PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES

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1 Universidad Vladimir Ilich Lenin Las Tunas PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Milagros Riquenes Rodríguez; Raúl Hernández Fidalgo; Arsenio Celorrio Sánchez; Salvador Ochoa Rodríguez

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3 PÁGINA LEGAL 7.8-Riq-P Riquenes Rodríguez, Milagros Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales en: problemas de matemáticas para el ingreso a la Educación Superior / Milagros Riquenes Rodríguez; Raul Hernández Fidalgo; Salvador Ochoa Rodríguez. -- La Habana Cuba : Editorial Universitaria,. -- ISBN pág.. Universidad Vladimir Ilich Lenin Las Tunas.. Matemáticas en la enseñanza media: libros de teto ISBN obra completa Digitalización: Dr. C. Raúl G. Torricella Morales, torri@reduniv.edu.cu Depósito Legal: Milagros Riquenes Rodríguez; Raúl Hernández Fidalgo; Arsenio Celorrio Sánchez; Salvador Ochoa Rodríguez, Universidad de Las Tunas - Editorial Universitaria del Ministerio de Educación Superior, La Editorial Universitaria Cuba publica bajo licencia Creative Commons de tipo Reconocimiento, Sin Obra Derivada, se permite su copia y distribución por cualquier medio siempre que mantenga el reconocimiento de sus autores y no se realice ninguna modificación de ellas. Calle entre F y G, No.. El Vedado, Ciudad de La Habana, CP, Cuba torri@reduniv.edu.cu En acceso perpetuo:

4 TABLA DE CONTENIDO. Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales este capítulo. Ecuaciones Lineales. Ecuaciones Cuadráticas. Ecuaciones con radicales, eponenciales y logarítmicas reducibles a ecuaciones lineales y cuadráticas. Inecuaciones Lineales. Inecuaciones Cuadráticas. Sistema de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas. Método de adición algebraica. Método de Sustitución. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas. Ejercicios. Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales. Trigonometría Ángulos y medición de ángulos Fórmulas de reducción Función Periódica Gráfico de la Función y sen en [, π] y sus propiedades Funciones de la forma y a sen b con a R y b R y sus propiedades Gráficas de las funciones: Coseno, Tangente y Cotangente y sus propiedades Algunas identidades trigonométricas Demostración de identidades trigonométricas Ecuaciones trigonométricas Ejercicios

5 PRÓLOGO DE LOS AUTORES El libro: Problemas de matemáticas para el ingreso a la Educación Superior tiene el objetivo de ayudar a los estudiantes a prepararse para las pruebas de ingreso a la Educación Superior. Se compone de tres capítulos: Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales este capítulo. Sistema de ecuaciones lineales y Trigonometría. El libro presenta un sistema de conceptos, ejemplos resueltos, una metodología de trabajo y ejercicios propuestos con problemas de aplicaciones; todo esto en un lenguaje claro y sencillo. Contiene un gran número de ejemplos resueltos, en los que se ejemplifica la metodología de trabajo empleada, lo cual constituye un aporte metodológico al estudio de las matemáticas. Los autores, junio

6 . Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales Milagros Riquenes Rodríguez, Raúl Hernández Fidalgo y Salvador Ochoa Rodríguez

7 Ecuaciones Lineales. Se denominan ecuaciones, las igualdades que contienen una o varias variables o incógnitas y solo se satisfacen para algunos valores de las variables. En este trabajo el dominio de las variables que se utilizan, es el de los números reales. Resolver una ecuación es determinar los valores de las variables que hacen cierta la igualdad o asegurarse de que no eisten tales valores. Los valores que hacen cierta la igualdad se llaman soluciones o raíces de la ecuación. Las ecuaciones de la forma a b con a y b números reales a se denominan lineales b en una variable real y se resuelven despejando la variable o sea a Ejemplos. Resolver las ecuaciones: a b 8 c d Soluciones: a b Prueba : S En este caso, la ecuación no está epresada en la forma a b con a, debe reducirse la misma a ésta mediante las siguientes transformaciones algebraicas: Agrupar todos los términos que contienen la variable en el miembro izquierdo de la ecuación y los valores numéricos en el miembro derecho : Hallar el común denominador de la ecuación que es el mínimo común múltiplo de los números:,, y. MCM,,,.

