Física P.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN

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1 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 1 GRAVIACIÓN INRODUCCIÓN MÉODO 1. En geneal: Se dibujan las fuezas que actúan sobe el sistema. Se calcula la esultante po el pincipio de supeposición. Se aplica la ª ley de Newton (ley Fundamental de la Dinámica). Como la aceleación tiene la misma diección y sentido que la fueza esultante, se puede escibi paa los módulos F = m a. En los poblemas de satélites: La fueza gavitatoia F G que ejece el asto de masa M sobe un satélite de masa m que gia a su alededo en una óbita de adio está diigida hacia el asto (es una fueza cental), y se ige po la ley de Newton de la gavitación univesal F G =G M m Las tayectoias de los satélites son ciculaes alededo del cento del asto. Po se la fueza gavitatoia una fueza cental, la aceleación sólo tiene componente nomal a N = v /, y, al no tene aceleación tangencial, el módulo de la velocidad es constante. Como la única fueza que actúa es la fueza gavitatoia, queda F = F G =m a =m a N =m v m v =G M m La enegía potencial de un objeto de masa m que está a una distancia de un asto es el tabajo que hace la fueza gavitatoia cuando el objeto se taslada desde su posición hasta el infinito E P =W = F G d = G M m u d = GM m d =[ GM m = GM m ] La velocidad de escape de un asto es la velocidad mínima que hay que comunica a un cuepo en la supeficie de éste paa que pueda alejase a una distancia infinita de él. Allí la enegía potencial es nula, E p = 0, y la velocidad se supone nula po se la velocidad de escape una velocidad mínima. APROXIMACIONES 1. Los astos se considean como cuepos esféicos homogéneos. Así se puede considea el campo y la fueza gavitatoia en su exteio como si toda la masa del asto estuviese concentada en su cento.. Sólo se tiene en cuenta la influencia gavitatoia del asto más póximo especto al satélite. 3. En las tansfeencias de óbitas, lanzamientos, caídas, se supone que la única fueza que actúa es la fueza gavitatoia, que es consevativa. Po lo tanto la enegía mecánica se conseva.

2 Física P.A.U. GRAVIACIÓN RECOMENDACIONES 1. Se haá una lista con los datos, pasándolos al Sistema Intenacional si no lo estuviesen.. Se haá ota lista con las incógnitas. 3. Se haá una lista de las ecuaciones que contengan las incógnitas y alguno de los datos, mencionando la ley o pincipio al que se efieen. 4. Se dibujaá un coquis de la situación, pocuando que las distancias del coquis sean coheentes con ella. Se debeá inclui cada una de las fuezas o de las intensidades de campo, y su esultante. 5. En caso de tene alguna efeencia, al temina los cálculos se haá un análisis del esultado paa ve si es el espeado. 6. En muchos poblemas las cifas significativas de los datos son incoheentes. Se esolveá el poblema suponiendo que los datos que apaecen con una o dos cifas significativas tienen la misma pecisión que el esto de los datos (po lo geneal tes cifas significativas), y al final se haá un comentaio sobe el númeo de cifas significativas del esultado. ACLARACIONES 1. Los datos de los enunciados de los poblemas no suelen tene un númeo adecuado de cifas significativas, bien poque el edacto piensa que la Física es una ama de las Matemáticas y los númeos enteos son númeos «exactos» (p.ej la velocidad de la luz: m/s cee que es , m/s) o poque aún no se ha enteado de que se puede usa calculadoa en el examen y le paece más sencillo usa que m/s). Po eso he supuesto que los datos tienen un númeo de cifas significativas azonables, casi siempe tes cifas significativas. Menos cifas daían esultados, en cietos casos, con amplio magen de eo. Así que cuando tomo un dato como c = m/s y lo eescibo como: Cifas significativas: 3 c = 3, m/s lo que quieo indica es que supongo que el dato oiginal tiene tes cifas significativas (no que las tenga en ealidad) paa pode ealiza los cálculos con un magen de eo más pequeño que el que tendía si lo tomaa tal como lo dan. ( m/s tiene una sola cifa significativa, y un eo elativo del 30 %. Como los eoes se suelen acumula a lo lago del cálculo, el eo final seía inadmisible. Entonces, paa qué ealiza los cálculos? Con una estimación seía suficiente).

