LÍMITES DE FUNCIONES REALES

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1 INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: MATEMÁTICAS DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO FECHA DURACION 11 JUNIO DE 11 UNIDADES 01 INDICADORES DE DESEMPEÑO Determina adecuadamente el límite de funciones reales, aplicando sus teoremas fundamentales. Desarrolla ordenadamente las actividades propuestas por el profesor. LÍMITES DE FUNCIONES REALES Después de haber trabajado en el período anterior todo lo relacionado con las funciones reales y sus aplicaciones, pasas ahora a manejar uno de los conceptos más fundamentales que tiene el cálculo como es la teoría de límites. Los conocimientos que vas adquiriendo van enlazados unos con otros y son muy importantes tanto para tu desarrollo intelectual como para la aplicación en próimos conceptos matemáticos. Es así, por ejemplo, como el concepto de límite nos llevará al estudio de otros de los temas fuertes del cálculo como lo es la derivada cuyo estudio realizarás en el último período. Continúa adelante con tu trabajo que ya falta muy poco para que logres alcanzar una meta más en otra etapa esencial de tu vida. Racionales Factorización LÍMITES DE FUNCIONES reales Irracionales Laterales Racionalización Factorización y/o racionalización Definición intuitiva de límite: Sea Y= f () una función cualquiera y sean a y L dos números reales, queremos analizar el comportamiento que tiene Y a medida que la variable X se acerca o se aproima al número real a. X se puede aproimar al número a por dos lados: por la izquierda de a o por la derecha de a. 1

2 Si a medida que X se aproima a a por su izquierda ( < a ) tomando valores ligeramente menores que a pero muy cercanos, decimos que X a - ( se lee tiende a a por la izquierda ) y si a medida que esto ocurre f () se aproima al número real L entonces podemos decir que el límite cuando X tiende a a por la izquierda de f () es igual a L y se escribe: f () = L (límite lateral por la izquierda de a ). a - Si a medida que se aproima a a por su derecha de ( > a ) tomando valores ligeramente mayores que a pero muy cercanos, decimos que X a + ( se lee tiende a a por la derecha ) y si a medida que esto ocurre f () se aproima también al número real L, entonces podemos decir que el límite cuando X tiende a a por la derecha de f () es igual a L y se escribe: f () = L (límite lateral por la derecha de a ). a + Si el f () es igual al f () y son iguales al número real L, es porque el a - a + límite total eiste y podemos escribir: f () = L y eiste, es decir, el límite de a una función dada eiste cuando los dos límites laterales son iguales al mismo número real; por lo tanto el límite de la función dada no eiste cuando los dos límites laterales son diferentes. En tus cursos de cálculo universitario podrás analizar con todo el rigor matemático dicha definición. con mucha atención: Para hallar el límite con tendencia a real de una función no siempre es necesario calcular los límites laterales; para ello es suficiente con tener presente los siguientes teoremas o propiedades: 1. Unicidad del límite: El límite de una función si eiste debe ser único e igual a un número real.. ite de la función constante: El límite de una función constante es la misma constante, es decir, sea Y = f () = #, entonces: f () = # = # a a Ej: a. 5 = 5 ; b. ( - 8 / 5 ) = - 8 / 5 ; c. ab = ab -1

3 . ite de la función polinómica: El límite de una función polinómica se calcula reemplazando en el polinomio a la variable por su tendencia y el resultado es el límite, es decir, sea Y = f () con f () polinómica, entonces: f () = f (a) a Ej: ( 5 + ) = (0) 5 (0) + = 0 Desde aquí puedo observar que Colombia también tiene límites... Tendrá que ver esto con lo que estamos estudiando? Le preguntaré a Natalia Valencia. 4. ite de una potencia o de un raíz con base o cantidad subradical polinomios: Se procede de igual forma que el teorema. anterior, es decir, sea Y = f () un polinomio, entonces: [ f () ] P = [ f (a) ] P n n y f ( ) f ( a), donde en la a a raíz f(a) no puede dar cero porque en caso de dar cero es necesario analizar límites laterales, los cuales se analizarán un poco más adelante. Ej: a. [8 5 + ] = [ 8 (1/ ) - 5 ( 1/ ) + ] = [ 5/ + ] = 15/8 ½ 4 5 4( 1) 5( 1) b. = ite de la función racional: Sea Y = N () / D () una función racional (donde el numerador y el denominador son polinomios), entonces: N () / D () = N (a) / D (a) siempre y cuando D (a) 0 a Este teorema en palabras quiere decir lo siguiente: Para tomarle el límite a una función racional se reemplaza mentalmente en el denominador a la variable por la tendencia y si da cero, es necesario factorizar tanto el numerador y el denominador ( si es posible ) y se simplifica la fracción resultante ( recuerda como se simplifican fracciones algebraicas ) y luego se reemplaza a la variable por la tendencia y el resultado es el límite; ahora bien, si el denominador no da cero entonces no es necesario factorizar y se reemplaza directamente a la variable por la tendencia en toda la función racional y el resultado es el límite.

