Cálculo de límites. Continuidad

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1 Chapter 8 Cálculo de límites. Continuidad 8. Definición Una función f () tiene límite l en a, siparatodasucesióndevalores n a las imágines correspondientes f ( n ) l. Sediceentoncesque f () f (a) a 8.2 Propiedades:. Si una función tiene límite en un punto, éste es único. 2. Si los límites laterales en un punto a son distintos La función no tiene límite en a. 3. Si una función tiene límite distinto de cero en un punto Eiste un entorno de ese punto en el que los valores que toma la función tienen el mismo signo que el límite. 4. Para calcular el límite de una función en un punto a se sustituye la variable independiente por a y se realizan las operaciones indicadas (siempre que no se obtenga una epresión "indeterminada", como,,,,,, ) 5

2 52 CHAPTER 8 CÁLCULO DE LíMITES. CONTINUIDAD 8.3 Cálculos con infinitos Sumas Productos (+ )+l (+ ) (+ ) (+ ) (+ ) (+ ) l (+ ) (+ )+(+ ) (+ ) Si l> ( ) l ( ) (+ ) l ( ) ( )+l ( ) Si l< ( ) l (+ ) ( )+( ) ( ) ( ) (+ ) Cocientes Potencias l (± ) (+ )(+ ) (+ ) l (± ) (+ ) ( ) No eiste (± ) (± ) Si l> (+ ) l (+ ) (± ) Si l< (+ )l Si l 6 l l (+ ) (+ ) Si l> l ( ) l (+ ) Si <l< l ( ) (+ )

3 8.4 ESTRATEGIAS PARA EL CÁLCULO DE LíMITES Estrategias para el cálculo de límites Para calcular el límite de una función continua f en un punto a < se procede a sustituir la variable por el valor a, es decir, en realidad se calcula f(a). Una función es contínua si: f () f (a) a Por etensión se realiza lo mismo, aunque la función no sea continua en a. Puede ocurrir en estos casos que se produzca una indeterminación, entonces se procede a reducir dicha indeterminación mediante diversas estrategias:. Estrategia de modificar la epresión del límite. Consiste en transformar la epresión del límite mediante transformaciones algebraicas de ésta por ejemplo multiplicar o dividir por una epresión, sumar y restar una epresión, simplificar la epresión Estrategia de cambio de variable. Consiste en poner la variable que aparece en el límite a calcular, en función de otra variable, de ésta forma el límite puede transformarse en otro más sencillo de calcular. 3. Utilización de equivalencias. Consiste en sustituir una función por otra función que cumple unas ciertas propiedades. 4. Utilización de la regla de L Hopital Cálculo de límites mediante transformaciones algebraicas Indeterminación k No es propiamente una indeterminación pues el resultado siempre es +, ó noeiste el límite. Hay que calcular límites laterales: Ejemplo 37 4 No eiste

4 54 CHAPTER 8 CÁLCULO DE LíMITES. CONTINUIDAD Indeterminación - Si se trata de un cociente de polinomios, descomponemos en factores y simplificamos. - Si hay una suma o diferencia con alguna raiz cuadrada, multiplicamos y dividimos por la epresión conjugada. Ejemplo ( ) ( 7) Ejemplo r 6 ( ) 3 ( +3) ( +)( ) ( +)( 7) s 6 ( ) 3 ( +3) 3 4 ( +3) 2 Indeterminación Si estamos calculando el límite cuando ± y se trata de un cociente de polinomios, podemos: - Dividir numerador y denominador por el término de mayor grado del denominador - Utilizar equivalencias (ver en el apartado de equivalencias) y sustituir el polinomio por su término de mayor grado.

5 8.4 ESTRATEGIAS PARA EL CÁLCULO DE LíMITES 55 Ejemplo ' 2 ' Indeterminación - Efectuamos las operaciones si podemos. - Si hay una suma o diferencia con alguna raiz cuadrada, multiplicamos y dividimos por la epresión conjugada. Ejemplo ( 4 +2) q q Indeterminación µ - Utilizamos el número "e" ( + e) - Tenemos en cuenta la siguiente identidad: (Ver aclaración (*)) Ejemplo 42 f a ()g() e [g()(f() )] a µ ³ e (2 ) ³ e (2 ) e (2 ) ³ 2 + e ³ e 2

