Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.

Transcripción

1 TEMA ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS- 1. ECUACIONES Una ecuación es una igualdad matemática entre dos epresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Ejemplo: X-6=10-6X Partes de una ecuación TÉRMINO Los términos son los sumandos que forman los miembros. INCÓGNITA Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación. MIEMBRO Los miembros de una ecuación son cada una de las epresiones que aparecen a ambos lados del signo igual. SOLUCIÓN Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta. GRADO El grado de una ecuación es el maor de los grados de los monomios que forman sus miembros. TIPO DE SOLUCIONES SOLUCIÓN NUMÉRICA: X=5 UNA ÚNICA SOLUCIÓN SOLUCIÓN: 0=0 INFIINITAS SOLUCIONES (IDENTIDAD) NO TIENE SOLUCIÓN: 0X= Nº 1

2 . TIPOS DE ECUACIONES Y SU RESOLUCIÓN. 1º GRADO o Como indica su nombre, son las ecuaciones que tienen de grado 1, con lo que solo tienen una solución como máimo. Las podemos encontrar con o sin denominadores SIN DENOMINADORES: Consiste en colocar las (incógnitas) en el lado iquierdo respecto el igual, los números (términos independientes) en el lado derecho. Para ello si ha que cambiar algo de lado, lo que se hace es cambiarlo de lado con el signo diferente. Al final el número que va con la pasa dividiendo. Ejemplo: 5-+-7= = = 6 1 CON DENOMINADORES: Se realia el mínimo común múltiplo cuando esté realiado, eliminamos los denominadores resolvemos la ecuación. Ponemos paréntesis a los numeradores además si ha un menos delante, tenemos que ponerle un corchete Ejemplo: 1 ( ) [ (5 1)] ( 5) (1) [10 ] [10 ]

3 º GRADO o Como indica su nombre, son las ecuaciones que tienen de grado, con lo que podemos encontrar con dos soluciones como máimo. Las podemos encontrar con o sin denominadores. Además eisten dos tipos de ecuaciones de º grado: completas e incompletas. COMPLETAS: Son del tipo: a +b+c=0 se resuelven con la siguiente fórmula: Ejemplo: ++1=0 b b ac a 0 1 b b a ac INCOMPLETAS: Eisten dos tipos de ecuaciones incompletas: o a +b=0 Se resuelve, sacando factor común, e igualando la parte de fuera del paréntesis a cero la parte de dentro del paréntesis a cero. Una solución siempre es cero. Ejemplo: -8=0 =0; =0 (-)=0 -=0 ; = o a +c=0 Se resuelve como si fuera de primer grado, pero cuando despejamos la, hacemos su raí cuadrada obtenemos las dos soluciones Ejemplo: -8=0-8=0 =8 = 8 = =

4 BICUADRADAS

5 > º GRADO o Estas ecuaciones se resuelven, mediante la regla de Ruffini. Ejemplo: Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±, ±.. Dividimos por Ruffini probando con uno de los divisores. Por ser la división eacta, una raí es = 1. Continuamos realiando las mismas operaciones al segundo factor. Otra raí es = 1. El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras. Si resolvemos la ecuación de segundo grado + -6 = 0, obtenemos las soluciones =- =/. La factoriación del polinomio es: P() = = ( 1) ( +1) ( +) ( /) Las raíces son: = 1, = 1, = = / CON RADICALES o Estas ecuaciones son las que aparecen con radicales, por ejemplo: 17 1 Ejemplo: 17 1 i. Dejar aislado el radical al otro lado del igual el resto de la ecuación después junto lo que pueda: ii. El siguiente paso es elevar ambos miembros al índice de la raí, en este caso al cuadrado. Después resuelvo el cuadrado resuelvo la ecuación resultante = =

6 0= = b b ac a iii. El último paso es sustituir los resultados de la ecuación en la ecuación principal, para comprobar que son resultados de la ecuación. No siempre las soluciones del paso son los resultados correctos. SIEMPRE HAY QUE COMPROBAR. =8 17 1; ; 5 7 ; 5+=7 ; 7= 7 = ; ; 16 ; +=- ; 6= - SOLUCIÓN X=8 CON X EN EL DENOMINADOR (RACIONALES) o Estas ecuaciones se resuelven igual que las ecuaciones con denominadores que hemos visto anteriormente, pero en este caso ha que hacer el mínimo común múltiplo con letras en ve de números Ejemplo: 1. Hacemos el m.c.m de los denominadores (-) (+) ( -) Lo mejor es descomponer todo, en este caso, nos faltaría descomponer el último denominador: - = (-) (+) De esta manera se nos quedaría lo siguiente: (-) (+) (-) (+) Para el m.c.m cogemos los comunes no comunes de los paréntesis con incógnitas los comunes no comunes de los paréntesis con números solamente. Es decir, cogeríamos como m.c.m: ( -) es decir (-) (+) 6

