ECUACIONES. Las letras representan números y se llaman incógnitas.

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Alejandra López Cordero
hace 6 años
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1 ECUACIONES. Una ecuación es una expresión algebraica (un conjunto de letras y números), unidos entre sí por signos aritméticos, de radicalización y potenciación. Las letras representan números y se llaman incógnitas. Se dice que dos términos de una ecuación algebraica son semejantes cuando ambos términos tienen las mismas letras con los mismos exponentes. Estos términos se pueden sumar o restar. 5x + 3 = -3x -2 Es una ecuación de primer grado y una incógnita. Así las ecuaciones de primer grado se resuelven buscando el número que suplanta a la incógnita para que la igualdad sea verdadera. Pasando la incógnita a un mismo lado de la ecuación nos queda: 5x + 3x = x = -5 X = 8 5 Puede haber varias incógnitas en la ecuación. 3x + 7y = 2x - 2y - 2 Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Mirpas.com Página 1

2 Y la ecuación puede ser de primer grado si su potencia es de 1, de segundo grado si su potencia es de 2; de tercer grado si su potencia es de 3, etc., etc. 3x 2 + 7x 2 = 2x 2 3x + 7x 3 = 2x 3 (x 2) (x + 3) = 5 La resolución de ecuaciones de primer grado no conlleva demasiado esfuerzo. Simplemente hay que reducir lo máximo la ecuación quitando por orden: 1. Corchetes, realiza primero sus operaciones. 2. Paréntesis, teniendo en cuenta el signo de delante. 3. Denominadores, realizando el m.c.m. 4. Reduce términos semejante al máximo. 5. Pasa las incógnitas a un mismo lado cuando sea posible. De esa forma solo quedará el término básico de la ecuación con sus incógnitas las cuales se podrán resolver de una manera sencilla: 2(3x 1) 5 (2x + 3) = 3(4x 1) (6x 2) (-10x 15) = (12x 3) -12x + 6x -10x = x = 14 X = :2 = Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Mirpas.com Página 2

3 Para la resolución de ecuaciones de segundo grado y dos incógnitas ya hay que prestar un poco de atención al sistema de ecuación ya que puede que una incógnita tenga varias soluciones dependiendo de la ecuación. Tiene la forma siguiente: 3x 2 + 4x + 1 = 0 Y siempre que el primer número (a) no sea cero, se aplicará la siguiente formula: b ± b 2 4ac 2a Por lo que resolviendo la ecuación tenemos que: 4 ± 4 2 4x3x1 2x3 = 4 ± = 4 ±2 6 X 1 = 6 6 = -1 X 2 = 2 6 = 1 3 Como puedes ver la incógnita tiene dos valores posibles. Cuando una ecuación tiene más de dos incógnitas, ésta se suele agrupar en un sistema de ecuaciones junto a otra ecuación semejante, lo cual forman un sistema de ecuaciones con dos incógnitas que se resuelven mediante varios métodos sencillos. Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Mirpas.com Página 3

4 SISTEMAS DE ECUACIONES. Un sistema de ecuaciones es un conjunto de varias ecuaciones que se diferencia en el grado de sus componentes (exponente de sus incógnitas). Si el grado es de grado 1, el sistema es un sistema de ecuaciones lineales, y será el caso de estudio de éste manual. a1x1 + b1y1 + c1z1 + + anxn = s1 { a2x1 + b2y1 + c2z1 + + amxm = s2 Por lo que un sistema lineal está formado por las incógnitas (x1, b1, z1), los números (a1, a2, etc.) y los términos independientes s1 y s2. Los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican atendiendo al número de soluciones. Así pueden ser: 1. Compatibles, cuando tienen solución. Determinados (solución única). Indeterminados (infinitas soluciones). 2. Incompatibles Analizaremos los métodos para la resolución. Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Mirpas.com Página 4

