Curvas paramétricas. { x + 2y = 4 y = t. { x = 4 2t y = t y denimos f(t) = (4 2t, t) con t R. y = t. Facultad de Ciencias UNAM Geometría Analítica I

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César Navarro Carrizo
hace 5 años
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1 Unidad 2. Tigonometía 2.7 Cuvas paaméticas Cuvas paaméticas Supongamos que en un plano catesiano dibujamos una cuva, y que el punto de la cuva coespondiente al instante t se denota po P(t) entonces, como los puntos del plano pueden ubicase mediante su abscisa y su odenada, la dependencia de t indica que cada coodenada es función de t, es deci P (t) = (x(t), y(t)) donde t es el paámeto y x(t), y(t) son las ecuaciones paaméticas de la cuva. De hecho, toda cuva coespondiente a la gá?ca de una función eal de vaiable eal, f : R R tiene como ecuaciones paaméticas x = x, y(x) = f(x) Lo mismo ocue paa la cuva descita po un punto que se mueve en el espacio catesiano dependiendo de un paámeto, P (t) = (x(t), y(t), z(t)) Ejemplo Paametice la ecta cuya ecuación catesiana es x + 2y 4 = 0 Solución Tenemos que x + 2y 4 = 0 x = 4 2y aquí se obseva que y es libe, podemos asignale un paámeto t y hacemos y = t po lo que { x + 2y = 4 y = t { x = 4 2y y = t { x = 4 2t y = t y denimos f(t) = (4 2t, t) con t R Geometía Analítica I Pof. Esteban Rubén Hutado Cuz 1

Según la gua, dado un punto P en el ciculo y tomando las poyecciones a los ejes

(x(θ), y(θ)) = (a cos θ, a sen θ) Cicloide Una cuva muy impotante en

de una cicunfeencia de adio a, la cual ueda, sin deslizase, a una velocidad

2 Unidad 2. Tigonometía 2.7 Cuvas paaméticas Ciculo Halla las ecuaciones paaméticas del cículo de adio a Según la gua, dado un punto P en el ciculo y tomando las poyecciones a los ejes coodenados se tiene { x = a cos θ P = θ [0, 2π] y = a sen θ po lo tanto f(θ) = (x(θ), y(θ)) = (a cos θ, a sen θ) Cicloide Una cuva muy impotante en matemáticas es la llamada CICLOIDE, denida como la cuva que descibe un punto jo de una cicunfeencia de adio a, la cual ueda, sin deslizase, a una velocidad constante sobe el eje x. Paa obtene sus ecuaciones paaméticas pocedemos de la siguiente manea Geometía Analítica I Pof. Esteban Rubén Hutado Cuz 2

LA OA = ac P CA = θ LA = P N = sen θ Po lo tanto x = θ sen θ De

= NC = cos θ Po lo tanto po lo tanto y = cos θ f(θ) = (x(θ), y(θ))

cicunfeencia y esta cicunfeencia está odando, sin esbala, sobe ota

3 Unidad 2. Tigonometía 2.7 Cuvas paaméticas Según la gáca se tiene po oto lado x = OL = OA LA OA = ac P CA = θ LA = P N = sen θ Po lo tanto x = θ sen θ De manea análoga, según la gáca se tiene y = LP = AC NC po oto lado AC = NC = cos θ Po lo tanto po lo tanto y = cos θ f(θ) = (x(θ), y(θ)) = (θ sen θ, cos θ) Epicicloide Si un punto P es jo sobe una cicunfeencia y esta cicunfeencia está odando, sin esbala, sobe ota cicunfeencia, la tayectoia descita po el punto P se denomina Epicicloide Geometía Analítica I Pof. Esteban Rubén Hutado Cuz 3

4 Unidad 2. Tigonometía 2.7 Cuvas paaméticas Paa obtene sus ecuaciones paaméticas pocedemos de la siguiente manea De la gua se obseva que paa el punto A cos(θ) = sen(θ) = po tanto las coodenadas del punto A son: x 0 + ( 0 + ) cos(θ) = x y 0 + ( 0 + ) sen(θ) = y A = (( 0 + ) cos(θ), ( 0 + ) sen(θ)) Ahoa bien como el punto P se encuenta en un cículo de adio podemos paametiza dicho cículo asi: P ( cos β, sen β) ademas según la gua OAP β + θ = π β = OAP + θ π también po lo tanto β = θ 0 OAP = OAX θ 0 = OAP θ 0 = OAP ( ( ) ( )) θ 0 θ 0 + θ π P cos + θ π, sen + θ π ( ( ) ( )) θ 0 θ 0 P cos + θ, sen + θ Geometía Analítica I Pof. Esteban Rubén Hutado Cuz 4

5 Unidad 2. Tigonometía 2.7 Cuvas paaméticas Po lo tanto las coodenadas del punto P desde O son: ( ( θ 0 x = ( 0 + ) cos(θ) cos y = )) + θ ( ( )) θ 0 ( 0 + ) sen(θ) sen + θ Hipocicloide Es una cuva descita po un punto de una cicunfeencia que ueda sin esbala dento de ota cicunfeencia ja Paa obtene sus ecuaciones paaméticas pocedemos a pati de la gua de la siguiente manea 1. Tenemos la igualdad de las longitudes de los acos Rθ = (θ + α) Geometía Analítica I Pof. Esteban Rubén Hutado Cuz 5

6 Unidad 2. Tigonometía 2.7 Cuvas paaméticas en la gua el ángulo α se mide en diección de las manecillas del eloj desde X al punto P θ de ahí el signo menos 2. El cento C θ de la cicunfeencia inteio está dado po ((R ) cos (θ), (R ) sen θ) 3. Las coodenadas de los puntos P θ de la hipocicloide con especto al sistema coodenado punteado son ( cos( α), sen( α)) = ( cos(α), sen(α)) 4. Las coodenadas de P θ en el sistema de coodenadas con cento en 0 esulta de sumale C θ y como α = R θ 5. Se tiene que ( ( ) ( )) R R (R ) cos (θ) + cos θ, (R ) sen (θ) sen θ Geometía Analítica I Pof. Esteban Rubén Hutado Cuz 6

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