Integración de funciones trigonométricas

Transcripción

1 Integración de funciones trigonométricas Ya vimos las reglas para calcular integrales de funciones trigonométricas. Ahora vamos a considerar productos de funciones trigonométricas y potencias. Para este tema vamos a requerir el formulario de identidades trigonométricas. Calcula la integral indefinida: cos x dx Ejemplo 1 Utilizamos la siguiente identidad: 1 + cos( x cos x = Así, nuestra integral se convierte en la siguiente: cos x dx = 1 (1 + cos( x dx = 1 dx + 1 cos( x dx Ya podemos calcular la primera integral. Para la segunda, hace falta completar la diferencial: cos x dx = 1 dx + 1 cos( x ( dx = x sin( x Y terminamos. En la sección anterior calculamos la integral sin x dx utilizando integración por partes. Se te queda como ejercicio calcularla utilizando la identidad trigonométrica: cos x = 1 cos( x La siguiente integral no utiliza el mismo artificio. Sino el hecho de que la derivada de la función seno es la función coseno. Calcula la integral indefinida: cos x dx Ejemplo 1/7

2 Utilizando la identidad: sin x + cos x = 1 podemos reescribir la integral de la siguiente forma: ( cos x dx = 1 sin x cos x dx = cos x dx sin x cos x dx La primera integral es inmediata. Para la segunda, vamos a definir: u(x = sin x, luego, u (x = cos x. Esto nos dice que podemos hacer el cambio de variable: cos x dx = = sin x cos x dx sin x cos x dx [u(x] u (x dx = sin x [u(x] = sin x sin x El artificio de sustituir cos x = 1 sin x nos sirve para simplificar integrales cuyo integrando consista de la función cos x elevada a una potencial impar. Por ejemplo, para integrar cos x reescribimos este integrando de la siguiente manera: ( cos x = cos 4 x cos x = 1 sin x cos x ( = 1 sin x + sin 4 x cos x Después podemos definir u = sin x y proceder como en el ejemplo que acabamos de resolver. En algunos productos de potencias de las funciones sin x y cos x también podemos aplicar el mismo artificio matemático. Solamente debemos recordar que la diferencial debe estar completa. Ejemplo Calcula la integral: sin x cos x dx Podemos reescribir la integral de la siguiente manera: sin x cos x dx = = = sin x cos x cos x dx ( sin x 1 sin x cos x dx ( sin x sin x cos x dx /7

3 Ahora definimos: u(x = sin x, y haciendo el cambio de variable, obtenemos: ( sin x cos x dx = sin x sin x cos x dx = sin x cos x dx sin x cos x dx = [u(x] u (x dx [u(x] u (x dx = [u(x]4 4 = sin4 x 4 [u(x]6 6 sin6 x 6 Observa que decidimos sustituir: cos x = 1 sin x, pero también pudimos sustiuir: sin x = 1 cos x y poder calcular la integral. Se te queda como ejercicio calcular la misma integral haciendo esta sustitución. Para integrar potencias de la función tangente o secante usaremos la identidad: sec x = 1 + tan x Calcula la integral indefinida: tan x dx Ejemplo 4 Usando la identidad mencionada, la integral puede reescribirse como: tan x dx = (1 sec x dx = dx sec x dx Ambas integrales son inmediatas: tan x dx = x tan x Calcula la siguiente integral indefinida: tan x dx Ejemplo El integrando puede reescribirse como: tan x dx = (sec x 1 tan x dx = sec x tan x dx tan x dx Ahora observa que si definimos: u(x = tan x, entonces, u (x = sec x. Entonces, al hacer el cambio de variable, obtenemos: tan x dx = u(x u (x dx tan x dx = [u(x] = tan x sin x cos x dx sin x cos x dx /7

4 Para calcular la integral faltante, vamos a definir: v = cos x. Entonces, dv = sin x dx. Así, podemos aplicar la regla (v de integración: tan x dx = tan x = tan x = tan x = tan x sin x cos x dx dv v + ln v + ln cos x En algunos casos vamos a tener que aplicar otros métodos de integración para poder calcular una integral de potencias trigonométricas. Ejemplo 6 Calcula: sec x dx Podemos reescribir la integral de la siguiente forma: sec x dx = sec x sec x dx = (1 + tan x sec x dx Al separar en dos integrales obtenemos: sec x dx = sec x dx + tan x sec x dx La primera integral es inmediata: sec x dx = ln sec x + tan x + tan x sec x dx Para la integral que falta usaremos la regla de integral por partes. Así que definimos: u = tan x du = sec x dx dv = sec x tan x dx v = sec x Sustituyendo estos valores en la integral faltante nos da: sec x dx = ln sec x + tan x + sec x tan x sec x dx Ahora obtuvimos la integral que queremos calcular. Como es negativa, podemos pasarla del otro lado: sec x dx = ln sec x + tan x + sec x tan x 1 4/7

5 Y el resultado es: sec x dx = 1 ln sec x + tan x + 1 sec x tan x Calcula la integral: cot 6 x dx Ejemplo 7 Ahora utilizaremos la identidad: csc x = 1 + cot x para transformar el integrando las veces que sea necesaria. Empezamos haciendo la primera transformación: ( cot 6 x dx = cot 4 x csc x 1 dx = cot 4 x csc x dx cot 4 x dx Ahora definimos: u(x = cot x, con lo que u (x = csc x. Entonces, cot 6 x dx = = = cot x cot 4 x csc x dx [u(x] 4 u (xdx cot x cot 4 x dx ( csc x 1 cot x csc x dx + cot x dx dx Aplicando la definición u(x = cot x de nuevo, obtenemos: Y terminamos. cot 6 x dx = cot x = cot x = cot x = cot x = cot x cot x csc x dx + cot x dx ( [u(x] u (x dx + csc x 1 dx cot x cot x cot x ( + csc x 1 dx + csc x dx dx + cot x x Cuando las potencias de tan x y de sec x son impares, conviente factorizar tan x sec x y utilizarlo como du, definiendo u = sec x. /7

6 Todos los tan x se transforman a sec x utilizando la identidad: sec = 1 + tan x Ejemplo 8 Calcula: tan x sec x dx Empezamos factorizando tan x sec x: tan x sec x dx = tan 4 x sec x [tan x sec x dx] Ahora podemos usar la identidad: sec = 1 + tan x: tan x sec x dx = [sec x 1] sec x [tan x sec x dx] Definimos: u = sec x y sustituimos en la integral para obtener: tan x sec x dx = [u 1] u du = [u 4 u + 1] u du = u 6 du u 4 du + u du = u7 7 u + u = sec7 x 7 sec x + sec x Observa que en cada integral utilizamos siempre una identidad que involucre a la función en cuestión y a su derivada. Por ejemplo, para la función sin x usamos la identidad: porque ahí aparece su derivada, que es: cos x. Por otra parte, para la función tan x usamos: porque la derivada de tan x es sec x. Y para la función cot x utilizamos la identidad: sin x + cos x = 1 sec x = 1 + tan x csc x = 1 + cot x porque la derivada de cot x es la función csc x. En los productos de potencias de las funciones trigonométricas siempre debemos intentar sustituir las identidades de manera que obtengamos una forma integrable. 6/7

7 Albert Einstein Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más. Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor. Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 010 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 07 de agosto de 010. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita. Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: efrain@aprendematematicas.org.mx 7/7