6 56 CHAPTER 8 CÁLCULO DE LíMITES. CONTINUIDAD Cálculo de límites. Equivalencias. Dos funciones son equivalentes en un punto si el límite de su cociente en dicho punto es Si en una epresión figura como factor o divisor una función, el límite de la epresión no varia al sustituir dicha función por otra equivalente. Algunas equivalencias: tg8 Ejemplo 43 4 sen (tg (sen)) Ejemplo 44 sen (tg) Ejemplo 45 cos 2 ' Ejemplo 46 sen tg arcsen arctg cos 2 2 e Ln ( + ) Ln sen ( ) ± a n n + a n n a + a a n n arctan cos sin (2) 2 ' cos (2) 2 ' 4cos 4

7 8.4 ESTRATEGIAS PARA EL CÁLCULO DE LíMITES Cálculo de límites. Regla de L Hopital. En el proceso de calcular el límite de una función en un punto, ó en el infinito, puede aparecer alguna de las siguientes indeterminaciones:,,,,,, Frecuentemente, es muy difícil ó imposible, reducir estas indeterminaciones mediante transformaciones algebraicas de la epresión de la función. A continuación se epone la forma de reducir la indeterminación en el caso de trabajar con funciones derivables. Indeterminación Supongamos que f () y g () siendo g () 6 en un a a f () entorno de a. Si eiste, tanto si es finito como si es ±, entonces: a g () f () g () f () a g () a NOTA: Vale igual si en vez de a es a +,a, +, Ejemplo 47 sin cos Indeterminación f () Supongamos que f () y g (). Si a a a g () eiste, tanto si es finito como si es ±, entonces: f () g () f () a g () a NOTA: Vale igual si en vez de a es a +,a, +,

8 58 CHAPTER 8 CÁLCULO DE LíMITES. CONTINUIDAD Ejemplo 48 Ejemplo 49 e ln ln 2 e 2 e Indeterminación La indeterminación se puede dar en el siguiente caso: f () g () a cuando f () y g () a a Podemos aplicar la Regla de L Hopital pasando a uno de los casos anteriores, dividiendo por el inverso de uno de los factoresr: g () f () g () a a f() Con lo cual se produce una indeterminación o: f () f () g () a a g() con lo cual se produce la indeterminación Ejemplo 5 ln ln Indeterminación La indeterminación se puede dar en el siguiente caso: (f () g ()) a

9 8.4 ESTRATEGIAS PARA EL CÁLCULO DE LíMITES 59 cuando f () + y g () +. a a Si f y g no se anulan en un entorno del punto a, se puede escribir: (f () g ()) a a à f() g()! a à g() f() f()g() con lo cual se produce la indeterminación y en condiciones adecuadas, se puede aplicar la regla de L Hopital. µ Ejemplo 5 sin µ µ sin cos sin sin + cos µ sin cos +cos sin +! Indeterminación Tener en cuenta que (*) µ 3 +2 Ejemplo 52 2 f a ()g() e [g()(f() )] a ln 3+ln 2 ln 3 2 e 2 e 2 e (ln 6) e ( ) +2 2 e 2 e 3 ln 3+2 ln 2 2 Indeterminaciones y Utilizar la epresión (*): f a ()g() e [g()lnf()] a Ejemplo 53 e e ln e ln e

10 6 CHAPTER 8 CÁLCULO DE LíMITES. CONTINUIDAD (*): Por tanto aplicando límites: f () g() e Ln(f()g() ) f () g() e g()lnf() f a ()g() e g ()Lnf() a Si f () entonces Lnf () f () yportantopodemosponer: f a ()g() e g ()(f() ) a Ejercicio 54 No eiste Ejercicio 55 Ejercicio Ejercicio 57 + Ejercicio 58 Ejercicio cos +sin 2 2 Ejercicio 6 sin Ejercicio 6 sin Ejercicio 62 Ejercicio 63 e ln + 2+ ln 2

11 8.4 ESTRATEGIAS PARA EL CÁLCULO DE LíMITES 6 Ejercicio 64 Ejercicio 65 (e 2 ) (cos ) sin o + 5arcsin Ejercicio cos Ejercicio arctan Ejercicio 68 cos sin (2) 2 4 Ejercicio 69 sin ( ) ln Ejercicio 7 Ejercicio e + sin (cos ) e 3 2 e e 2 Ejercicio 72 2 sin Ejercicio 73 Ejercicio 74 ln 2 ln + Ejercicio Ejercicio 76 ( cos )sin 2 Ejercicio 77 sin cos Ejercicio 78 sin ( )

12 62 CHAPTER 8 CÁLCULO DE LíMITES. CONTINUIDAD Ejercicio 79 ln ( + ) cos 2 Ejercicio 8 cos sin 3 3 e e 2 Ejercicio 8 2 sin Ejercicio 82 e e sin 3 6 Ejercicio 83 cos (e ) 2 2