Ecuaciones Cuadráticas

Transcripción

1 MB0003 _MAAL_Cuadráticas Versión: Septiembre 0 Ecuaciones Cuadráticas por Oliverio Ramírez Juárez Una ecuación cuadrática es una ecuación de segundo grado, cuya forma general o canónica es a b c 0. La siguiente figura muestra el nombre de cada término que la conforma: En esta lectura estudiarás los métodos para resolver (encontrar las soluciones de) una ecuación cuadrática, pero qué significa encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática?, qué representan? Vamos por partes. Las soluciones de una ecuación cuadrática también son conocidas como raíces o ceros de la ecuación, y son los valores de la variable, que hacen cierta la igualdad. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación 3 0 son y porque Caso. Cuando, Caso. Cuando, En ambos casos, al sustituir los valores y en la ecuación, ésta se cumple, por lo que se verifica que son soluciones de la ecuación dada.

2 MB0003 _MAAL_Cuadráticas Versión: Septiembre 0 Para dar respuesta a la segunda pregunta qué representan?, es necesario trazar la gráfica de la función correspondiente, es decir y 3. Te recomiendo utilizar un software especial para graficarla. Gráfica de y 3 Reconoces esta gráfica? La gráfica de una ecuación cuadrática siempre es una parábola. La epresión y = + 3+ representa todos los puntos que forman la parábola, y la epresión sólo representa los puntos en los que la parábola se intersecta con el eje de las s, por ello, cuando se calculan las soluciones de una ecuación cuadrática, lo que se está determinando son los valores de, en donde la parábola corta al eje de las Identificas en la gráfica anterior los valores y = -?, están señalados en azul para que sea más sencillo identificarlos. Siempre que encontramos la solución de una ecuación cuadrática estamos determinando su intersección con el eje horizontal? La solución de una ecuación cuadrática siempre representa los valores de, que hacen cierta la igualdad, pero no siempre representan las intersecciones con el eje, debido a que en ocasiones la gráfica no intersecta al eje de las s (también llamado eje horizontal o de las abscisas).

3 MB0003 _MAAL_Cuadráticas Versión: Septiembre 0 Para que una ecuación se considere cuadrática se requiere que el término cuadrático a esté siempre presente; se puede prescindir del término lineal y del término constante, pero no del cuadrático. Por lo anterior, se pueden presentar tres tipos distintos de ecuaciones cuadráticas.. Término cuadrático + constante.. Término cuadrático + término lineal. 3. Cuadrática completa. a a a c 0 b 0 b c 0 Para resolver cada una de estas tres formas de una ecuación cuadrática, se requiere la aplicación de distintos métodos. En la siguiente tabla se muestran estos métodos de solución. Forma de la ecuación cuadrática a c 0 Método de solución Despejar y etraer raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación. c c Ejemplo 9 0 Despejando, tenemos: 9 Sacando raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación, queda: 9 Gráfica 3 3

4 MB0003 _MAAL_Cuadráticas Versión: Septiembre 0 a b 0 Factorizar aplicando el método de factor común e igualar cada factor con cero. 4 0 El factor común es, por lo tanto: ( ) 0 Igualando con cero cada factor, queda: a b c 0 Factorizar, aplicando distintas técnicas. Aplicar la fórmula general de las cuadráticas. 0 La factorización de esta epresión es: 0 Igualando con cero cada factor, queda: Tabla. Métodos de solución de ecuaciones cuadráticas. Los siguientes ejemplos muestran distintos casos que se pueden presentar al resolver una ecuación cuadrática. Ejemplos:. Resuelve la ecuación = + 3 por factorización. Solución. Antes de iniciar la solución de la ecuación, ésta debe estar igualada con cero. Pasando 3, restando al lado izquierdo del signo igual, queda: 3 0 4

5 MB0003 _MAAL_Cuadráticas Versión: Septiembre Factorizando 0 Igualando con cero cada factor para obtener las raíces, obtienes: Por lo que las soluciones de la ecuación dada son: 3, Para verificar que los resultados obtenidos son correctos, sustituye las soluciones en la ecuación original: Con lo anterior se comprueba la validez de las soluciones encontradas.. Resuelve la ecuación 6 Solución. Igualando la ecuación con cero, obtienes 6 0. Factorizando esta ecuación, queda: Igualando cada factor con cero y despejando, tienes:

6 MB0003 _MAAL_Cuadráticas Versión: Septiembre 0 Para verificar que los resultados obtenidos son correctos, sustituye las soluciones en la ecuación original: Con lo anterior se comprueba la validez de las soluciones encontradas. 3. Resuelve la ecuación Solución. Factorizando esta ecuación, obtienes: Igualando cada factor con cero y despejando, tienes: Para verificar que los resultados obtenidos son correctos, sustituye las soluciones en la ecuación original: Con lo anterior se comprueba la validez de las soluciones encontradas. 6 0 En ocasiones algunas epresiones no se pueden factorizar o su factorización se dificulta, para estos casos se puede aplicar la fórmula general de las cuadráticas, misma que estudiaste en el curso de matemáticas básicas la recuerdas? b b 4ac a 4. Resuelve la ecuación 5 0 mediante la fórmula general. 6

7 MB0003 _MAAL_Cuadráticas Versión: Septiembre 0 Solución. Para utilizar la fórmula, primero se debe identificar cada coeficiente de la ecuación, siempre considerando la forma general de una ecuación cuadrática, es decir, a b c 0 Para la ecuación 5 0, los coeficientes a, b, y c son: a b c 5 Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtienes: b b 4ac a Por lo que las soluciones de la ecuación, son: Para verificar que los resultados obtenidos son correctos, sustituye las soluciones en la ecuación original: Con lo anterior se comprueba la validez de las soluciones 5 y 3. 7

8 MB0003 _MAAL_Cuadráticas Versión: Septiembre 0 Algunas ecuaciones pueden tener soluciones complejas; la fórmula general permite hallar este tipo de soluciones. El siguiente ejemplo muestra lo anterior. 5. Resuelve la ecuación 5 0 mediante la fórmula general. Solución. Para utilizar la fórmula, primero se debe identificar cada coeficiente de la ecuación, siempre considerando la forma general de una ecuación cuadrática, es decir, a b c 0 Para la ecuación 5 0, los coeficientes a, b, y c, son: Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtienes: a b c 5 b b 4ac a Observa que en el radical aparece un número negativo, y la raíz cuadrada de números menores a cero no está definida en los números reales. Para estos casos se puede utilizar la siguiente definición. Un número complejo tiene la forma z a bi, El número i, está definido como: i De acuerdo con esta definición: 8

9 MB0003 _MAAL_Cuadráticas Versión: Septiembre 0 i 6 Aplicando este concepto en la ecuación cuadrática, obtienes: Por lo que las soluciones de la ecuación, son: 4i i 4i i Para verificar que los resultados obtenidos son correctos, conviene escribir la ecuación en forma factorizada (a partir de las soluciones calculadas) y multiplicar; si se obtiene la ecuación original significa que las soluciones son correctas. Igualando las soluciones con cero, obtienes: i i 0 i i 0 Por lo que la ecuación original, en su forma factorizada es: 5 0 i i 0 Observa que esta multiplicación corresponde con el producto notable binomios conjugados, por lo tanto: 9

10 MB0003 _MAAL_Cuadráticas Versión: Septiembre i i i Desarrollando el binomio y sustituyendo la igualdad i, obtienes: i Que es la ecuación original. Con lo anterior se comprueba la validez de las soluciones halladas. En ocasiones es necesario determinar las coordenadas del vértice de la parábola descrita por una función cuadrática, para ello, se aplica la siguiente fórmula: a b Esta epresión es la ecuación del eje de simetría de la parábola o la abscisa del vértice. 6. Cuál es el vértice de la parábola descrita por f?, cuáles son sus intersecciones con el eje?, cuáles son sus intersecciones con el eje y? Solución. La abscisa del vértice se determina usando la relación a b De la función f se observa que a y b, por lo que: ) ( () Para calcular la coordenada del vértice, se sustituye, en la función obtienes:

11 MB0003 _MAAL_Cuadráticas Versión: Septiembre 0 f f 9 f Entonces las coordenadas del vértice son 0. 5 y y.5. Para contestar la segunda pregunta es necesario hacer f 0 y resolver la ecuación, esto es: Multiplicando por - y factorizando: Por lo que las soluciones, raíces o intersecciones con el eje son: y. Cómo encontrarás la intersección con el eje y?, de la misma forma que para encontrar las intersecciones con el eje, se hace f ( ) 0 (es decir, y 0 ), para encontrar la intersección con el eje y realiza 0, entonces: f f f Es decir, la intersección con el eje y es el término independiente. A continuación se muestra la gráfica de la función cuadrática analizada, en donde se señala el vértice y las intersecciones con los ejes coordenados.