8 Multiplicar toda la ecuación por MCM 9 /. Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas. Reducir en cada miembro, los términos semejantes Despejar la variable Comprobación o prueba: 7 : 7 : Como ambos miembros son iguales, la ecuación se satisface para el valor solución es S. 7 Análogamente se resuelven los demás ejemplos. c S {} Nota: La prueba queda para el estudiante. d y el conjunto Esta ecuación es fraccionaria, pero mediante transformaciones algebraicas sencillas como son: multiplicar por el común denominador ambos miembros, efectuar los productos indicados y reducir términos semejantes en cada miembro es posible convertirla en una ecuación de la forma a b con a. El común denominador de la ecuación es:

9 9 9 Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas. / 8 / : 8 - Nota: Comprobar la solución obtenida. Ecuaciones Cuadráticas. Las ecuaciones del tipo a b c con a, b y c números reales y a se denominan cuadráticas y se resuelven mediante la fórmula: b ± b ac,, donde D b ac es el discriminante. a Sí D > La ecuación tiene dos soluciones reales diferentes. Sí D La ecuación tiene dos soluciones reales iguales. Sí D < La ecuación no tiene soluciones reales. Cuando el trinomio a b c tiene descomposición factorial racional se puede utilizar este procedimiento para reducir la ecuación de segundo grado a dos ecuaciones lineales. Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones: a b y y y c d z z e

10 Solución: a ; a, b, c ; ±,, ó Prueba para Prueba para ± S { ;} Observe que el trinomio a se descompone en , - ó : ó por lo que De esta forma el procedimiento para obtener las soluciones de la ecuación de segundo grado es más cómodo, por lo que se recomienda que se analice primeramente sí el trinomio tiene descomposición factorial racional por los métodos estudiados. En caso de no eistir la descomposición factorial racional, se utiliza la fórmula. b y y y En este caso se deben realizar transformaciones algebraicas hasta obtener la ecuación dada en la forma a b c y y y y 8y Como el trinomio del miembro izquierdo no tiene descomposición factorial, se debe utilizar la fórmula para resolver la ecuación de segundo grado. Para sustituir en la fórmula es necesario identificar el valor de a, de b y de c: a, b 8 y c, 8 ±, ó 8 8 ± 8 ± Compruebe los resultados obtenidos. S c { ; } Esta ecuación es fraccionaria, pero mediante transformaciones algebraicas sencillas como son:

11 multiplicar por el común denominador ambos miembros, efectuar los productos indicados y reducir términos semejantes en cada miembro es posible convertirla en una ecuación de la forma a b c con a, b y c números reales y a - ó /. - MCM. Nota: El valor no pertenece al dominio de la ecuación porque anula dos de los denominadores de la misma, por tanto, no es solución de la ecuación. Prueba para : S {- } Nota: Los valores de la variable de una ecuación que no pertenecen al conjunto solución por ser valores que indefinen la ecuación o por no satisfacer la misma se denominan raíces etrañas. d z z Como el discriminante a, b, c D b ac < {} ó S φ la ecuación no tiene soluciones reales y S e reduzcamos la ecuación dada a la forma y y y y y sustituyendo por ó y y La igualdad y, o sea, Sustituyendo en la ecuación y y se obtiene : a b c es imposible en R, por lo que no genera 7

12 solución Realice la prueba S { ; }. para la ecuación para estas Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas. dada. En la igualdad raíces. se cumple : ± Ecuaciones con radicales, eponenciales y logarítmicas reducibles a ecuaciones lineales y cuadráticas. Ecuaciones con radicales. Las ecuaciones que contienen la incógnita bajo el signo radical al menos una vez, se denominan irracionales o ecuaciones con radicales. Para resolver una ecuación con radicales es necesario realizar transformaciones para reducirlas a una ecuación lineal o cuadrática. En estas transformaciones se pueden introducir raíces etrañas por lo que se requiere comprobar los valores hallados en la ecuación original. Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones: a b c d e f g / h i j 7 k 8 l Solución: a Racionalicemos la ecuación elevando al cuadrado ambos miembros. 9 9 log log 7 log Comprobación: S { } 9 b En este caso para racionalizar la ecuación aislemos Comprobación: 8