5 Este método se basa en despejar la incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra. 2x + 5y = 1 { x 2y = 5 Siempre despejaremos la incógnita de la ecuación más fácil, y en este caso es la x de la segunda ecuación. x = 5 + 2y Y después sustituimos su valor en la primera ecuación: Y resolvemos: 2 (5 + 2y) + 5y = y + 5y = 1 9y = 9 y = 1 Ahora sustituimos la y en la X que despejamos: x = ( 1) x = 5 2 x = 3 Si sustituyes los valores de las incógnitas en las ecuaciones originales, verás que se resuelve la ecuación a la perfección. Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Mirpas.com Página 5

6 Este método se basa en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas: 2x + 5y = 1 { x 2y = 5 Tanto de la primera ecuación como de la segunda respectivamente, despejando la x nos quedan: E igualando: x = 1 5y 2 x = 5 + 2y 1 5y 2 = 5 + 2y Resolviendo mediante mcm: 1 5y = y 9y = 9 y = 1 Ahora para obtener la x, vamos a cualquier de las expresiones despejadas: x = 5 + 2( 1) = 5 2 = 3 Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Mirpas.com Página 6

7 El último método es el de reducción que consiste en multiplicar cada ecuación por un número conveniente para hacer que una incógnita en ambas ecuaciones se queden con coeficientes opuestos. 2x + 5y = 1 { x 2y = 5 Si multiplicamos por -2 la fila 2, obtendremos en la segunda ecuación un número opuesto a la primera incógnita de la primera ecuación: 1 2 {2x + 5y = 1 x 2y = 5 = { 2x + 5y = 1 2x + 4y = 10 Y realizando la operación nos queda que: 2x + 5y = 1 { 2x + 4y = 10 9y = 9 y = 1 Despejando de esa ecuación la X: 2x + 4( 1) = 10 2x = 6 x = 3 Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Mirpas.com Página 7

8 Este método consiste en sustituir el sistema por otro equivalente. Después de sucesivas transformaciones se llega a un sistema escalonado; es decir, que tiene nulos todos los coeficientes debajo de la diagonal principal. Sí, para éste método hay que recurrir a las determinantes que vendrán definidas por el grado del sistema, por lo que si aún todavía no has completado dicho tema, no continúes y vuelve atrás para repasar matrices y determinantes. x y 2z = 1 { 2x 3y + 4z = 4 5x y + 3z = 16 Dado el siguiente sistema de ecuaciones con tres incógnitas, lo primero que tenemos que hacer es conseguir la matriz asociada al sistema de ecuaciones. Esto es hacer poner los números asociados a cada incógnita en forma de matriz. Al ser un sistema de 3 incógnitas nos dará una matriz de 3 x Tenemos que conseguir que por debajo de la diagonal principal haya ceros para así poder transformar y resolver el sistema correctamente. Para ello, lo que hacemos es realizar operaciones matemáticas (similar al método de reducción para que aparezcan ceros en las filas correctas. Así por ejemplo para obtener un cero en la segunda fila, en el elemento primero (x), hay que multiplicar la primera fila Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Mirpas.com Página 8

9 por (-2) y después sumársela a la primera como puedes ver: 1 1 f1( 2) + f Ahora para obtener un cero en la tercera fila en la incógnita x, habrá que multiplicar la fila 1 por (-5) y después sumársela a la fila 3: f1( 5) + f Puedes ver que tenemos ya dos ceros por debajo de la diagonal principal, pero aún nos queda un número (4) para convertirlo en cero por debajo de la diagonal principal, así que, para no modificar las ecuaciones y sus ceros, lo mejor es multiplicar por 4 la fila 2 y sumársela a la fila 3 para así convertir en cero el cuatro: f2(4) + f Ahora volviendo a extrapolar, vemos que la fila 3 se queda de la forma: 45z = 45 z = = 1 Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Mirpas.com Página 9

10 Para obtener (y) sustituimos en la segunda ecuación: y + 8(1) = 6 y = 2 Y sustituyendo la primera fila nos queda que: x 1(2) 2(1) = 1 x 4 = 1 x = 3 El método de Gauss es muy usado para sistemas de ecuaciones de más de 3 ecuaciones e incógnitas por lo que aprender el sistema de resolución y repasar matrices y determinantes es fundamental para no confundirte y equivocarte en el desarrollo del circuito. Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Mirpas.com Página 10

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