Funciones racionales
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- Miguel García Miranda
- hace 9 años
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1 Funciones racionales
2 Una función racional es una función que se puede epresar de la forma ) ( ) ( ) ( g f p donde f() y g() son funciones polinómicas. g f y 9 4 ) ( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( 3 h q p La función racional Ejemplos:
3 Dominio de una función racional El dominio de una función es el conjunto de todos los números para los cuales una función está definida. Una función, f(), está definida en un valor de si al evaluar f() produce un número real. En el caso de las funciones racionales, debemos ecluir del conjunto de los números reales cualquier valor que hace que el denominador sea igual a cero.
4 1) Dominio de una función racional Determinar Debemos determinar los valores de que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador). 4 1 = 0 4 = 1 = 1 4 el dominio de f ( ) Por lo tanto el dominio es, el conjunto de los reales ecepto = ¼. El dominio se describe en notación:, 1 1, D: R 1 4
5 Dominio de una función racional 5 ) Determinar el dominio de f ( ). 4 Debemos determinar los valores de que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador). 4 0 = 4 = ± 4 = ± Usando el método de la raiz cuadrada, El dominio de f() consiste de todos los reales ecepto = y = -. Dom: R y Dom : -,, (, )
6 Dominio de una función racional 5 4) f ( ) 1 Debemos determinar los valores de que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador). + 1 = 0 = 1 Dom : No eiste un valor que se le puede asignar a tal que sea igual a -1. Por lo tanto, el dominio es el conjunto todos los reales. R Dom : (-, )
7 Interceptos Interceptos en o punto donde la gráfica interseca el eje de. o para una función racional, el intercepto en ocurre en el valor de que hace que el numerador de la función sea igual a cero. o la cantidad de interceptos en depende del grado del numerador. o 0 # interceptos en grado del numerador
8 Interceptos Intercepto en y o punto donde la gráfica interseca el eje de y. o Es el valor de la función cuando = 0. [f(0)] o Si = 0 está en el dominio de f(), entonces eiste un sólo intercepto en y. o Si = 0 NO está en el dominio de f(), NO eiste el intercepto en y.
9 Interceptos f =
10 Interceptos Hallar los interceptos de cada función. (1) f ( ) (a) intercepto y: 1 b) intercepto - f 0 = 1 0 = 1 El intercepto en y es (0, - ½ ). El numerador de f() es Por lo tanto, f() NO tiene interceptos en.
11 Interceptos Hallar los interceptos de cada función. (a) intercepto y: f ) 0 0 ( 0) El intercepto en y es (0, 0). f ( ) 3 b) intercepto - El numerador de f() es. = 0 cuando = 0. Por lo tanto, f() tiene intercepto en en el punto (0,0) o sea que coincide con el intercepto en y.
12 Interceptos Hallar los interceptos de cada función. (a) intercepto y: g(0) g(0) 0 (0) 3 NO está 9(0) 3) g() 3 0 definido. NO eiste intercepto en y. 9 b) intercepto - El numerador de g() es -. Si despejamos - = 0 = =, = g() tiene interceptos en en (,0) y (, 0)
13 Soluciones de funciones racionales Un par ordenado (a,b) es una solución de una función f() si f(a)=b. Dicho de otra forma, si al evaluar f en =a el resultado es b. Ej. Determinar si (6, 1) es una solución de (6) f ( 6) 1 (6) f ( ) 1 5 (6, 1) SI es una solución de la función.
14 Soluciones de funciones racionales Ej. Determinar el valor de a tal que (a, 4) es una solución de 5 f ( ) 3 5a 3 a 4 5a 4 3 a 5a 1 4a 5a 4a 1 a 14 (14,4) es una solución de la función.
15 Gráficas de funciones racionales Observemos la gráfica de 1 f ( ) Comportamiento en los etremos A medida que los valores de se hacen más negativos, los valores de la función (y) se acercan más y más a cero., y 0, y 0 A medida que los valores de se hacen más positivos, los valores de la función (y) se acercan más y más a cero. y = 0 es una asíntota horizontal
16 Gráficas de funciones racionales Observemos la gráfica de, y 0 1 f ( ) Comportamiento en los etremos y = 0 es una asíntota horizontal La línea y = k es una asíntota horizontal de la gráfica de una función f si f () k cuando o., y 0
17 Gráficas de funciones racionales (cont.) Observemos la gráfica de 1 f ( ) y, Comportamiento alrededor de = A medida que los valores de se acercan a por valores mayores que, la función (y) se hace más positivo. A medida que los valores de se acercan a por valores menores que, los valores de la función (y) se hace más negativos. = es una asíntota vertical y,
18 Gráficas de funciones racionales (cont.) Observemos la gráfica de 1 f ( ) = es una asíntota vertical y, y, La línea = c es una asíntota vertical de la gráfica de una función f si f () o f () -?? cuando asume valores cercanos c por la izquierda o la derecha.
