el supermercado las galletas cuestan $40 menos, es decir, si en el supermercado 1 costaban $50 en el supermercado $50-$40. En general podemos decir que el precio de cada galleta en el supermercado es Además me dicen que podría haber comprado 3 galletas mas, es decir, si en el supermercado 1 compre 5 galletas, en el supermercado compre 5 galletas +3 galletas. En general podemos decir que en el supermercado podría haber comprado +3 galletas. Completando la tabla se tiene: Supermercado Supermercado Ahora debo encontrar la ecuación, para esto debo preguntarme por ejemplo Cómo obtengo el precio total en el supermercado 1? Multiplicando el número de galletas por el precio de cada una obtengo el precio total. Ósea en el segundo supermercado tenemos:

4 Al resolver esta ecuación obtendremos cuantas galletas compré, y luego podré saber cuanto me costo cada una. CAMINO: Analizamos el enunciado de la misma forma anterior, y deducimos la tabla, pero la completaremos de otra manera. Sea = numero de galletas. Supermercado Supermercado Me dice el enunciado que podría haber comprado +3 galletas por el mismo precio. Es decir siguiendo la lógica del primer supermercado, el precio unitario de galletas sería Supermercado Supermercado Pero si el paquete de galleta en el supermercado 1hubiese costado $40 menos el precio seria igual al del segundo supermercado. Por lo tanto aquí generamos otra ecuación: Al resolver esta ecuación obtendremos el número de galletas que compré. (Recuerden que no puedo comprar -5 galletas) 400 Ecuaciones Irracionales. 3. Resuelva las siguientes ecuaciones irracionales, analizando el dominio y dando el conjunto solución. a) Sabemos que la raíz de un número negativo hasta ahora no eiste, por lo tanto 4 1 0, es decir, 1 pertenece al siguiente conjunto, el cual es el dominio Dom,. 4

5 / con el fin de evitar el binomio con raíz, aislamos la raíz. ( 4 1) (5 ) / Elevando amabos lados al cuadrado / Desarrollando el binomio al cuadrado / Propiedades de cuerpo ( 1) ( 1) 0/ Factorizando. ( 1)( ) 0/ Factorizando. 1 / Propiedades de cuerpo. Reemplazando en la PRIMERA ecuación ambas, obtenemos que 1 hace falsa la proposición y la hace verdadera. Por lo tanto S {}. b) Analizando el dominio de la ecuación, obtenernos que obligatoriamente deberemos elevar veces al cuadrado. Dom 3, 4.Como la ecuación tiene raíces, (3) / Elevando al cuadrado / Aislando la raíz, para evitar el binomio con raíz. 4 3 (9 ) / Elevando al cuadrado ( 10 1) ( 7) 3( 7) 0 ( 7)( 3) Reemplazando en la primera ecuación ambas, obtenemos que 7 hace falsa la proposición y 3la hace verdadera. Por lo tanto S {3}. Eduardo Peschke