Soluciones de la Tarea #6 de Física I

Transcripción

1 Soluciones de la Taea #6 de Física I Tomás Rocha Rinza 4 de octube de Puesto que la tayectoia del satélite alededo de la Tiea es cicula, entonces ocue en un plano. Si se considea a la Tiea fija en el oigen su masa es mucho mayo que la del satélite y este plano se designa como el plano xy, entonces, la posición del satélite es t cos θtî + sen θtĵ t 1 donde es la distancia del satélite al oigen y es el vecto unitaio cos θt, sen θt. La velocidad está dada po t θ sen θtî + θ cos θtĵ θ sen θtî + cos θtĵ luego el tabajo, W, hecho po la fueza gavitacional es peo, W 0 1 F d t0 t 1 F vtdt t0 G m 1m t 1 vtdt vt cos θt, sen θt θ sen θt, + cos θt θ cos θt sen θt + sen θt cos θt 0 de donde el tabajo que hace la fueza gavitacional sobe el satélite es 0 y po ende la enegía cinética del satélite no cambia, lo que implica que su apidez pemanece constante. Lo anteio se ilusta en la Figua 1. En el poblema 1 de la taea 4 se mostó que la magnitud de la fueza que actuaba sobe una patícula en un movimiento cicula unifome equivale a mv /, donde es el adio de la obita, luego m v Gm T m donde m T es la masa de la Tiea, entonces, ente mayo sea el adio de la obita, meno seá la apidez del satélite. Esto implica que el satélite atificial tendá una apidez mayo que la luna po que su adio de obita es meno. La azón de las apideces en téminos de la azón de los adios se obtiene con ayuda de la expesión

2 F v Figua 1: Si el movimiento de un satelite alededo de la Tiea es cicula, entonces la fueza gavitacional y la velocidad son pependiculaes, po lo que la apidez del satélite es constante GmT v Luna Luna satélite v satélite GmT Luna satélite mientas que la azón de los peíodos es T Luna T satélite Finalmente, se tiene que π Luna v Luna π satélite v satélite Luna satélite v satélite v Luna / Luna Luna Luna satélite satélite satélite T satélite T Luna satélite Luna / 7 días 4 hoas 1 días / m h m. En un movimiento unidimensional, si existe una función Ux tal que el negativo de su deivada, du/dx, sea la fueza como función de la posición, entonces Et 1 mẋ t + Uxt 1 mẋ t + U xt 4 es una integal de movimiento. Este esultado no es difícil de demosta: det dt mẋtẍt + U xtẋt mẋẍ + dux dx ẋ ẋ mẍ F x 0 En lo que conciene a la descipción cualitativa de los movimientos de una patícula con enegías E 0, E 1 y E con ẋ0 < 0 se considea pimeamente que la enegía es una constante de movimiento y que E U en todo momento, cumpliéndose la igualdad si y sólo si, la apidez de la patícula es 0. Entonces:

3 E E 0 : La patícula se mueve hacia la izquieda y sigue avanzando hasta que Ux E 0, momento en el cual su apidez es 0. En ese instante, sobe el sistema actúa una fueza sobe la patícula que va hacia la deecha du/dx > 0 y la patícula se empieza a move en esa diección, hasta que nuevamente Ux E 0. La apidez vuelve a se ceo peo se ejece una fueza hacia la izquieda dux/dx < 0 y la patícula se mueve ota vez ẋ < 0. Llega a x 0 con la misma velocidad inicial y se epite el movimiento, el cual es peiódico. E E 1 : Al inicio del movimiento se tiene una situación simila que en el caso anteio: en un inicio la patícula se mueve hacia la izquieda y se detiene cuando Ux E 1. Sobe la patícula se ejece una fueza hacia la deecha y la patícula se mueve en esa diección hasta que se detiene en el máximo local de la enegía potencial donde Ux E 1. Cuando la patícula se encuenta en dicha posición no actúa ninguna fueza sobe ella du/dx 0 y pemanece en dicha posición. E E : El inicio del movimiento es simila al de los dos casos anteioes, sin embago en este caso, una vez que ebota la patícula continúa moviéndose hacia la deecha y una vez que se supea el máximo en la enegía potencial, su apidez aumenta monotamente. Los puntos de equilibio en los cuales la fueza que actúa sobe la patícula es 0 son aquellos en los que du/dx F x 0 que son el máximo y el mínimo local de la Figua 1. El mínimo es un punto de equilibio estable po que cuando se hace un desplazamiento pequeño hacia la deecha la fueza que se ejece sobe la patícula es hacia la izquieda, es deci, hacia el mínimo. De manea simila, un desplazamiento pequeño hacia la izquieda hace que sobe la patícula se ejeza una fueza hacia la deecha, o sea, en diección del mínimo. En camio, el máximo es un punto de equilibio inestable: cuando la patícula se desplaza ligeamente hacia la izquieda del máximo, la fueza que se ejece sobe ella es hacia la izquieda, es deci, tiende a aleja a la patícula del máximo, obsevándose una situación semejante cuando se ealiza un desplazamiento pequeño hacia la deecha.. El tabajo hecho po la fueza F sis G m 1m cuando la patícula m se mueve desde 1 hasta es W Fsis,θ,φ 1,θ 1,φ 1,θ,φ 1,θ 1,φ 1 G m 1m d + dθ θ + sen θdφ φ G m 1m d G m 1m θdθ G m 1m sen θ φdφ,θ,φ G m 1m d 1,θ 1,φ 1 d Gm 1 m 1 Gm 1 1m 1 Gm 1 m dado que 1, θ φ 0 Recueda que el cambio en enegía potencial es el tabajo que tiene que hace un agente exteno, Fext en move una patícula desde una posición 1 hasta una posición sin