19 Hallar las asíntotas de funciones racionales Asíntotas Verticales Una función racional tiene una asíntota vertical cuando el denominador de la función simplificada es igual a 0. Una función racional está simplificada si NO eisten factores comunes, distintos de uno, entre el numerador y denominador.
20 Hallar la ecuación de cada asíntota vertical si eiste. 1. f 5 Calculamos los valores de que hacen el denominador igual a cero: + = 0 = -1 La recta = -1 es la única asíntota vertical de la función.
21 Asíntotas horizontales Caso 1 Las asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre una de las siguientes condiciones: 1. El grado del numerador es menor que el grado del denominador. En este caso, la asíntota es la recta horizontal y = 0. 3 Ej. f ( ) El eje de (y=0) es la 3 15 asíntota horizontal de 1 g( ) las gráficas de f() y 16 g()
22 Asíntotas horizontales Caso. El grado del numerador es igual al grado del denominador. En este caso, la asíntota es la recta horizontal y = a, donde a es el coeficiente principal b del numerador y b es el coeficiente principal del denominador. Ej. f ( ) g( ) La asíntota horizontal de la gráfica de f() es g() es y y o o y 3 y 4
23 Asíntotas horizontales Caso 3 3. Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador la función NO tiene asíntota horizontal. Ej. f ( ) g( ) Las gráficas de f() y g() NO tienen asíntota horizontal
24 1. f 5 El grado del numerador y del denominador es 1. a b n n 5 La asíntota horizontal de la f() es la recta y Hallar la ecuación de cada asíntota horizontal si eiste. 5
25 Gráficas de funciones racionales f 5 Vimos que la asíntota vertical es = -1 y la horizontal es y 5
26 f Gráficas de funciones racionales 5 Intercepto : 5 = 0 = (, 0 ) 5 5 Intercepto y: f( 0) f( 0) 1 (0, 1) 5( 0) ( 0) Podemos unir los dos puntos con una curva suave que se acerca a las asíntotas.
27 Gráficas de funciones racionales Debemos evaluar la función en algunos otros puntos para localizar la otra parte de la gráfica. f ( 5) ( ) 5 f 1 (, 6) 6
28 Gráficas de funciones racionales Para trazar gráficas de funciones racionales podemos seguir los siguientes pasos: Determinar si eisten asíntotas verticales. Determinar si eiste el asíntota horizontal. Determinar si eisten interceptos. Determinar comportamiento alrededor de las asíntotas. Tal vez se necesiten unos puntos adicionales. Unir puntos con curvas suaves que se quedan alrededor de las asíntotas.
29 Trazar la gráfica de: Primero simplicamos la función. f La recta vertical = 3 es la única asíntota vertical de esta función. La recta horizontal y = es la asíntota horizontal de esta función.
30 Trazar la gráfica de: Determinemos los interceptos. f (0) 10(0) f (0) 3 (0) , 3 1 ( ) 10( ) f ( ) ( ) ,0
31 Trazar la gráfica de: Busquemos un punto adicional: f (8) 10(8) f (8) (8) 9 f (8) (8,4) NOTE el hueco en el punto 1 3, 3
32 f Trazar la gráfica de: Intercepto - y: 0 0 ( 0) Intercepto (0,0) f ( ) 3 Asíntota vertical: Calculamos los valores de que hacen el denominador igual a cero: 3 = 0 = 3 (ecuación de la asíntota) Asíntota horizontal: y y a b n n 1 (ecuación de la asíntota)
33 Puntos adicionales Busquemos un punto adicional: f (4) (4) , 8
34 Trazar la gráfica de f 1, si f ( ) 3 Solución: Como f y f 1 intercambian dominio y campo de valores, tenemos que: El punto (0,0) f 1. El punto (-8,4) f 1. f 1 tiene una asíntota vertical en = - f 1 tiene una asíntota horizontal en y = 3
35 Puntos adicionales Busquemos un punto adicional: 4 3 4(3 ) , 4 f() 1 4, 6 f ()
36 Determinar f 1, si Solución: f = 3 = y 3 y ( 3 y ) y 3 y y 3 3 y y( y 3 + = y ) f ( ) f 1 = 3 + 3
37 Use la gráfica para completar cada enunciado. 0
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39 La relación entre la densidad poblacional (en personas /mi ) de una ciudad grande y la distancia (en millas) desde el centro de la ciudad está dado por d = a) Qué ocurre con la densidad cuando la distancia desde el centro de la ciudad cambia de 0 millas a 5 millas? (b) Qué ocurre eventualmente con la densidad? (c) En qué áreas de la ciudad es la densidad de población mayor que 400 personas/mi?
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