3 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 3 PROBLEMAS SAÉLIES 1. El peíodo de otación de la iea alededo del Sol es un año y el adio de la óbita es 1, m. Si Júpite tiene un peíodo de apoximadamente 1 años, y si el adio de la óbita de Neptuno es de 4, m, calcula: a) El adio de la óbita de Júpite. b) El peíodo del movimiento obital de Neptuno. (P.A.U. Set. 05) Rta.: a) oj = 7, m b) N = 165 años Datos Cifas significativas: Peíodo de otación de la iea alededo del Sol = 1 año = 3, 10 7 s Radio de la óbita teeste o = 1, m Peíodo de otación de Júpite alededo del Sol J = 1 años = 3, s Radio de la óbita de Neptuno on = 4, m Incógnitas Radio de la óbita de Júpite oj Peíodo del movimiento obital de Neptuno N Ecuaciones 3ª ley de Keple Solución: 1 = a) La 3ª ley de Keple dice que los cuadados de los peíodos de evolución de los planetas alededo del Sol son diectamente popocionales a los cubos de los adios R de las óbitas (apoximadamente ciculaes). Aplicando esto a la iea y a Júpite (1 [año]) (1, [ m]) =(1 [años ]) 3 3 oj oj =1, [ m] 3 1 =7, m Análisis: El esultado está compendido ente las distancias Sol-iea y Sol-Neptuno: ( o = 1, m) < ( oj = 7, m) < ( on = 4, m) b) Aplicando la misma ley ente la iea y Neptuno (1 [año]) (1, [ m]) 3= N (4, [ m]) 3 N =1 [año] 30 3 =1,6 10 años Análisis: El peíodo calculado de Neptuno sale mayo que el de Júpite: ( N = 1,6 10 años) > ( J = 1 años). La distancia iea-luna es apoximadamente 60 R, siendo R el adio de la iea, igual a km. Calcula: a) La velocidad lineal de la Luna en su movimiento alededo de la iea. b) El coespondiente peíodo de otación en días. Datos. G = 6, N m kg - ; masa de la iea: M = 5, kg (P.A.U. Set. 96) Rta.: a) v = 1, m/s; b) = 7 días

4 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 4 Datos Cifas significativas: Radio de la iea R = km = 6, m Radio de la óbita (= distancia del cento de la Luna al cento de la iea) = 60 R = 3, m Constante de la gavitación univesal G = 6, N m kg Masa de la iea M = 5, kg Incógnitas Valo de la velocidad de la Luna en su óbita alededo de la iea. v Peíodo de otación de la Luna alededo de la iea Otos símbolos Masa de la Luna m L Ecuaciones Ley de Newton de la gavitación univesal F (aplicada a la fueza que ejece la iea esféica sobe la Luna puntual) G =G M m L Aceleación nomal (en un movimiento cicula de adio ) a N = v ª ley de Newton de la Dinámica F = m a Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Solución: Como la única fueza sobe la Luna que actúa es la fueza gavitatoia que ejece la iea, F = F G Luna F G iea m L a = F G la Luna descibe una tayectoia apoximadamente cicula con velocidad de valo constante, po lo que la aceleación sólo tiene componente nomal a N, v m L =G M m L Despejando la velocidad v y sustituyendo los datos, v= G M = 6, [ N m kg ] 5, [kg] =1, m/s=1,0 km/s 3, [ m] Análisis: El valo de la velocidad de la Luna no tiene una efeencia sencilla, sólo del oden de magnitud. Se espea que un objeto que se mueva alededo de la iea tenga una velocidad de algunos km/s. El esultado de 1,0 km/s está dento del oden de magnitud. En el enunciado se dice que la distancia iea-luna es apoximadamente 60 R, po lo que el esultado tiene que se necesaiamente apoximado. No tiene sentido da más de dos cifas significativas. b) Despejando el peíodo,, de la expesión de la velocidad del M.C.U. = π = π 3,8 108 [ m] v 1, [ m/s] =,4 106 s=7 días Análisis: El peíodo de la Luna es de unos 8 días. El valo obtenido, 7 días, es azonable. 3. Se desea pone en óbita un satélite atificial a una altua de 300 km de la supeficie teeste. Calcula: a) La velocidad obital que se le ha de comunica al satélite. b) El peíodo de otación. Datos: G = 6, N m kg - ; R = 6, m; M = 5, kg (P.A.U. Jun. 99) Rta.: a) v o = 7,73 km/s; b) = 1,50 hoas