13 9 primeramente el radical. cuadrado Elevando al {} S c [ ] [ ] 9 {} S S Para S Para Comprobación d [ ] [ ] cuadrado al nuevamente Elevando radical Aislandoel cuadrado Elevandoal Aislandoun radical {} ; Comprobacion S e { } Comprobación : S

14 f [ ] [ ] 9 8 Comprobación : ; S { } [ ] / : g / [ ] [ ] [ ] / / 8 Comprobación : / : S / { / } / / / / 8 / 8 / / / h [ ] / 9 9 Comprobaci ón : S { } / / 9 /

15 [ ] [ ] 8 : / [] [ ] / i [ ] : / {} ecuación de la etraña raíz una es que este caso decimos En ó : : Comprobación : S S φ j 7 [ ] S 7 : : para Prueba Comprobación

16 7 [ ] [ 7 ] 7 8 Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas. / Prueba para / :/ / : / / / / / / { ;/ } 7 / 7 / / / S S 8 k. En este caso se trata de una ecuación eponencial, la cual debe estar epresada mediante potencias de igual base a través de las propiedades de las operaciones con potencias. 8 ; ; ; S { ; } l log log log log log 7 log 7 log [ 7 ] log 7 Comprobación : S porque log Para log 7 log log -, log -, log - log log Aplicando las propiedades de las operaciones con potencias obtenemos : log Ecuación logarítmica y para su solución log se aplican las con los logaritmos, epresados 7 son epresiones no definidas log log9 ; propiedades de las operaciones log9 log9 7 S en la misma base. {}

17 Ejercicios.. Resuelve las siguientes ecuaciones: a 9 8 Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas. b c y [ y 7y 9 ] d z z z e.7.. f 7 g 7 h i. k. y m y o j l 8 n 7, 7, 7, p, q r 9 8. Halla el conjunto solución: a 9 b 9 c d e f g h i j 9 a a a k 7 l t t 9 9 m n 9t t t t o. Para qué valores de R se satisfacen las siguientes igualdades. a b p c d

18 e f 7 g 7 h 8 i j k l m n ñ 8 p o : 7 7 r s q 9 t 7 u / / 7. Resuelva las siguientes ecuaciones y compruebe sus resultados: a 7 d b e 7 c 7 f 7. Calcula los ceros de la función h. Resuelve la ecuación: 7. Halla el conjunto solución de la ecuación 8. Sean las funciones: f y h Calcula las coordenadas de los puntos de intersección de los lados gráficos de las funciones f y h. 9. Resuelve la ecuación:. Dadas las funciones definidas por las siguientes ecuaciones: f y g. Determina los puntos de intersección de los gráficos de f y g cuyas abscisas,7 son menores que las soluciones de la ecuación 7

19 log9. Halla los valores de que satisfacen la ecuación: 9. Resuelve la ecuación: log 9 log 7. Sea: f. Halla todos los valores de t para los que se cumple: f t f t f t.. Resuelve la ecuación: log log - sencos. Sean las funciones: f y g los cuales se cumple que f g. k k. Resuelve la ecuación: log log log 7 log log 7. Sean las funciones: f y g para los cuales ambas funciones alcanzan el mismo valor. 8. Resuelve la ecuación: - log. Determina los valores de para. Determina los valores de 9. Halle los valores de a para los cuales 8 es solución de la ecuación: a a. Resuelve:. Sea la función definida por log A. f. a Halla el valor de A para el cual se cumple f. b Considerando que A, halla todos los valores de que satisfacen la ecuación f.. Determina los valores reales de que satisfacen la ecuación: ².9 ². Sean las funciones f y g. Encuentra los valores reales de para los cuales se cumple la ecuación f g.. Dadas las funciones f y g definidas por f y g ³ ². Determina los valores reales de tales que f g. Sean f y g dos funciones reales dadas por las ecuaciones 7 logt ft t y g t t ² t. Determina para qué valores de t se cumple que ft gt. Dada la función f de ecuación f log a. a Si el punto de coordenadas ; pertenece al gráfico de f, determinar el valor de a y escribe la ecuación de f.