4 Presta mucha atención a la solución de los siguientes ejercicios aplicando este teorema 5: a aquí no es necesario factorizar porqueel denominador 1 5(1) 6 0 0; por lo tanto: no se anula b. 9 7 aquí el denominador ( 9) ( )( 9) se anula, ( )( ) ( )( 9) por lo tanto hay que factorizar. ( ) ( ) 9 () 9 c. 4 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) NOTA: Cuando te planteen el límite de la suma y/o de varias fracciones racionales, es recomendable efectuar las operaciones indicadas para obtener una sola fracción y luego se aplica el teorema 5. En este tema no dejaré pasar ninguna duda 6. ite de una función irracional: Sea Y = f () una función irracional (fraccionario con variable dentro de raíces); para calcular el límite a dicha función se procede de igual forma que en el teorema 5, pero si el denominador se anula es necesario racionalizar En general si al calcular el límite a una fracción el denominador se anula, es necesario factorizar r y/o racionalizar, simplificar y luego reemplazar a la variable por su tendencia y el resultado es el límite. Ej: a. b ( 1)( 7 6) (1 )( 1) ( 1)( 1)( (1 )( 1)( 7 6) 1) ( 1)( (1 )( ( 4)( 4)( 4 4 ( 4)( 4) 4 ) ( 4)( 4 ( 4)( 4)( ) ( ) ) (4 4)( 4 ) 7 6) 1) Aquí se factorizó, pero comoel denominador todavía se anula hay que racionalizar : 4

5 ( 1)( 7 6)( 7 6)(1 ) (1 )(1 )( 1)( 7 6) ( 1) (1 )( (7 6) (1 ) 1)( 7 6) ( 1)( 7 6)(1 ) (1 )( 1)( 7 6) ( 1)( 6)( 1)(1 ) (1 )( 1)( 7 6) ( 1)( 6)(1 )(1 ) (1 )( 1)( 7 6) ( 1)( 6)(1 ) ( 1)( 7 6) 10 NOTA: Cuando se tiene una función racional o irracional con varios factores en el numerador y/o en el denominador, sólo es necesario factorizar o racionalizar a aquellos factores que se anulan cuando se reemplaza a la variables por la tendencia. Con mucho juicio y aprovechando verdaderamente el tiempo realizo los siguientes ejercicios en un bloque de clase compartiendo mis conocimientos con mis compañeritas. El profesor me irá aclarando las dudas. RESPUESTA Del teto Hiperteto matemáticas 11º de Ed. Santillana que encuentro en el bibliobanco realizo: a. De la pág. 95 del numeral 5: a, b, d, g y h. b. De la pág. 100 del numeral 1: a, h, i, j. del numeral : a, b, e. c. De la pág. 100 del numeral : i, j, k, m, n, o, q. del numeral : a, b, c, e, f.. Debo tener muy presente que estos ejercicios los debo realizar en un bloque de clase, los que no termine de realizar los haré en mi casa. 5

6 1. Calculo con mucho ánimo e interés los siguientes límites: 5 4 m 5 4 a. b. c. X 1 64 m0 1 X 7 56 m d. ( y 8)(y 7y) t 9 m 5 e. f. Y (y y )( y y10) t t 7t m5 m 116 ( 4)( ) g. h. i. X X 1 1 X ( 8)( ) j. ( 1) ( 1) 1/10. Del teto Nueva matemática 11º de Ed. Santillana resuelvo de la pág. 10: 46, 47.. Del teto Glifos 11º resuelvo de la pág. 99: 4. b, d, e, g, j y de la pág. 10: los numerales y 7. Las preguntas 1 a 4 son de selección múltiple con única respuesta es igual a: A. 5/ B. 7/ C. 5/ D. 7/ X 1 f 4. Si f ( ), entonces es igual a: (0) X A. B. No eiste C. 4 D. 0 f ( ) k 9. Si 0, el valor de k es: A. B. - 6 C. 6 D. 4 k 4 4. Si 0, el valor de k es: A. 0 B. - C. D. - 4 HAY UN MOMENTO PERFECTO PARA PENSAR EN UN SUEÑO, PARA ENCONTRAR UN AMIGO, PARA REÍRSE. ESE MOMENTO ES... SIEMPRE 6