5 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 5 Datos Cifas significativas: 3 Radio de la iea R = 6, m Altua de la óbita h = 300 km = 3, m Constante de la gavitación univesal G = 6, N m kg Masa de la iea M = 5, kg Incógnitas Valo de la velocidad del satélite en su óbita alededo de la iea. v Peíodo de otación del satélite alededo de la iea Otos símbolos Masa del satélite m Radio de la óbita del satélite (= distancia del satélite al cento de la iea) Ecuaciones Ley de Newton de la gavitación univesal F (aplicada a la fueza que ejece la iea esféica sobe el satélite puntual) G =G M m Aceleación nomal (en un movimiento cicula de adio ) a N = v ª ley de Newton de la Dinámica F = m a Velocidad en un movimiento cicula unifome (M.C.U.) v= π Radio de la óbita = R + h Solución: El adio de la óbita vale: = R + h = 6, [m] + 3, [m] = 6, m Como la única fueza que actúa sobe el satélite es la fueza gavitatoia que ejece la iea, F G = R +h F = F G m a = F G Suponiendo que el satélite descibe una tayectoia apoximadamente cicula con velocidad de valo constante, la aceleación sólo tiene componente nomal a N, m v =G M m Despejando la velocidad v y sustituyendo los datos, v= G M = 6, [ N m kg ] 5, [kg] =7, m/s=7,73 km/s 6, [m] Análisis: Se espea que un objeto que se mueva alededo de la iea tenga una velocidad de algunos km/s. El esultado de 7,73 km/s está dento del oden de magnitud. b) Despejando el peíodo,, de la expesión de la velocidad del M.C.U. = π = π6, [m] v 7, [m/ s] =5,4 103 s=1 h30 min Análisis: El peíodo de un satélite en óbita baja es de hoa y media. El valo obtenido coincide. 4. Euopa, satélite de Júpite, fue descubieto po Galileo en Sabiendo que el adio de la óbita que descibe es de 6, km y su peíodo de 3 días, 13 hoas y 13 minutos, calcula: a) La velocidad de Euopa elativa a Júpite.

