10. LIMITES DE FUNCIONES

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1 10. LIMITES DE FUNCIONES Definición de límite La función no está definida en el punto x = 1 ya que se anula el denominador. Para valores próximos a x = 1 tenemos Taller matemático 1/12

2 Definición de límite A vista de la tabla pueden hacerse tres importantes observaciones: I) Cuando x toma valores próximos 1, la función f(x) toma valores próximos a 1/2. II) Cuanto más próximo es x a 1, más lo es f(x) a 1/2. III) Podemos acercarnos con f(x) tanto como queramos a 1/2, eligiendo x convenientemente próximo a 1. Por verificarse la tercera, diremos que ½ es el límite de la función cuando x tiende a 1. Es decir, ½ es el límite de f(x), cuando x se acerca a 1, si para cualquier valor ε, positivo y pequeño que se considere, por ejemplo ε = 0, , siempre podemos encontrar valores x, suficientemente próximos a 1 pero distintos de 1, de modo que sea Taller matemático 2/12

3 Definición formal de límite Se dice que la función f tiene límite L cuando x tiende al valor a, si para cada ε > 0, existe un δ > 0 tal que para los x que verifican 0 < x a < δ se tiene que f(x) L < ε. Abreviadamente podemos escribir La definición dada se escribe en forma equivalente empleando intervalos en la forma: El valor del límite es independiente del valor de la función en el punto, y que en general el valor de δ depende del ε elegido y del punto a considerado. Taller matemático 3/12

4 Propiedades de los límites Las principales propiedades de los límites de funciones son las siguientes: Si y, entonces se verifica que: 1. Si existe el límite de una función en un punto, es único Taller matemático 4/12

5 Ejemplo 1. Las funciones y toman los mismos valores en un entorno reducido del punto x = 1 y como es también es Ésto es lo que ocurre cuando se efectúa en forma directa el cálculo del límite Taller matemático 5/12

6 Límites laterales En la definición de límite tomamos valores de x próximos al valor a en ambos lados de a. Puede ocurrir que el límite exista a condición de que tomemos valores de x próximos pero sólo a un lado del punto a, esta idea nos lleva a los límites laterales. Escribiremos Para la existencia de límite de una función en un punto han de existir los límites laterales y coincidir, es decir, Taller matemático 6/12

7 Límites laterales Ejemplo 2. La función posee en el punto x = 1 límite por la izquierda, que vale 2, límite por la derecha, que vale 3, pero al no coincidir estos valores la función no tiene límite en ese punto. Taller matemático 7/12

8 Límites infinitos y límites en el infinito Se considera la recta real ampliada, el límite de una función en un punto puede ser ó y la variable puede tender a ó a y se escribe, por ejemplo, Indeterminaciones y cálculo de límites Aparte de la indeterminación de la forma con k 0, que obliga a hallar los límites laterales para decidir la existencia o no del límite, existen siete indeterminaciones más, que se representan como Taller matemático 8/12

9 Ejemplo 3. no presenta indeter- El límite minación. Ejemplo 4. El límite siguiente es indeterminado de la forma calculamos así: y lo Donde hemos simplificado la expresión entre x - 2, ya que numerador y denominador son polinomios múltiplos de x - 2, al tener ambos el valor x = 2 como raíz. Taller matemático 9/12

10 Ejemplo 5. El límite presenta una indeterminación del tipo y si simplificamos numerador y denominador, resulta es decir, tenemos otra indeterminación. Ésta se resuelve hallando los límites laterales, que son por lo que el límite pedido no existe. Taller matemático 10/12

11 Ejemplo 6. El límite presenta una indeterminación que se resuelve dividiendo numerador y denominador entre la potencia mayor del denominador, que es x 3x lim lim x x x x 4 x x lim x x 2 2x 3 x 3 2 x 4 3 x x No conviene dividir entre la potencia mayor del numerador, que es porque en muchos casos nos queda una indeterminación del tipo lo que nos obliga a calcular los límites laterales. Taller matemático 11/12

12 Ejemplo 7. Para hallar el limite multiplicamos numerador y denominador de la fracción por la expresión conjugada del denominador, que es la que origina la indeterminación, obteniendo Taller matemático 12/12