20 b Si g log, halle todos los valores reales de para los cuales se cumple que f g. Inecuaciones Lineales. En grados inferiores, a las desigualdades con variables se les denomina inecuaciones. Las inecuaciones de la forma a b < ó a b ó a b > ó a b con a se denominan inecuaciones lineales en una variable y se resuelven despejando la variable, teniendo en cuenta que cuando se multiplica o divide en ambos miembros por un número negativo el sentido de la desigualdad se invierte. La inecuación lineal está epresada en sentido estrito si es de la forma a b < ó a b > y en sentido amplio si es de la forma a b ó a b. Ejemplos. Resolver las siguientes inecuaciones y representar gráficamente el conjunto solución. a > b > c Solución: En cada una de las inecuaciones dadas, se debe trasformar algebraicamente, es decir, agrupar y reducir todos los términos que contienen la variable en el miembro izquierdo y los términos numéricos en el miembro derecho hasta obtener una inecuación de la forma a b < ó a b ó a b > ó a b con a y posteriormente despejar la variable. a > > - > / : > S R : > 9 b > > / : > 9 < < - -

21 c S { R : } Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas. - Inecuaciones Cuadráticas. Toda inecuación de la forma: a b c < ó a b c ó a b c > ó a b c con a se denomina inecuación cuadrática. El trinomio a b c es el miembro izquierdo de la inecuación y es el miembro derecho. Resolver una de estas inecuaciones es determinar para qué valores de R y a b c con a,b y c números reales y a función cuadrática es positiva y >, no negativa y, negativa y < o no positiva y. Para resolver una inecuación cuadrática se debe tener en cuenta lo siguiente: Los ceros de la función cuadrática determinan si los tiene varios intervalos en R rayo numérico y en cada uno el signo de la mismas es constante. A continuación se presenta la discusión de cada uno de los casos posibles en la determinación del signo constante de la función cuadrática en cada uno de los intervalos determinados. a Sí a > y <. En este caso la gráfica de la y función y a b c con a,b y c números reales y a es una parábola Fig. que abre hacia arriba siendo y las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática a b c, que son los ceros de la función y a b c abscisas de los interceptos de la parábola con el eje de las, los intervalos determinados son ;, ; y ; y los signos constante de la función cuadrática son los mostrados en la siguiente figura, tomados de la Fig. - - O Fig. - 7

22 b Sí en a cambiamos solamente el signo del factor a Fig., entonces cada signo se cambia por su opuesto, es decir, los signos de la función cuadrática en cada uno de los intervalos determinados son,,, dispuestos de derecha a izquierda en el rayo numérico. y Fig. c Si a > Fig. y. En este caso los ceros de la función cuadrática son iguales, por tanto. los intervalos determinados son ; y ; y los signos constante de la función son y como se muestra en la figura siguiente: - O Fig. y e Sí a > Fig., el trinomio no tiene ceros y la desigualdad es menor que cero, entonces no tiene solución la inecuación porque en la función y a b c con a, y >, R. Fig. f Sí a > Fig., el trinomio no tiene ceros y la desigualdad es mayor que cero, entonces el intervalo de signo constante es todo R porque en la función y a b c con a, y >, R. g Sí a < Fig., el trinomio no tiene ceros y la desigualdad es mayor que cero, entonces no hay solución para la inecuación porque en la función y a b c con a, y <, R. h Sí a < Fig., el trinomio no tiene ceros y la desigualdad es menor que cero, entonces el intervalo de signo constante es todo R porque en la función Fig. y a b c con a, y <, R. Como conjunto solución, se toman los intervalos de signo constante que coincidan con el sentido de la desigualdad. Nota: Por lo epuesto en la discusión de cada uno de los casos posibles en la determinación del signo constante de la función cuadrática en cada uno de los intervalos determinados, cuando la misma no tiene ceros, se puede concluir *: 8 O y

