Límite y Continuidad de funciones de una variable

Transcripción

1 Introducción Límite y de funciones de una variable Departamento de Matemática Aplicada Universitat Politècnica de València, España Fundamentos Matemáticos para la Ingenieria Civil Límite y de funciones de una variable

2 Introducción Esquema de la exposición Esquema en un punto infinitos Resolución de indeterminaciones Definición de continuidad Propiedades. Funciones elementales continuas Teoremas de continuidad Límite y de funciones de una variable

3 Introducción Función de una variable real en un punto infinitos, Indeterminaciones Definición Una función f : A R es una aplicación de un subconjunto A R en R, es decir a cada x A le corresponde un valor f(x) R. Dominio e imagen Sea f una función real de variable real. El dominio de f, que se representa por Dom f, es el conjunto de números reales x para los cuales está definida f(x). Si Dom f = A, representaremos la función de la forma f : A R La imagen de f, denotada por Im f, es el conjunto de valores de la función y= f(x). Límite y de funciones de una variable

4 Ejemplos Introducción en un punto infinitos, Indeterminaciones Calcular el dominio de las siguientes funciones: 1 f(x)=x 2 2 f(x)= x 1 x f(x)=x+ x x+2 f(x)= x 2 5x+6 Límite y de funciones de una variable

5 Límite en un punto Introducción en un punto infinitos, Indeterminaciones Definición Sea f : I R, I intervalo abierto. Si a I y b R, se dice que el límite de f (x) cuando x tiende a a es b si ε > 0, δ > 0 tal que si 0< x a <δ entonces f(x) b <ε Se escribe: lim f(x)=b. Límite y de funciones de una variable

6 Límite lateral Introducción en un punto infinitos, Indeterminaciones Es interesante observar que al aproximarnos hacia un cierto valor podemos hacerlo por su izquierda y por su derecha. Esto motiva las definiciones de límites laterales, que representaremos por lim f(x)= lim f(x) y lim f(x)= lim f(x) + x>a x<a siendo el primero de ellos el límite en a por la derecha y el segundo el límite en a por la izquierda. Cuando ambos límites coincidan diremos que la función tiene límite en ese punto. { 2x 1 si x>3 Ejemplo: f(x) = x 2, calcular lim + 1 si x<3 f(x) x 3 Límite y de funciones de una variable

7 Límite en + Introducción en un punto infinitos, Indeterminaciones Sea b R. Definición Si f :(a,+ ) R diremos que el límite de f(x) cuando x tiende a + es b si ε > 0, δ > 0 tal que si x>δ entonces f(x) b <ε Se ecribe lim x + f(x)=b. En este caso, la recta y=b es una asíntota horizontal por la derecha de la gráfica de f. Límite y de funciones de una variable

8 Límite en Introducción en un punto infinitos, Indeterminaciones Sea b R. Definición Si f :(,a) R diremos que el límite de f(x) cuando x tiende a es b si ε > 0, δ < 0 tal que si x<δ entonces f(x) b <ε Se ecribe lim x f(x)=b. En este caso, la recta y=b es una asíntota horizontal por la izquierda de la gráfica de f. Límite y de funciones de una variable

9 Asíntota oblicua Introducción en un punto infinitos, Indeterminaciones Definición Diremos que y=mx+n (m 0) es una asíntota oblicua por la derecha de la gráfica de f si f(x) lim = m y lim x + x ( f(x) mx)=n x + Definición Diremos que y=mx+n (m 0) es una asíntota oblicua por la izquierda de la gráfica de f si f(x) lim = m y lim x x ( f(x) mx)=n x Límite y de funciones de una variable

10 Propiedades Introducción en un punto infinitos, Indeterminaciones Sean f,g : I R R, a I, b,c R con lim f(x)=b y lim g(x)=c. x a Entonces Si α,β R entonces lim (α f(x)+βg(x))=αb+βc. lim f(x)g(x)=bc. f(x) Si g(x) 0 en I y c 0 lim g(x) = b c. lim f(x) = b n f(x)= b n lim si f(x)>0 para todo x I y b>0 entonces lim f(x) g(x) = b c si f(x)>0 para todo x I y b>0 entonces lim ln f(x)=lnb Límite y de funciones de una variable

11 Límite a la derecha Introducción en un punto infinitos, Indeterminaciones Sea f :[a,b] R R. Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a por la derecha es + si k>0, δ > 0 tal que si a<x<a+δ entonces f(x)>k Se escribe lim + f(x)=+. Límite y de funciones de una variable

12 Límite a la izquierda Introducción en un punto infinitos, Indeterminaciones Sea f :[a,b] R R. Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a b por la izquierda es + si k>0, δ > 0 tal que si b δ < x<b entonces f(x)>k Se escribe lim x b f(x)=+. Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es + si Se escribe lim f(x)=+. lim f(x)=+ y + lim f(x)=+ Límite y de funciones de una variable

