Derivadas de funciones trigonométricas y sus inversas

Transcripción

1 Deivadas de funciones tigonométicas y sus invesas Las funciones tigonométicas se definen a pati de un tiángulo ectángulo como sigue: sin α y csc α y y cos α x sec α x α x tan α y x cot α x y Como puedes ve, estas funciones que caacteizan a un ángulo dado α. Sin embago, al definilas así, da la impesión que el dominio de estas funciones, es deci, los valoes de los ángulos α que pueden toma como agumento estas funciones está en el intevalo (0, 80). Esto no es así. Las funciones tigonométicas se definen más coectamente a tavés de una cicunfeencia de adio, de manea que podemos da a α cualquie valo eal. y α x Obseva que, en el caso paticula paa, las funciones cos α y sin α son iguales a x e y espectivamente. En esta sección nuesta taea consiste en enconta las eglas de deviación paa las seis funciones tigonométicas. Calcula la egla de deivación paa la función: y Debemos aplica la egla de los cuato pasos paa deduci la egla. Paso : Paso 2: y + y sin(x + ) y sin(x + ) cos() + cos x sin() donde hemos utilizado una identidad tigonomética. Puedes buscala en cualquie libo de tigonometía: sin(x + y) cos y + cos x sin y

2 2 Paso 3: y cos() + cos x sin() sin() cos() cos x Paso 4: y 0 ( ) sin() cos() cos x 0 ( ) ( ) sin() cos() cos x 0 0 sin() cos() cos x 0 0 Ya sabemos que el pime límite de la expesión anteio es igual a. Peo el oto límite: no. Así que vamos a calculalo 2. cos() 0 0 cos() ( ) cos() + cos() 0 + cos() ( cos 2 ) () 0 ( + cos())() ( ) sin 2 () 0 ( + cos())() ( sin() 0 + cos() sin() ) Peo el límite de un poducto se puede expesa como el poducto de los límites, entonces: cos() sin() sin() cos() 0 Cuando tiende a ceo, sin() también tiende a ceo, mientas que + cos tiende a. 0 cos() 0 0 Y la egla paa deiva la función y es: sin() cos() cos x 0 0 (cos x)() ()(0) cos x 2 Aquí también usamos ota identidad: sin 2 x +.

3 3 d() cos x Calcula la egla de deivación paa la función: y cos x 2 Paso : Utilizamos ota identidad tigonomética: Paso 2: y + y cos(x + ) cos x cos() sin() y cos x cos() sin() cos x cos x [cos() ] sin() cos x [ cos()] sin() Paso 3: y cos x [ cos()] sin() cos x cos() cos x cos() cos x cos x cos x sin() sin() + cos() sin() + cos() cos 2 () sin() () [ + cos()] sin 2 () sin() () [ + cos()] sin() sin() + cos() Paso 4: y 0 cos x 0 sin() sin() sin() 0 + cos() 0 (cos x) () (0) () () d(cos x) Calcula la egla de deivación paa la función: y tan x 3

4 4 Aquí usaemos la identidad tigonomética: tan x cos x y la egla paa deiva el cociente de dos funciones. Paa eso definimos: f (x), y g(x) cos x. Sus deivadas son conocidas ahoa, f (x) cos x, y g (x). Sustituyendo estos valoes en la egla paa deiva al cociente / cos x obtenemos: cos x cos x ( ) cos2 x + sin 2 x sec 2 x d(tan x) sec 2 x 4 Calcula la deivada de la función: y sec x. Usaemos la identidad tigonomética: sec x cos x y la egla paa deiva el cociente de dos funciones. Paa eso definimos: f (x), y g(x) cos x. Luego, f (x) 0, y g (x) Sustituyendo estos valoes en la egla paa deiva el cociente obtenemos: (cos x) (0) () ( ) cos x sec x tan x cos x d(sec x) sec x tan x

5 5 Calcula la deivada de la función: y csc x. 5 Ahoa utilizaemos la identidad: csc x Definiendo f (x) y g(x), tenemos que f (x) 0 y g (x) cos x. Sustituyendo en la egla paa la deivada de un cociente de dos funciones, obtenemos: () (0) () (cos x) sin 2 x cos x sin 2 x cos x csc x cot x d(csc x) csc x cot x Calcula la deivada de la función: y cot x 6 Utilizaemos la identidad: cot x cos x Definiendo: f (x) cos x, g(x), se sigue: f (x), g (x) cos x. Sustituyendo en la egla de deivación coespondiente obtenemos: () ( ) (cos x) (cos x) sin 2 x sin2 x sin 2 x sin 2 x csc2 x Luego, d(cot x) csc 2 x Más adelante utilizaemos las eglas de deivación que hemos deducido en esta sección paa deiva funciones tigonométicas. Po ahoa solamente es impotante que sepas que existen. Hay otas funciones que se llaman tigonométicas invesas. Po ejemplo y ac es la función invesa de y sin. Algunas veces se escibe también como y sin x paa enfatiza que se tata de la función invesa de la función seno.

6 6 Es impotante hace nota que el supe-índice no es un exponente, sino un índice paa aclaa que se tata de la función invesa. Es deci: sin x sino sin x ac En palabas, ac es la medida del ángulo (en adianes) en el intevalo de ( π/2, π/2) cuyo seno es x. Po ejemplo, el seno de π/4 adianes es 2/2. Entonces, acsin( 2/2) π/4. De manea semejante se definen las otas funciones tigonométicas invesas: accos x, actan x, accot x, acsec x y accsc x. Las eglas paa deiva las funciones tigonométicas invesas se dan enseguida sin demostación: d(ac) d(accos x) d(actan x) d(accsc x) d(acsec x) d(accot x) x 2 x 2 + x 2 x x 2 x x 2 + x 2 Céditos Albet Einstein Todo debe hacese tan simple como sea posible, peo no más. Este mateial se extajo del libo Matemáticas V escito po Efaín Soto Apolina. La idea es compati estos tucos paa que más gente se enamoe de las matemáticas, de se posible, mucho más que el auto. Auto: Efaín Soto Apolina. Edición: Efaín Soto Apolina. Composición tipogáfica: Efaín Soto Apolina. Diseño de figuas: Efaín Soto Apolina. Poducto geneal: Efaín Soto Apolina. Año de edición: 200

7 7 Año de publicación: Pendiente. Última evisión: 0 de agosto de 200. Deechos de auto: Todos los deechos esevados a favo de Efaín Soto Apolina. México Espeo que estos tucos se distibuyan ente pofesoes de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados ente otos pofesoes y sus alumnos. Este mateial es de distibución gatuita. Pofeso, agadezco sus comentaios y sugeencias a la cuenta de coeo electónico: efain@apendematematicas.og.mx