6 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 6 b) La masa de Júpite. Datos. G = 6, N m kg - (P.A.U. Set. 97) Rta.: a) v = 1, m/s; b) M J = 1, kg Datos Cifas significativas: Radio de la óbita y distancia del cento de Euopa al cento de Júpite = 6, km = 6, m Peíodo de otación de Euopa en la óbita alededo de Júpite = 3 d 13h 13 min = 3, s Constante de la gavitación univesal G = 6, N m kg Incógnitas Valo de la velocidad de Euopa en la óbita alededo de Júpite v Masa de Júpite M Otos símbolos Masa de Euopa m Ecuaciones Ley de Newton de la gavitación univesal F (aplicada a la fueza que ejece Júpite esféica sobe Euopa puntual) G =G M m J Aceleación nomal (en un movimiento cicula de adio ) a N = v ª ley de Newton de la Dinámica F = m a Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Solución: a) v= π = π 6,7 108 [m] =1, m/s 3, [s] Euopa F G Júpite b) Como la única fueza que actúa sobe Euopa es la fueza gavitatoia que ejece Júpite F = F G m a = F G Suponemos que Euopa descibe una tayectoia apoximadamente cicula con velocidad de valo constante, po lo que la aceleación sólo tiene componente nomal a N, Despejando la masa M de Júpite: m v =G M m M = v [ m/s]) 6, [ m] G =(1, , [N m =1, kg kg ] Análisis: Este esultado tiene sentido ya que la masa de Júpite es mucho mayo que la de la iea ( kg) peo mucho meno que la del Sol ( kg) 5. La luz del Sol tada 5 10 s en llega a la iea y, s en llega a Júpite. Calcula: a) El peíodo de Júpite obitando alededo del Sol. b) La velocidad obital de Júpite. c) La masa del Sol. Datos: iea alededo del Sol: 3, s; c = m/s; G = 6, N m kg-. (Se suponen las óbitas ciculaes) (P.A.U. Set. 1) Rta.: a) J = 3, s; v = 1, m/s; b) M =, kg

7 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 7 Datos Cifas significativas: 3 iempo que tada la luz del Sol en llega a la iea t = 5,00 10 s = 500 s iempo que tada la luz del Sol en llega a Júpite t J =, s Peíodo obital de la iea alededo del Sol = 3, s Velocidad de la luz c = 3, m/s Constante de la gavitación univesal G = 6, N m kg Incógnitas Peíodo obital de Júpite J Velocidad obital de Júpite v Masa del Sol M Otos símbolos Masa de Júpite o la iea m Distancia de un planeta al Sol Ecuaciones Ley de Newton de la gavitación univesal F (aplicada a la fueza que ejece el Sol esféico sobe un planeta puntual) G =G M m S Aceleación nomal (en un movimiento cicula de adio ) a N = v ª ley de Newton de la Dinámica F = m a Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Solución: c) Pimeo se calculan las distancias de la iea al Sol y de Júpite al Sol, teniendo en cuenta la velocidad de la luz. La velocidad, v, de la iea alededo del Sol es = c t = 3, [m/s] 5,00 10 [s] = 1, m J = c t J = 3, [m/s], [s] = 7, m v = π = π 1, [m] =, m/s 3, [s] Como la única fueza que actúa sobe la iea es la fueza gavitatoia que ejece el Sol F = F G m a = F G Suponemos que la iea descibe una tayectoia cicula con velocidad de valo constante, po lo que la aceleación sólo tiene componente nomal a N, Despejando la masa M del Sol: m v =G M m M S = v [ m/s]) 1, [ m] G =(, , [N m =, kg kg ] b) Aplicando la ecuación anteio paa calcula la velocidad de Júpite, v= G M J = 6, [N m kg ], [kg] =1, m/ s=13,1 km /s 7, [ m] a) El peíodo se calcula a pati de la velocidad: J = π J v = π 7, [ m] =3, s 1, [m/ s]