7 . El siguiente paso es calcular los numeradores en función del m.cm que hemos obtenido ( ) 1( ) ; 1 ++-=1 ;=1; 1 1 HAY QUE HACER LA COMPROBACIÓN, SI ANULA ALGÚN DENOMINADOR (ES DECIR SALE CERO EN EL DENOMINADOR) ESA SOLUCIÓN NO ES VÁLIDA La solución es: ECUACIONES EXPONENCIALES (CON X EN EL EXPONENTE) Una ecuación eponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el eponente. Para resolver una ecuación eponencial vamos a tener en cuenta: Las propiedades de las potencias: a 0 = 1 a 1 = a (a m ) n = a m n a -n = n a 1 m n a n m a a n b n = (a b) n a n : b n = (a : b) n a m a n = a m+n a m : a n = a m - n 7

8 Resolución de ecuaciones eponenciales Realiar las operaciones necesarias para que en los miembros tengamos la misma base, de modo que podemos igualar los eponentes. Ejemplo 1: Ejemplo : Ejemplo : Cuando al descomponer no tienen iguales bases ha más de un factor Aplicamos las propiedades de las potencias: + = Luego sumamos los coeficientes dejamos la potencia: + 16 = (1+16) =17 Despejamos la potencia calculamos Después descomponemos el 16 = tenemos la solución. a Ejemplo : Cuando al descomponer no tienen iguales bases es solamente un factor Una ve que tenemos la potencia eponencial igual a un número, el cual no podemos descomponer en la base que queremos, tenemos que calcularlo mediante logaritmos. 8

9 ECUACIONES LOGARÍTMICAS Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo. Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta Las propiedades de los logaritmos Inectividad del logaritmo: 9. Definición de logaritmo: Además tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no tenemos logaritmos nulos o negativos. Ejemplo 1: En el primer miembro aplicamos del logaritmo de un producto en segundo la propiedad del logaritmo de una potencia. Teniendo en cuenta la inectividad de los logaritmos tenemos: Resolvemos la ecuación comprobamos que no obtenemos un logaritmo nulo o negativo. 9

10 Ejemplo : En el º miembro aplicamos la propiedad del logaritmo de un cociente. Restamos en los dos miembros log teniendo en cuenta que el log 10 = 1, tenemos: Teniendo en cuenta la definición de logaritmo que es un logaritmo decimal: Ejemplo : En primer miembro aplicamos la propiedad del producto en el º la de la potencia de un logaritmo. Teniendo en cuenta la inectividad de los logaritmos tenemos: Resolvemos la ecuación comprobamos la solución. 10

11 Ejemplo : Multiplicamos en los dos miembros por log ( ). En el º miembro aplicamos la propiedad de la potencia de un logaritmo tenemos en cuenta la inectividad de los logaritmos. Resolvemos la ecuación = 0 no es solución porque nos encontraríamos al sustituir en la ecuación nos encontraríamos en el denominador un logaritmo negativo. 11

12 TABLA DE EQUIVALAENCIAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES Un número El doble de un número El triple de un número PROBLEMAS DE ECUACIONES 5 veces más que 5 La mitad de un número El tercio de un número La quinta parte de un número Un número par Un número impar +1 Un número consecutivo +1 Dos números consecutivos +1; + Tres números consecutivos +1; +; + El número siguiente +1 El número anterior -1 El cuadrado de un número El cubo de un número 5 Un animal Patas de una gallina Patas de un perro El objeto A cuesta más que el objeto B El objeto A cuesta veces más que el objeto B El objeto A cuesta menos que el objeto B Objeto B Objeto A + Objeto B Objeto A Objeto B Objeto A - En los problemas de compras siempre la ecuación se plantea de la siguiente manera: Nº de objeto A (Objeto A) + Nº de objeto B (Objeto B)= Dinero 1

13 INECUACIONES Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos: < menor que 1 < 7 menor o igual que 1 7 > maor que 1 > 7 maor o igual que 1 7 La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuación. Podemos epresar la solución de la inecuación mediante: 1. Una representación gráfica.. Un intervalo. INECUACIONES DE 1º GRADO Las inecuaciones de 1º se resuelven de igual manera que una ecuación de primer grado pero teniendo en cuenta que si al estar resolviéndola la tiene un menos ha que cambiar el signo a toda la inecuación, por ejemplo: -<5 tenemos que cambiarlo a >-5 Ejemplos 1 < 7 < 8 < (-, ) (-, ] 1

14 1 > 7 > 8 > (, ) [, ) INECUACIONES DE º GRADO Para resolver inecuaciones de º grado, lo que hacemos es resolverla como si fuera una ecuación de segundo grado después hacemos el estudio de la inecuación según la condición dada. +->0 Si la resolvemos obtenemos =- =1 Ahora procedemos a hacer una recta con las soluciones obtenidas, calcular el valor del signo en cada parte: 1

15 SISTEMAS DE INECUACIONES DE 1º GRADO CON UNA INCÓGNITA Cuando tenemos un sistema de desigualdades resolvemos cada una de ellas por separado, la solución va a ser la común a las desigualdades. 15

