Matemáticas Universitarias

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1 Matemáticas Universitarias

2 1 Sesión No. 10 Nombre: Funciones polinomiales de grado superior y racionales. Objetivo de la asignatura: En esta sesión el estudiante aplicará los conceptos sobre funciones polinomiales para realizar las gráficas correspondientes de las funciones e identificar las raíces reales que dan solución a dichas ecuaciones. Contextualización Las funciones polinomiales son las más básicas en matemáticas porque se definen solo en términos de suma, resta y multiplicación. En la práctica, a menudo es necesario dibujar sus gráficas y encontrar (o calcular) sus raíces. En esta sesión estudiaremos resultados que sirven para obtener esta información y luego dirigiremos nuestra atención a los cocientes de funciones polinomiales; esto es, funciones racionales. /wikipedia/commons/thumb /0/09/RationalDegree2byX edi.gif/250px-

3 2 Introducción al Tema Cómo reconozco la forma de una función? Una función es racional porque representa el cociente de dos polinomios? Las gráficas de las funciones polinomiales y racionales son iguales? Estas y más preguntas tenemos por responder a través del estudio de las funciones polinomiales y racionales. Saber obtener y reconocer a través de su forma los dominios de estas funciones es otro trabajo que realizaremos.

4 3 Explicación Función Polinomial. Si f es una función polinomial con coeficientes reales de grado n, entonces n n 1 f(x) = an x + an 1 x a1x + a0 con a 0 0 Todas las funciones polinomiales son continuas, es decir, sus graficas se pueden dibujar sin cortes o interrupciones. El dominio de una función polinomial son todos los valores que x puede tomar, para este caso son todos los números reales. Representado este intervalo por (, ) Trazo de gráficas. A continuación se describe una forma rápida de trazar una función polinomial sin necesidad de realizar alguna tabulación. Ejemplo 1: Trazo de grafica para f(x) = x 3 +x 2-4x -4. Grado 3. Solución: Primeramente se hallaran los valores de las raíces o ceros de la función, se debe de factorizar la función f(x) = x 3 +x 2-4x -4 = (x 3 +x 2 )+ (-4x -4) = x 2 (x+1) -4(x+1) = (x 2-4)(x+1) (x+2)(x-2)(x+1) A partir de estos factores e igualando a cero cada uno, x toma los valores de -2, 2, -1 los cuales representan las raíces o ceros de la función.

5 4 Gráficamente significa que la función se interseca en x= -2, -1 y 2 y estos puntos dividen al eje x en cuatro partes, considerando estas partes en intervalos abiertos, tenemos: (, 2),( 2, 1),( 1,2),(2, ) Estos intervalos ayudan a crear una tabla de signos: Intervalos (, 2) ( 2, 1) ( 1,2) ( 2, ) Signo de x Signo de x Signo de x Signo f(x) Posición en la grafica Abajo del eje x Arriba del eje x Abajo del eje x Arriba del eje x Con base en el signo de f(x) de la tabla, concluimos que F(x) > 0 si x está en ( 2, 1) U ( 2, ) F(x) < 0 si x está en (, 2) U ( 1,2). Su aspecto grafico es:

6 5 Función Racional Una función es racional si g( x) f ( x) =, donde g(x) y h(x) son polinomios. h( x) El dominio de f está definido por todos los números reales, excepto los números que hacen cero el denominador. Ejemplo 2: Encuentra el dominio de las siguientes funciones racionales. a) b) c) 1 ( x) = x 2 f ; dominio: todos los reales excepto -2. (, 2) U ( 2, ) 5x ( x) = x 2 9 f ; dominio: todos los reales excepto ±3. (, 3),( 3,3),(3, ) 3 x ( x) = x f ; dominio: todos los números reales. (, ) Ejemplo 3: Traza la gráfica de x + 1 f ( x) = x 1 Solución: 1. Encontrar las intersecciones en x, esto es, los ceros reales del numerador g(x) y trazar los punto correspondientes en el eje x. x+1 = 0 x= -1 y trazamos el punto (0, 1) en el eje x. 2. Hallar las raíces reales del denominador h(x). Para cada cero real a trazar la asíntota vertical x=a con línea punteada. x -1 = 0 x = 1, por lo que tenemos la asíntota vertical x = 1. Esta recta deberá de dibujarse como una línea punteada. 3. Determinar la intersección en y considerando f (0) si existe, y trazar el punto (0, f (0)) en el eje y f ( 0) = = 1 y trazamos el punto (0, 1) 0 1

7 6 4. Si hay una asíntota horizontal y = c, trazarla con línea punteada. Como el numerador y el denominador tienen el mismo grado 1, los coeficientes principales son 1 y 1 de modo que la asíntota horizontal es y = 1. Se dibuja con línea punteada. 5. Graficar f en cada una de las regiones del plano xy definido por las asíntotas verticales. Si es necesario, usar el signo de valores de función específicos a fin de señalar si la gráfica está arriba o abajo del eje x o de la asíntota horizontal. La línea verde es la asíntota vertical. La línea roja es la asíntota horizontal. Las líneas azules representan la forma de la función.

8 7 Conclusión En esta sesión aprendimos a graficar las funciones polinomiales y racionales sin necesidad de tabular, siguiendo una serie de pasos pudimos concretar la gráfica de estas funciones. También aprendimos a encontrar los dominios de las funciones y los ceros o raíces de la función. En la siguiente sesión trabajaremos con las Funciones exponenciales y logarítmicas.

9 8 Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet. Ditutor. (s.f). Función racional. Consultado el 25 de abril de 2013: Funciones polinomiales. (s/f). Consultado el 25 de abril de 2013: Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

10 9 Actividad de Aprendizaje Con los conocimientos adquiridos en esta sesión acerca de las funciones polinomiales, racionales y sus gráficas, los aplicarás para dar solución a cada uno de los planteamientos siguientes: I.- Encuentra las raíces reales de las siguientes funciones polinomiales: 1 a) f ( x) = x b) f 4 2 ( x) = x 4x II.- Traza la gráfica de las siguientes funciones: c) d) f ( x) = x + 3x 4x 4x 1 f ( x) = 2 x + 3 III.- Encuentra el dominio de las siguientes funciones: e) f) 3 f ( x) = x 4 x 2 f ( x) = 2 x x 6 Sube tu trabajo a la plataforma.

11 10 Bibliografía Swokowski, E., Cole, J. (2002). Algebra y trigonometría con geometría analítica. México. Thomson Learning.