8 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 8 Análisis: La tecea ley de Keple dice que los cuadados de los peíodos son diectamente popocionales a los cubos de los adiovectoes que unen al Sol con los planetas. A mayo distancia al Sol, mayo peíodo. Si se hubiese aplicado este método, daía J = 3 J 3 =3, [s] (7, [m]) 3 s (1, [m]) 3=3, La meno velocidad de gio de un satélite en la iea, conocida como pimea velocidad cósmica, es la que se obtendía paa un adio obital igual al adio teeste R. Calcula: a) La pimea velocidad cósmica. b) El peíodo de evolución coespondiente. Datos: G = 6, N m kg - ; R = 6, m; M = 5, kg (P.A.U. Jun. 98) Rta.: a) v 1 = 7,91 km/s; b) = 1 h 4 min. Datos Cifas significativas: 3 Radio de la iea R = 6, m Radio de la óbita, y también la distancia del satélite al cento de la iea = R = 6, m Constante de la gavitación univesal G = 6, N m kg Masa de la iea M = 5, kg Incógnitas Pimea velocidad cósmica o el valo de la velocidad del satélite en su óbita v asante alededo de la iea Peíodo de otación del satélite alededo de la iea Otos símbolos Masa del satélite m Ecuaciones Ley de Newton de la gavitación univesal F (aplicada a la fueza que ejece la iea esféica sobe el satélite puntual) G =G M m Aceleación nomal (en un movimiento cicula de adio ) a N = v ª ley de Newton de la Dinámica F = m a Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Solución: Como la única fueza que actúa sobe el satélite es la fueza gavitatoia que ejece la iea, F = F G F G ób = R m a = F G El satélite descibe una tayectoia apoximadamente cicula con velocidad de valo constante, po lo que la aceleación sólo tiene componente nomal a N, m v =G M m Despejando la velocidad v y sustituyendo los datos, v= G M = 6, [N m kg ] 5, [kg] =7, m/s=7,91 km/s 6, [m] b) Despejando el peíodo,, de la expesión de la velocidad del M.C.U. = π v = π R = π 6, [m] v 7, [ m/s] =5, s =1 h 4 min

9 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 9 Análisis: El peíodo de un satélite en óbita baja es de hoa y media. El valo obtenido coincide apoximadamente. 7. Un satélite atificial con una masa de 00 kg se mueve en una óbita cicula a m sobe la supeficie teeste. a) Qué fueza gavitatoia actúa sobe el satélite? b) Cuál es el peíodo de otación del satélite? Datos: g 0 = 9,81 m/s ;R = km (P.A.U. Jun. 00) Rta.: a) F = 5,1 N; b) = 37,0 hoas Datos Cifas significativas: 3 Radio de la iea R = km = 6, m Altua de la óbita h = 5, m Aceleación de la gavedad en la supeficie de la iea g 0 = 9,81 m/s Masa del satélite m = 00 kg Incógnitas Fueza gavitatoia que actúa sobe el satélite F G Peíodo de otación del satélite alededo de la iea Otos símbolos Masa de la iea M Valo de la velocidad del satélite en la óbita alededo de la iea v Constante de la gavitación univesal G Radio de la óbita Ecuaciones Ley de Newton de la gavitación univesal F (aplicada a la fueza que ejece la iea esféica sobe el satélite puntual) G =G M m Aceleación nomal (en un movimiento cicula de adio ) a N = v ª ley de Newton de la Dinámica F = m a Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Solución: a) El adio de la óbita vale: = R + h = 6, [m] + 5, [m] = 5, m Como no se tienen los datos de la constante de la gavitación univesal ni de la masa de la iea, habá que tene en cuenta que en la supeficie de la iea, el peso de un cuepo mg 0 es igual a la fueza gavitatoia m g 0 =G M m R satélite F G R h iea G M = g 0 R Po tanto, sustituyendo G M po g 0 R, en la expesión de la fueza, F G =G M m = g R m 0 = 9,81 [ m/s ](6, [ m]) 00 [ kg] =5,1 N ób (5, [ m]) (Si no se suponen tes cifas significativas paa la altua, el esultado debeía se F G = 3 dan)