16 SISTEMAS DE ECUACIONES 1. TIPOS DE SOLUCIONES SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO SCD UNA ÚNICA SOLUCIÓN SE CORTAN EN UN PUNTO SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO SCI 0=0 INFINITAS SOLUCIONES COINCIDENTES SISTEMA INCOMPATIBLE SI 0=nº NO TIENE SOLUCIÓN PARALELAS. TIPOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES En matemáticas álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado) Por ejemplo:. SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado. Los sistemas de ecuaciones no lineales, se suelen resolver mediante el método de sustitución. Por ejemplo: 16

17 . SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE DOS INCÓGNITAS: 1. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Se despeja una incógnita de una de las ecuaciones (la incógnita que o quiera de la ecuación que o quiera) Despejo X de la ecuación de arriba 6 Una ve despejada, sustituo esa incógnita en la otra ecuación. De ésta manera calcularé el resultado de una de las incógnitas. 6 Sustituo en la ecuación de abajo ; ; =8 8 ; 8+1=8+1 ; 0 = 60 ; 60 0 Vuelvo a la ecuación del paso 1 que había despejado sustituo el valor obtenido en el paso para obtener la otra incógnita. 6 6 =

18 . MÉTODO DE IGUALACIÓN Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones (la incógnita que o quiera en las dos ecuaciones) 6 Despejo X de la ecuación de arriba 16 Despejo X de la ecuación de abajo Igualo el valor de las dos incógnitas a despejadas. En este paso ha dos opciones hacer el m.c.m de los dos denominadores o multiplicar en cru. Realiando este paso resolvemos el valor de una de las dos incógnitas (-6+)= (16-) -1+8= = = Sustituimos el valor obtenido, en una de las dos ecuaciones despejadas en el paso 1. De esta manera obtenemos el valor de la otra incógnita. 6 6 =

19 . MÉTODO DE REDUCCIÓN Decidimos que incógnita queremos eliminar (la X o la Y, la que queramos). Si queremos eliminar por ejemplo la, lo que se hace es lo siguiente: multiplicamos la ecuación de arriba por el coeficiente de la en la ecuación de abajo viceversa. Queremos eliminar la X. () + = 7 () = - Sumamos las dos ecuaciones de manera que se elimine la incógnita que quería eliminar (en este caso la X ). Si al sumar no desaparece la incógnita que o quería, ha que cambiar el signo a toda la ecuación (a la que o quiera) de manera que al sumar desapareca la incógnita. ()1 +8 =8 COMO AL SUMAR NO DESAPARECE + ()1-9 =-6 LE CAMBIAMOS EL SIGNO. = () 1 +8 =8 (-)-1 +9 =6 17 = 17 Sustituimos el valor obtenido, en una de las dos ecuaciones. De sta manera obtenemos el valor de la otra incógnita. + = 7 = - + () = 7 + =7 =7- = 1 19

20 . SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES DE DOS INCÓGNITAS: TIPO 1 SUSTITUCIÓN - La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos: 1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado. = 7 º Se sustitue el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación. + (7 ) = 5 º Se resuelve la ecuación resultante = = = 0 º Cada uno de los valores obtenidos se sustitue en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita. = = 7 = = = 7 = 0

21 TIPO SUSTITUCIÓN - 5 La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos: 1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado. = 5 + º Se sustitue el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación. 5 º Se resuelve la ecuación resultante ( ) 5 + = =0 7 7 = = º Cada uno de los valores obtenidos se sustitue en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita. = 5 + = = 17 7 =5+ 17 = 1

22 TIPO REDUCCIÓN - 5 La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de reducción, para ello seguiremos los siguientes pasos: 1º Sumamos de manera que se vaa una incógnita. 5 = 8 = 8 = = =± º Se sustitue el valor en la ecuación que desee. () + = + = = - = -1 = 1 =NTS (-) + = + = = - = -1 = 1 =NTS

23 5. SISTEMA DE ECUACIONES DE TRES INCÓGNITAS MEDIANTE EL MÉTODO DE REDUCCIÓN Formamos dos sistemas de ecuaciones resolvemos cada uno de ellos mediante el método de reducción quitando la misma incógnita en ambos sistemas de ecuaciones: La primera la segunda ecuación forman el primer sistema: La segunda la tercera ecuación forman el segundo sistema: Decidimos quitar la en ambos sistemas: 1º sistema: (1) ) ( (1) ) ( =- º sistema: () (1) 5 () (1) 9 +7 =6 Con las dos ecuaciones resultantes formamos un sistema de ecuaciones lo resolvemos: (7) (9) (7) (9) = =6 9+7(6)=6 ; 9+ =6 ; =- Nos vamos al sistema principal, sustituimos las incógnitas resueltas calculamos la incógnita resultante: 1 (-)+(6)+= =1 =1