23 Si el signo del coeficiente a coincide con el sentido de la desigualdad de la inecuación a > y > ó a < y < la solución de la inecuación es todo el conjunto de los números reales R. Si el signo del coeficiente a es opuesto al sentido de la desigualdad de la inecuación a > y < ó a < y > la solución de la inecuación es el conjunto nulo o vacío, es decir, la inecuación no tiene solución lo que se denota como S { } ó S φ Ejemplos. Resuelve las siguientes inecuaciones y represente gráficamente el conjunto solución. a b 8 < c < d > 7 Solución: En cada uno de los casos se debe seguir el siguiente procedimiento: Transformar algebraicamente en ambos miembros hasta reducir la inecuación a la forma: a b c < ó a b c ó a b c > ó a b c con a >.Ig ualar a cero el miembro derecho y resolver la ecuación cuadrática resultante. Los valores obtenidos los denotaremos como y Situar a y a en el rayo numérico Como a > el signo constante de la función en cada intervalo es de la forma:,, Fig. si y son soluciones reales diferentes ó, Fig. si y son soluciones reales iguales. Para el caso de que no eistan los valores reales y no es necesario determinar los intervalos de signo constante y se debe concluir según *. Dar el conjunto solución, tomando los intervalos que su signo coincida con el sentido de la desigualdad. Los límites de los intervalos al menos uno solo se incluyen en la solución si la desigualdad es en sentido amplio ó a trinomio son ó b 8 < 8 < 8 < / : 9 <, los ceros del { R : ó } R : ; ] [ ; S ó S 9 a, b 9, c Como en este caso el trinomio no se descompone en factores racionales, utilizamos la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas

24 , 9 ± 8 9 ± ± 9 ±. 7 9 ó 9 S 9 9 R : < < ó 9 9, c < < 9 9 < 7 < / : < < La función S φ < y es no negativa para toda R, luego la inecuación no tiene solución. d > 7 > 7 7 > > Este trinomio no tiene descomposición factorial racional por lo que aplicamos la fórmula: 7 a, b, c 7 D b ac < El trinomio no tiene descomposición factorial en R pero coincide el signo de a, coeficiente de con el signo de la inecuación dada >, la solución es todos los números reales S R. Ejercicios.. Resuelve las inecuaciones siguientes: b. >. 8 a c < d > e 7 9 > f <

25 g h < i 7 < j > k.. 7 l >. Hallar los valores de R que satisfacen las siguientes inecuaciones: a > b c d e f 7 > g h 9 i > j k 7 > l > m < n.. ñ 8 > o p > > q < r < s <. Sean y C, B A 9 a Para qué valores de, el numerador de A y B es no negativo b Para qué valores de, el denominador de A es negativo c Si B es positivo, qué valores toma? d Para qué valores de, C es positivo.

26 9. Dada la función definida por: p. Determina para qué valores de los puntos 9 correspondientes al gráfico de p están por debajo del eje X.. Sea A. Determina el conjunto de números reales no negativos para los cuales A Sean: A y B 8. Halla el mayor número entero negativo para el cual - se cumple A B Dada la función f. determina los valores reales de para los cuales se cumple que f. 8. Resuelve la siguiente inecuación: log 7 log log 9. Dadas f k, g y h a Calcula los valores de k para los cuales la función f tiene dos ceros diferentes. b Calcula los ceros de f para k 7., c Determina los valores de que satisfacen la inecuación g < h.. Dadas las epresiones: A y B 8.Determina para qué valores de están definidas simultáneamente ambas epresiones.. Resuelve la inecuación. 9. Dadas la funciones f log y g log,. Halla los valores de para los cuales las imágenes de la función f son menores o iguales que las imágenes de la función g. m m m m. Sean las epresiones A y B. m m m m a Prueba que para todos los valores admisibles de la variable se cumple que A B m. b Halla todos los valores reales de la variable m para los cuales se cumple que: A m m B. Sean las funciones reales f, g y h, definidas por las ecuaciones: g y h h g. f,. Calcula los valores reales para los cuales se cumple que

27 . Se tiene la epresión a Resuelve la ecuación Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas. A. A R. b Determina para quévalores reales de la variable se cumple que A.. Sean f y g f g.. Determina para qué valores de se cumple:

28 BIBLIOGRAFÍA. Álvarez Socarrás Ada Matemática para curso Introductorio/ Ada Álvarez Socarrás.- Camagüey: /s.c/,/s.a/. 9p.. Ballester, Sergio: Cómo Sistematizar los conocimientos matemáticos. Editorial Academia. Ciudad de la Habana Ballester, Sergio y C. Arango: Cómo Consolidar Conocimientos Matemáticos. Editorial Academia. Ciudad de la Habana Campistrus, Pérez L. Y otros: Matemática. Orientaciones Metodológicas grado. Editorial Pueblo y Educación Cuadrado González, Zulema. Matemática mo grado / Zulema Cuadrado González, Richard Nerido Castellanos y Celia Rizo Cabrera. La Habana: Editorial Pueblo y Edición,. 99. p. 7. Eámenes de Ingreso a la Educación Superior

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