10 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 10 Análisis: El peso disminuye con la altua siendo invesamente popocional al cuadado de la distancia al cento de la iea. A una distancia 10 R, el peso debeía se unas 100 veces meno que en el suelo m g 0 = N. b) Como la única fueza que actúa sobe el satélite es la fueza gavitatoia que ejece la iea, F = F G m a = F G El satélite descibe una tayectoia apoximadamente cicula con velocidad de valo constante, po lo que la aceleación sólo tiene componente nomal a N, m v v= G M =G M m = g 0 R = π = g 0 R = 3 ób g 0 R (5, [ m]) 3 =π s=37,0 hoas 9,81 [ m/s ](6, [m]) =1, (Si no se suponen tes cifas significativas paa la altua, el esultado debeía se días) Análisis: Po la tecea ley de Keple, también aplicable a satélites que gian alededo de un asto, los cuadados de los peíodos son diectamente popocionales a los cubos de los semiejes mayoes de las elipses, o, si las tayectoias son ciculaes, a los adios de las óbitas. El peíodo de la Luna, que está a unos 60 R es de 8 días. El de este satélite, que está a unos 10 R seía de 1 15 veces meno días Un satélite atificial descibe una óbita cicula de adio R en tono a la iea. Calcula: a) La velocidad obital. b) El peso del satélite en la óbita si en la supeficie de la iea pesa N (Dibuja las fuezas que actúan sobe el satélite) Datos: R = km; G = 6, N m kg - ; g 0 = 9,8 m / s (P.A.U. Jun. 0) Rta.: a) v = 5,6 km/s; b) P h = 1,5 kn Datos Cifas significativas: 3 Radio de la iea R = km = 6, m Radio de la óbita = R = 1, m Aceleación de la gavedad en la supeficie de la iea g 0 = 9,80 m/s Peso del satélite en la supeficie de la iea P = N = 5, N Constante de la gavitación univesal G = 6, N m kg Incógnitas Valo de la velocidad del satélite en su óbita alededo de la iea. v Peso del satélite en la óbita P h Otos símbolos Masa de la iea M Masa del satélite m

11 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 11 Ecuaciones Ley de Newton de la gavitación univesal (aplicada a la fueza que ejece la iea esféica sobe el satélite puntual) Aceleación nomal (en un movimiento cicula de adio ) F G =G M m a N = v ª ley de Newton de la Dinámica F = m a Solución: a) Como la única fueza que actúa sobe el satélite es la fueza gavitatoia que ejece la iea, (véase la figua) F = F G F G = R R m a = F G el satélite descibe una tayectoia apoximadamente cicula con velocidad de valo constante, po lo que la aceleación sólo tiene componente nomal a N, m v =G M m Como no se tienen los datos de la constante de la gavitación univesal ni de la masa de la iea, habá que tene en cuenta que en la supeficie de la iea, el peso de un cuepo mg 0 es igual a la fueza gavitatoia v= G M = g 0 R = g 0 R R = g 0 R m g 0 =G M m R G M = g 0 R = 9,80 [m/ s ] 6, [m] =5, m/s=5,60 km /s Análisis: Se espea que un objeto que se mueva alededo de la iea tenga una velocidad de algunos km/s. El esultado de 5,60 km/s está dento del oden de magnitud. b) La única fueza que actúa sobe el satélite es su peso, o sea, la atacción gavitatoia de la iea. Po la ley de Newton de la gavitación univesal En la supeficie de la iea: En la óbita de adio : Dividiendo, P h G M m = P G M m R P =G M m R P h =G M m = R = R R = 1 = 1 4 P h = (5, [N]) / 4 = 1, N = 1,5 kn Análisis: El peso disminuye con la altua siendo invesamente popocional al cuadado de la distancia al cento de la iea. A una distancia = R, el peso debeía se 4 veces meno que en la supeficie.

