ECUACIONES Y SISTEMAS 1º Bto. SOCIALES

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Rodrigo Godoy Soriano
hace 6 años
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1 ECUACIONES Y SISTEMAS º Bto. SOCIALES º Quitar paréntesis º Quitar denominadores º Agrupar términos 4º Despejar la incógnita ECUACIONES DE PRIMER GRADO. + 4 ( ) = = = = = = 0 0 = = 5 ECUACIONES DE PRIMER GRADO = = = = = 9 = ECUACIONES DE PRIMER GRADO. = 4 = = = = = = = 8 4

2 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. = ± b b 4ac a Son del tipo a + b + c = 0 Sus soluciones se obtienen aplicando la siguiente fórmula: Si b 4ac > 0, hay dos soluciones. Si b 4ac = 0, hay una solución. Si b 4ac < 0, no tiene solución. Cuando b = 0 ó c = 0, la ecuación se llama incompleta y se puede resolver de forma sencilla sin necesidad de aplicar la fórmula anterior. a + c = 0 se despeja. a + b = 0 (a + b) = 0. Sus soluciones son = 0, = b/a. ECUACIONES BICUADRADAS. Son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar. a 4 + b + c = 0 ECUACIONES BICUADRADAS. Para resolverlas efectuamos el cambio = z, y por tanto, 4 = z, con lo que queda una ecuación de segundo grado en la incógnita z: = 0 4 a 4 + b + c = 0 az + bz + c = 0 = z ± ± = z z = 6 = 6 = 4 = 4 = z = = = z z + = z = =

3 ECUACIONES DE GRADO MAYOR QUE DOS. ECUACIONES DE GRADO MAYOR QUE DOS = = 0 = 0 ( 5 + 6) = = Soluciones: ; = 4 ; = 5 5 ± ± ± = = = = = Soluciones: = 0 ; = ; = ECUACIONES RACIONALES. Aparecen fracciones algebraicas. Hay que comprobar las soluciones = ( ) ( + ) ( ) + = ( ) ( ) ( ) ( ) + ( + ) = ( ) = = ECUACIONES RACIONALES. Se comprueba que las soluciones no anulan ningún denominador y las dos son válidas. 9 ± ± = = 0 = = = = 5

4 Son ecuaciones en las que se encuentra dentro de una raíz cuadrada. Es obligatorio comprobar todas las soluciones. + = = ( ) = ( ) = + º Se despeja la raíz º Se elevan al cuadrado los dos miembros º Se simplifica y resuelve 4 ± = 0 = = = Solución Comprobación : ECUACIONES CON RADICALES. + = + = La solución es válida = 4 = ( ) = ( ) = = ( 6) = ( ) = ± ± = = 0 = = = = 4 Comprobación : = = + 9 = + = 4 Es válida Solución: = = = 5 + = 5 + = 6 4 No es válida ECUACIONES CON RADICALES. Ejemplo con raíces. º Se despeja la raíz º Se elevan al cuadrado los dos miembros º Se simplifica 4º Se elevan al cuadrado los dos miembros 5º Se simplifica y se resuelve ECUACIONES LOGARÍTMICAS. Son ecuaciones en las que la incógnita está en una epresión afectada por un logaritmo. ECUACIONES EXPONENCIALES. Son ecuaciones en las que la incógnita está en el eponente. log + log 50 = log 50 = log0 log 50 = log = = 50 = 0 5log + = log = log log ( ) = + = = ( 0 ) log = log 0 log log = = = 0 ± = = ± 7 = = = = 5 La solución 5 no es válida por dar log( 5) que no eiste. = 7 = = = 4 = ± = 5 = = 0 5 ± 5 4 = = 5 ± = = = = = log = log log = log = log log log = log log = ± log = ±

5 + + = + = z + z = z = z = 4 = 4 = ECUACIONES EXPONENCIALES. Hacemos un cambio de variable z = ECUACIONES LINEALES. En una ecursión familiar los adultos han ido en bicicletas de dos ruedas y los niños han ido en bicicletas con ruedines. En total, se han juntado 0 ruedas. Cuántas personas han ido de ecursión? Sea el número de adultos e y el número de niños. La ecuación que resulta es: + 4y = 0 Los posibles resultados son: Nº Adultos Nº Niños y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Las ecuaciones polinómicas de primer grado se llaman lineales. En ellas las incógnitas no están elevadas a ningún eponente, ni multiplicadas entre sí, ni con denominadores, ni bajo raíces. Un sistema formado por ecuaciones lineales se llama sistema de ecuaciones lineales. Según el número de soluciones se clasifican en: Determinado (Una única solución) S.C.D. Compatible (Tiene solución) Indeterminado(Infinitas soluciones) S.C.I. Sistema Incompatible (No tiene solución) S.I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método de sustitución. y y = y + y = + y = 9y 9 4y 4 + = 9y 9 + 4y = 4 y = = = 0 y = y = Solución: = 0 ; y =

6 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método de reducción. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método gráfico. y 6 9y = 9 + y = 6 4y = 4 y y = = 0 = 0 Solución: = 0 ; y = Resolver gráficamente el sistema: + y = y = Paso : Darle valores. + y = y = y 0 y 0 5 Solución = ; y = Paso : Dibujar las líneas. SISTEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO SISTEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO + y = 8 + y = = = = = = 0 + y = 4 y = 4 Solución: = 8 y = 6 = 6 y = = = ± 4 = 6

7 SISTEMAS DE TRES ECUACIONES LINEALES Si observamos los siguientes sistemas lineales observamos una diferencia: 5y 0z = 5 + y z = 4 a) y + 5z = 4 b) y + 5z = 4 z = 6 y + z = 6 El primero es escalonado y su resolución es mucho más fácil: 5y 0z = 5 = 0 a) y + 5z = 4 y = 7 z = 6 z = El método de Gauss transforma un sistema lineal cualquiera en un sistema lineal escalonado: + y z = 4 5y 0z = 5 = 0 y + 5z = 4 y + 5z = 4 y = 7 + = 6 y z z = 6 z = Se pueden aplicar las siguientes transformaciones: - Cambiar el orden de las ecuaciones. - Multiplicar o dividir una ecuación por un número distinto de 0. - Sustituir una ecuación por el resultado de sumarla o restarla con otra o un múltiplo de otra. y + 4z = y + 4z = + y z = E = E E 0y z + = 4 E = E E y z 5y 5z = 0 y + 4z = y + 4z = + y z = E = E E y 4z + = 4 E = E E y z y z = y + 4z = 5y 5z = 0 0y z y + 4z = = E = E E 5y 5z = 0 y = z z = y + 4z = = E = E E y 4z y = 7z = 7 z =

8 y + 4z = y + 4z = + y z = 0y z 4 y + z = 4 0y z = 5 y + 4z = 0y z 0 = El sistema no tiene solución ya que la ecuación 0 = no tiene sentido y + 4z = y + 4z = y + 4z = + y z = 0y z 0y z 4 y z 5 0y z + = = 0 = 0 y + 4z = z= λ y + 4λ = 0y z 0y λ + λ 0 40λ 9+ 9λ λ y = 4λ = 4λ + = + = λ 0y = + λ y = + 0 y + 4z = + y z = 4 y + z = 5 λ = 0 + λ y = λ R 0 z = λ Si λ= tenemos que = ; y = ; z = Si λ= 0 tenemos que = /0 ; y /0 ; z = 0 Infinitas soluciones

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