Guía de Ejercicios: Métodos de Integración

Transcripción

1 Guía de Ejercicios: Métodos de Integración Área Matemática Resultados de aprendizaje Resolver integrales usando diferentes métodos de integración Contenidos 1. Método de sustitución simple 2. Método de sustitución trigonométrica 3. Método de fracciones parciales 4. Método de integración por partes Debo saber Función primitiva La función primitiva de una función dada, es otra función cua derivada es la función dada. Si una función constante. tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una Integral indefinida La Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función. Es el signo de integración Se representa por: Se lee: integral de f de x en de x. es el integrando o función a integrar. es diferencial de, e indica cuál es la variable de la función que se integra. es la constante de integración puede tomar cualquier valor numérico real. Si es una primitiva de se tiene que: Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar. 1

2 Propiedades de las integrales indefinidas 1.- La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones 2.- La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. Identidades trigonométricas Tabla de integrales simples Integral indefinida de una constante Integral indefinida de una potencia Integral indefinida del seno Integral indefinida del coseno Integral indefinida del reciproco de x Integral indefinida de la secante Integral indefinida de la cosecante 2

3 Fracciones parciales El método de descomposición en fracciones simples consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador debe ser estrictamente maor que el del numerador. Se distinguen tres casos al momento de realizar una fracción parcial, las culés son cuando: 1.- El denominador es un producto de factores lineales distintos. 2.- El denominador es un producto de factores lineales repetidos. 3.- El denominador contiene factores cuadráticos irreductibles, ninguno de los cuales se repite Sustitución trigonométrica La integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienen la forma, ó. Las sustituciones que se deben realizar para cada una de ellas son: EXPRESIÓN SUSTITUCION TRIGONOMETRICA Integración por partes El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula: Las funciones logarítmicas, "arcos" polinómicas se eligen como. Las funciones exponenciales trígonométricas del tipo seno coseno, se eligen como. 3

4 Ejercicio 1 Resuelva la siguiente integral utilizando el método de sustitución simple. Escogemos el cambio de variable. En este caso lo que nos molesta es lo que está dentro de la raíz cubica, por lo que reemplazaremos por Derivamos a ambos lados de la igualdad Despejamos Como tenemos reemplazamos en la integral original Como es constante la sacamos de la integral simplificamos con ( ) Resolvemos la integral indefinida de una potencia (Tabla de integrales) ( ) Reducimos la expresión Finalmente, como lo reemplazamos en nuestro resultado. 4

5 Ejercicio 2 Resuelva las siguientes integrales utilizando el método de sustitución trigonométrica Realizamos trabajo algebraico Sea Como la integral presenta la forma utilizamos la sustitución con en la integral por (Identidad trigonometrica) Eliminamos la raíz con el cuadrado de la secante Simplificamos Resolvemos la integral definida del coseno (a que ) Como reemplazamos Utilizamos la sustitución inicia realizamos trabajo algebraico Finalmente, como reemplazamos 5

6 Sea Como la integral presenta la forma con utilizamos la sustitución en la integral Realizamos trabajo algebraico Como es constante la sacamos de la integral simplificamos el = por (Identidad trigonométrica) ( ) Eliminamos la raíz con el cuadrado del coseno Simplificamos Resolvemos la integral definida del seno Utilizamos la sustitución inicia realizamos trabajo algebraico Finalmente, como reemplazamos 6

7 Sea Como la integral presenta la forma con utilizamos la sustitución ( ) Trabajo algebraico en la integral Como es constante la sacamos de la integral por (Identidad trigonometrica) Eliminamos la raíz con el cuadrado de la tangente Multiplicamos las tangentes Sea ( ) Para resolver la siguiente integral debemos nuevamente realizar una sustitución. en la integral Resolvemos la integral indefinida de una potencia (Tabla de integrales) Simplificamos Utilizamos la sustitución inicia realizamos trabajo algebraico 7

8 ( ) Finalmente reemplazamos Ejercicio 3 Resuelva la siguiente integral utilizando el método de integración por fracciones parciales Factorizamos Como el grado del polinomio del denominador es maor que el del numerador descomponemos en fracciones parciales Trabajo algebraico Como, realizamos un sistema para encontrar los valores de en en ( ) en la integral Separamos la suma de integrales Como es constante lo sacamos de ambas integrales Resolvemos las integral indefinidas (Tabla de integrales) 8

9 Ejercicio 4 Resuelva la siguiente integral utilizando el método de integración por integración por partes por Definimos el el Derivamos para encontrar e integramos para encontrar En Multiplicamos los cosenos Como es constante la sacamos de la integral por (Identidad trigonométrica) Separamos en suma de integrales Resolvemos la integral de la constante 1 Sumamos a ambos lados de la igualdad Dividimos a ambos lados de la igualdad por 9

10 Finalmente, podemos concluir el resultado de la integral 10