4 0,5 1 1,5,5,5 4-0,5-1 -1,5 U Gm 1 m - -,5 - -,5-4 Figua : Enegía potencial gavitatoia que esta se acelee. Eso implica que en dicho cambio la fueza neta que actúa sobe la patícula es 0 y po tanto F ext F sis Gm 1 m / y po lo tanto: U W Fext W Fsis Gm 1 m Tas establece que lím U 0, entonces,θ,φ U,θ,φ F sis d 1,θ 1,φ 1 1,θ 1,φ 1 G m 1m 1 d lím Gm 1 1m 1 G m 1m 1 La gáfica coespondiente se muesta en la Figua. En lo que especta a la velocidad de escape desde la Tiea se tiene que paa alcanza una distancia infinita con la mínima apidez posible, es deci ceo, la enegía total debe se ceo. Si m T y R T son la masa y adio de la Tiea espectivamente, entonces E 0 1 mv G m T m Gm T v 11 Nm kg kg R T R T ms 1 m 4. Punto exta Los negativos de las deivadas paciales de Ux, y, z son U K q x x + y + z + C x K 1 q x x + y + z / K q x

5 entonces U K q x y + y + z + C y U K q x z + y + z + C z K 1 q y x + y + z / K q y K 1 q z x + y + z / K q z U x, U y, U K q q q x, y, z K K z K q F La vaiable C en la función U esulta se ielevante y po ello puede se elegida convenientemente como ceo de donde U K q 6 Paa posegui se utiliza nuevamente el esultado del poblema 1 de la Taea 4, en el que la magnitud de la fueza que actúa sobe una patícula que se mueve en una cicunfeencia con apidez unifome es mv /, luego de manea semejante al pocede que condujo a la ecuación se tiene mv K q v K q m 7 La ecuación 7 implica el teoema viial dento del modelo de Boh T mv K q U 8 El teoema viial también se cumple paa el satélite y la Luna cuando se mueven en un ciculo debido a la fueza gavitacional que la Tiea ejece sobe ellos. Como el satélite se encuenta más ceca de la Tiea que la Luna, entonces U/m es mayo paa el satélite que paa la Luna y po tanto la apidez del satélite debe se necesaiamente mayo que la de la Luna. Po último, se tiene que debido al teoema viial se cumple que 5. Se tiene que T {}}{ E T + U U +U U U T + {}}{ T T U L J y la coespondiente gáfica se muesta en la Figua. De acuedo con la gáfica solamente existe un valo de paa el cual du L J /d 0, es deci,

6 0,4 U L J 0 1 1,5,5-0,4-0,8 Figua : Enegía potencial de Lennad Jones σ1 + 6σ σ6 7 σ es deci el valo cítico de U L J es c c /σ Figua es claamente un mínimo. El valo mínimo está dado po U L J 6 σ 4 σ 1 6 σ 6 σ 6 1 σ6 La fueza ente los dos átomos está dada po: F du d 4 1 σ1 6σ σ σ σ 6 1.1, que de acuedo con la σ1 σ σ 1 7 de donde F σ La gáfica de la expesión 10 se muesta en la Figua??. La fueza ente los átomos es atactiva, F < 0, cuando > 6 σ, es igual a 0 si 6 y es epulsiva, F > 0, si < 6. Esto es, a la deecha de la ecta vetical de la Figua 4, 6 la fueza es atactiva, mientas que a la izquieda es epulsiva.

7 0,4 U L J 1 1,5 0,5-0,4-0, σ du L J d ,5,5 σ 6 Fueza Fueza epulsiva atactiva Figua 4: Enegía potencial de Lennad Jones y fueza coespondiente ente los átomos