12 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 1 9. Un astonauta de 75 kg gia alededo de la iea (dento de un satélite atificial) en una óbita situada a km sobe la supeficie de la iea. Calcula: a) La velocidad obital y el peíodo de otación. b) El peso del astonauta en esa óbita. Datos: g 0 = 9,80 m/s ; R = km (P.A.U. Set. 0) Rta.: a) v = 4, m/s; =, s; b) P h = 1,1 10 N Datos Cifas significativas: 3 Radio de la iea R = km = 6, m Altua de la óbita h = km = 1, m Aceleación de la gavedad en la supeficie de la iea g 0 = 9,80 m/s Masa del astonauta m = 75,0 kg Incógnitas Valo de la velocidad del satélite en su óbita alededo de la iea v Peíodo de otación del satélite alededo de la iea Peso del astonauta en la óbita P h Otos símbolos Constante de la gavitación univesal G Masa de la iea M Ecuaciones Ley de Newton de la gavitación univesal (aplicada a la fueza que ejece la iea esféica sobe el satélite puntual) F G =G M m Aceleación nomal (en un movimiento cicula de adio ) a N = v ª ley de Newton de la Dinámica F = m a Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Solución: a) El adio de la óbita vale: = R + h = 6, [m] + 1, [m] = 1, m Como la única fueza que actúa sobe el satélite es la fueza gavitatoia que ejece la iea, F = F G m a = F G El satélite descibe una tayectoia apoximadamente cicula con velocidad de valo constante, po lo que la aceleación sólo tiene componente nomal a N, m v =G M m Como no se tienen los datos de la constante de la gavitación univesal ni de la masa de la iea, habá que tene en cuenta que en la supeficie de la iea, el peso de un cuepo m g 0 es igual a la fueza gavitatoia v= G M = g 0 R m g 0 =G M m R G M = g 0 R = 9,80 [ m/s ] (6, [ m]) =4, m/s=4,95 km/ s 1, [m] Análisis: Se espea que un objeto que se mueva alededo de la iea tenga una velocidad de algunos km/s. El esultado de 4,95 km/s está dento del oden de magnitud. Despejando el peíodo,, de la expesión de la velocidad del M.C.U.

13 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 13 = π = π 1, [ m] v 4, [ m/s] =, s=5 h 47 min Análisis: El peíodo de un satélite en óbita baja ( km) es de hoa y media. El valo obtenido es mayo, poque la altua de la óbita km también lo es. b) La única fueza que actúa sobe el astonauta es su peso, o sea, la atacción gavitatoia de la iea. Po la ley de Newton de la gavitación univesal, en la óbita de adio : P h =G M m = g R m 0 = 9,80 [m/ s ] (6, [m]) 75,0[kg] =11 N ób (1, [ m]) Análisis: El peso disminuye con la altua siendo invesamente popocional al cuadado de la distancia al cento de la iea. A una distancia,5 R, el peso debeía se unas 6 veces meno que en la supeficie m g 0 = 735 N. 10. Un satélite atificial de 64,5 kg gia alededo de la iea en una óbita cicula de adio R =,3 R. Calcula: a) El peíodo de otación del satélite. b) El peso del satélite en la óbita. Datos: g 0 = 9,80 m/s ; R = km (P.A.U. Jun. 05) Rta.: a) = 4 h 58 min.; b) P h = 117 N Datos Cifas significativas: 3 Radio de la iea R = km = 6, m Radio de la óbita =,3 R = 1, m Aceleación de la gavedad en la supeficie de la iea g 0 = 9,80 m/s Masa del satélite m = 64,5 kg Incógnitas Peíodo de otación del satélite alededo de la iea Peso del satélite en la óbita = fueza gavitatoia que actúa sobe el satélite P h Otos símbolos Masa de la iea M Valo de la velocidad del satélite en la óbita alededo de la iea v Constante de la gavitación univesal G Ecuaciones Ley de Newton de la gavitación univesal F (aplicada a la fueza que ejece la iea esféica sobe un satélite puntual) G =G M m Aceleación nomal (en un movimiento cicula de adio ) a N = v ª ley de Newton de la Dinámica F = m a Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Solución: El adio de la óbita vale: =,3 R = 1, m