12 MB0003 _MAAL_Cuadráticas Versión: Septiembre 0 Aplicaciones de ecuaciones cuadráticas Grafica de la función cuadrática Algunos problemas conducen a ecuaciones cuadráticas. Analiza los siguientes ejemplos. Ejemplos:. Cierta compañía que manufactura partes automotrices estima que sus utilidades en los próimos 0 años, en miles de dólares, puede modelarse con la epresión: U( n) 0.4n n 7, en donde n representa el número de años completos. Cuál es la utilidad de la compañía durante su primer año de operación?, cuál es la utilidad de la compañía en 0 años?, cuántos años transcurren para que la compañía alcance el punto de equilibrio? Solución. Para determinar la utilidad de la compañía en el año, sustituye en la epresión matemática n, y obtienes: U () U () U () 4.6

13 MB0003 _MAAL_Cuadráticas Versión: Septiembre 0 Al primer año la compañía tendrá una utilidad negativa, que en realidad se traduce como pérdidas, esto puede ser debido, entre otras cosas, a que la utilidad son los ingresos menos los costos, y cuando una compañía inicia operaciones los ingresos son pocos y los costos son elevados. Haces lo mismo para n 0, y obtienes: U (0) U (0) 33 0 U (0) En 0 años se espera tener utilidades de 33 miles de dólares. Para calcular el punto de equilibrio, es decir, el momento en que la utilidad es cero, es necesario resolver la ecuación cuadrática. Aplicando la fórmula general, queda: 7 n n n.37 n Como el tiempo no puede ser negativo, se descarta n Entonces se estima que en aproimadamente.37 años, la compañía alcanzará el punto de equilibrio.. Dos maestros pintores son capaces de pintar una nave industrial en 6 días si trabajan juntos. Si se sabe que a uno de ellos le lleva pintar la nave industrial completa 5 días menos que al otro cuánto tiempo le lleva a cada pintor realizar el trabajo si trabajan solos? Solución. En este caso denominas al número de días que le lleva al pintor más rápido pintar la nave industrial. Dado esto, al otro pintor le tomará +5 días realizar el mismo trabajo. Por otro lado, es la fracción de la nave que puede pintar el pintor más rápido en un día. De la misma forma, 5 es la fracción de la nave que puede pintar el segundo pintor en un día. 3

14 MB0003 _MAAL_Cuadráticas Versión: Septiembre 0 Considerando que juntos pueden hacer el trabajo en 6 días, si sumas las contribuciones de ambos, en un día pueden pintar 6 de la nave industrial. La ecuación que define el problema es: 5 Observa que esta ecuación contiene epresiones racionales que estudiaste en la primera actividad de aprendizaje de este curso. Para resolver esta ecuación, conviene multiplicarla por 6 5 para eliminar los coeficientes, tienes: Reduciendo y reacomodando términos, queda: Resolviendo la ecuación mediante la fórmula general de las cuadráticas, obtienes: b b 4ac a Por lo tanto, las soluciones de la ecuación, son:

15 MB0003 _MAAL_Cuadráticas Versión: Septiembre 0 Debido a que estas soluciones representan el número de días que el pintor más rápido tarda en pintar toda la nave industrial, la solución 3 no tiene sentido. Así, la solución al problema es 0. Como el otro pintor tarda 5 días más, requiere 5 días para pintar toda la nave industrial. En este ejemplo se aplicaron varios conceptos algebraicos para la solución del problema. Por ello, es importante tener en cuenta los procedimientos algebraicos y aplicarlos de manera correcta cuando se necesiten. Conforme avances en tus estudios te darás cuenta que la aplicación del álgebra es tan frecuente como variada. Referencias Gustafson, R. D. (997). Álgebra Intermedia (V. González Pozo, Trad; a. ed). Méico: International Thomson Editores. Harla. Leithold, L. (995). Álgebra (A. Eroles Gómez. Trad; a ed). Méico: Editorial Rees, P. K. & Sparks, F. W. (990). Álgebra contemporánea (L. M. Ros Torres. Trad; 5a. ed). Méico: McGraw Hill. Swokowski, E. W. & Cole, J. A. (00). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (H. Villagómez. Trad; 0a. ed). Méico: Thomson Learning. Zill, D. G. & Dewart, J. M. (99). Álgebra y trigonometría. (G. Ramírez Mariño y Y. García Rodríguez, Trads.). a. ed). Santa Fe de Bogotá, Colombia: McGraw Hill 5