I. Determinar los siguientes límites, aplicando las propiedades. lim =
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- Héctor Maestre Aguirre
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1 Ejercicios resueltos I. Determinar los siguientes límites, aplicando las propiedades ) = (2) (2) 2 - (2) - 4 Sustituir la por el 2 = = 0 Aplicar límite a cada término del polinomio. 2) o = Aplicando límite de un cociente = = 0 Se sustituye por el número cero 3) Aplicando límite de una raíz 3 = Se sustituye "" por el número 3 = 27 = 3 realizar operaciones y simplificar 4) La sustitución directa hace cero a (-2), en este caso se debe factorizar el numerador + Simplificar el factor ( 2) = 2 + = 7 Sustituir la por el número 2.
2 ) Lim o ( ) 3 3 no puede ser cero. Desarrollar ( + ) Simplificar términos semejantes Sacar factor común o Simplificar = (0) 2 Evaluar para = 0 = 3 Nota: La fórmula que se aplica: (+y) 3 = y + 3y 2 + y 3 en donde Y se sustituye por. II. Hallar el límite de las siguientes epresiones, cuando X tiende al infinito ) = = 2 Se divide el numerador y el denominador entre la mayor potencia que aparece en el denominador: X 3 Efectuar las operaciones indicadas y simplificar los términos comunes aplicar ite de una constante y la prop. p = 0 2) Se divide el numerador y el denominador entre la mayor potencia que aparece en el denominador: X 2 Efectuar las operaciones indicadas y simplificar los términos comunes
3 = aplicar ite de una constante y la prop. p = 0 3) Se debe racionalizar la epresión dada, multiplicando por ( ) para obtener una función racional y de esta manera aplicar la técnica de límites al infinito Después de realizar las operaciones indicadas y simplificar resulta: Como X =, dividir numerador entre X y denominador entre Simplificar aplicar ite de una constante y = 2 la prop. p = 0
4 4) Cuando X, dividir numerador entre y denominador entre X o bien dividir numerador entre y denominador entre - X 9 2 Simplificar los términos semejantes = 9 = 3 aplicar propiedades de ites III. Encontrar las Asíntotas verticales y horizontales de las graficas de las siguientes funciones y trazar sus graficas: ) f = + 8+ Solución: Primero igualar a cero el denominador de la función para hallar la asíntota vertical = a X 2 + 8X + = 0 (X + ) (X + 3) = 0 X + = 0 v X + 3 = 0 Por lo tanto X = - ʌ X = - 3 son las asíntotas verticales Hallar los ites unilaterales correspondientes: = 0 = El numerador es positivo y el denominador tiende a cero a través de valores negativos = 0 = + El numerador es positivo y el denominador tiende a cero a través de valores positivos
5 = 0 = + El numerador es positivo y el denominador tiende a cero a través de valores positivos = 0 = El numerador es positivo y el denominador tiende a cero a través de valores negativos Ahora calcular los límites al infinito para determinar las asíntotas horizontales = Se divide el numerador y el denominador entre la mayor potencia del denominador: X = simplificar términos comunes = 0 aplicar la prop. p = 0 De igual manera: = 0 El límite cuando X también es cero dado que X 2 se vuelve positiva Por lo tanto se puede concluir que la recta Y = 0 es una asíntota horizontal
6 La gráfica sería de la siguiente forma: y X 2) = El denominador será cero si X = ʌ X = - Asíntota vertical X + = 2 = X = N. E. X + = N. E. X = = Por lo tanto X = ʌ X = - son asíntotas verticales
7 Asíntota horizontal X + X + Dado que X = se divide el término sin radical entre X y el término con radical entre X + 2 Dado que X = se divide el término sin radical entre X y el término con radical entre = 2 Aplican propiedades de los ites Conclusión y = 2 es una asíntota horizontal. X = X Dado que X, dividir el numerador entre X y el denominador entre o bien el numerador entre X y el denominador entre X Se concluye que y = = 2 simplificar y aplicar prop. d ites 2 es una asíntota horizontal La gráfica sería la siguiente: y - X
8 Ejercicios propuestos: Hallar las asíntotas de las graficas de las siguientes funciones y dibujar la grafica: ) f = 2 4 2) g = + 6 3) f = 4) f = 3 ) f = 2 4 6) f = 4 7) f = + Nota: Realizar los ejercicios solo en su cuaderno como práctica para el eamen.
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