13 Asíntota vertical Introducción en un punto infinitos, Indeterminaciones Análogamente se definen los límites laterales y puntuales que dan. Si alguno de los límites laterales de f en a es infinito la recta x=a es una asíntota vertical de la gráfica de f. Límite y de funciones de una variable

14 Introducción en el infinito en un punto infinitos, Indeterminaciones Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a + es + si k>0, δ > 0 tal que si x>δ entonces f(x)>k Se escribe lim x + f(x)=+. Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a + es si k<0, δ > 0 tal que si x>δ entonces f(x)<k Se escribe lim x + f(x)=. De forma análoga aparecen las definiciones de límites infinitos cuando x tiende a. Límite y de funciones de una variable

15 Propiedades Introducción en un punto infinitos, Indeterminaciones Las propiedades son similares a las que vimos en límites infinitos de sucesiones. Las indeterminaciones para funciones son las mismas que las de sucesiones: Casos de Indeterminación Límite y de funciones de una variable

16 Resolución Introducción en un punto infinitos, Indeterminaciones Las técnicas para resolver indeterminaciones que estudiamos para sucesiones se pueden utilizar para límites de funciones, sobre todo cuando la variable x tiende a +. Límite y de funciones de una variable

17 Introducción Definición de continuidad Propiedades. Funciones elementales continuas Teoremas de continuidad Definición Definición Se dice que una función f(x) es continua en un punto a si y sólo si: 1 f(a) existe. 2 lim f(x) existe. 3 lim f(x)= f(a). Si f no es continua en a discontinua en a 1 lim f(x) no existe, o 2 el límite existe pero es distinto de f(a). Límite y de funciones de una variable

18 Introducción Definición de continuidad Propiedades. Funciones elementales continuas Teoremas de continuidad Definición f(x) es continua en (a,b) si es continua en cada punto de (a,b) f(x) es continua en [a,b] si es continua en (a,b) y f(a)= lim + f(x), f(b)= lim f(x) x b f(x) es continua en R si es continua x R Límite y de funciones de una variable

19 Introducción Definición de continuidad Propiedades. Funciones elementales continuas Teoremas de continuidad Discontinuidad Puntos de Discontinuidad de 1 a Especie El punto a se dice punto de discontinuidad de 1 a especie de la función f(x) si existen los límites por la derecha y por la izquierda y son finitos. Si lim f(x)= lim f(x) f(a) la discontinuidad es evitable + Si lim f(x) lim f(x) la discontinuidad es no evitable + Límite y de funciones de una variable

20 Introducción Definición de continuidad Propiedades. Funciones elementales continuas Teoremas de continuidad Discontinuidad Puntos de Discontinuidad de 2 a Especie Si al menos uno de los límites lim f(x) o lim + f(x) f(a) no existe o es infinito, entonces a es un punto de discontinuidad de 2 a especie de f(x). Límite y de funciones de una variable

21 Introducción Definición de continuidad Propiedades. Funciones elementales continuas Teoremas de continuidad Propiedades de las funciones continuas Propiedades basicas Sean f,g : I R, I intervalo abierto y a I tales que f y g son continuas en a, entonces: α f + βg es continua en a, α,β R. f g es continua en a. Si g no se anula en I entonces f g es continua en a. g f es continua en a (cuando se puedan componer f y g). Límite y de funciones de una variable

22 Introducción Definición de continuidad Propiedades. Funciones elementales continuas Teoremas de continuidad Funciones elementales continuas de las funciones elementales Las siguientes funciones son continuas en sus dominios: Una función polinómica es continua en R. Una función racional (cociente de polinomios) es continua en todo punto donde no se anule su denominador. u x, u>0, es continua en R. log u x, u>0, u 1, es continua en (0,+ ). sinx, cosx son continuas en R. tanx es continua para todo x 2 π + kπ para k Z. sinhx, coshx y tanhx son continuas en R. Límite y de funciones de una variable

23 Introducción Definición de continuidad Propiedades. Funciones elementales continuas Teoremas de continuidad Funciones continuas en un intervalo cerrado Acotación Si f(x) es continua en [a,b] entonces f(x) está acotada en [a,b]. Teorema de Weierstrass Si f(x) es continua en [a,b] entonces f(x) alcanza el máximo y el mínimo en [a,b]. Límite y de funciones de una variable

24 Introducción Definición de continuidad Propiedades. Funciones elementales continuas Teoremas de continuidad Funciones continuas en un intervalo cerrado Teorema del Valor Intermedio Si f(x) es continua en [a,b] y K es cualquier número entre f(a) y f(b), entonces existe un valor c [a,b] que verifica f(c)=k. Teorema de Bolzano Si f(x) es continua en [a,b] y f(a) f(b)<0, entonces existe un valor c (a,b) que verifica f(c)=0. Límite y de funciones de una variable