14 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 14 Como no se tienen los datos de la constante de la gavitación univesal ni de la masa de la iea, habá que tene en cuenta que en la supeficie de la iea, el peso de un cuepo mg 0 es igual a la fueza gavitatoia m g 0 =G M m R G M = g 0 R a) Como la única fueza que actúa sobe el satélite es la fueza gavitatoia que ejece a iea, F = F G satélite F G R h iea m a = F G El satélite descibe una tayectoia apoximadamente cicula con velocidad de valo constante, po lo que la aceleación sólo tiene componente nomal a N, m v =G M m Despejando la velocidad y escibiendo su elación con el peíodo v= G M que queda De la que se despeja el peíodo = g 0 R = π = g 0 R = 3 ób g 0 R (1, [m]) 3 =π 9,80 [ m/s ](6, [m]) =1, s=4 h 58 min Análisis: Po la tecea ley de Keple, también aplicable a satélites que gian alededo de un asto, los cuadados de los peíodos son diectamente popocionales a los cubos de los semiejes mayoes de las elipses, o, si las tayectoias son ciculaes, a los adios de las óbitas. El peíodo de la Luna, que está a unos 60 R es de 8 días. El de este satélite, que está a unos,4 R (5 veces meno) seía de 1 15 veces 3 5 meno 0,5 días 6 hoas. b) Sustituyendo G M po g 0 R, en la expesión de la fueza gavitatoia, (peso) P h =F G =G M m = g R m 0 = 9,80 [ m/s ](6, [m]) 64,5 [ kg] =117 N ób (1, [m]) Análisis: El peso disminuye con la altua, siendo invesamente popocional al cuadado de la distancia al cento de la iea. A una distancia,4 R, el peso debeía se unas,4 = 6 veces meno que en el suelo mg 0 = 63 N, o sea unos 100 N. 11. Un satélite atificial de 100 kg descibe óbitas ciculaes a una altua de km sobe la supeficie de la iea. Calcula:

15 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 15 a) El tiempo que tada en da una vuelta completa. b) El peso del satélite a esa altua. Datos: g 0 = 9,80 m/s ; R = km (P.A.U. Jun. 06) Rta.: a) = 3 h 48 min.; b) P h = 61 N Datos Cifas significativas: 3 Radio de la iea R = km = 6, m Altua de la óbita h = km = 6, m Aceleación de la gavedad en la supeficie de la iea g 0 = 9,80 m/s Masa del satélite m = 100 kg Incógnitas iempo que tada en da una vuelta completa Peso del satélite a esa altua P h Otos símbolos Masa de la iea M Valo de la velocidad del satélite en la óbita alededo de la iea v Constante de la gavitación univesal G Radio de la óbita Ecuaciones Ley de Newton de la gavitación univesal F (aplicada a la fueza que ejece la iea esféica sobe un satélite puntual) G =G M m Aceleación nomal (en un movimiento cicula de adio ) a N = v ª ley de Newton de la Dinámica F = m a Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Solución: El adio de la óbita vale: = R + h = 6, [m] + 6, [m] = 1, m h Como no se tienen los datos de la constante de la gavitación univesal ni de la masa de la iea, habá que tene en cuenta que en la supeficie de la iea, el peso de un cuepo mg 0 es igual a la fueza gavitatoia satélite F G R iea m g 0 =G M m R G M = g 0 R = 4, m 3 /s a) Como la única fueza que actúa sobe el satélite es la fueza gavitatoia que ejece a iea, F = F G m a = F G El satélite descibe una tayectoia apoximadamente cicula con velocidad de valo constante, po lo que la aceleación sólo tiene componente nomal a N, Despejando la velocidad v= G M = g 0 R m v =G M m = 4, [m 3 /s ] =5, m/ s 1, [m]

16 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 16 y teniendo en cuenta su elación con el peíodo queda el peíodo v= π = π = π 1,4 107 [m] v 5, [m/ s] =1, s=3 h 48 min Análisis: Po la ley de Keple, también aplicable a satélites que gian alededo de un asto, los cuadados de los peíodos son diectamente popocionales a los cubos de los semiejes mayoes de las elipses, o, si las tayectoias son ciculaes, a los adios de las óbitas. El peíodo de un satélite de óbita baja (h = 400 km) es de hoa y media. El adio de la óbita de este satélite es apoximadamente el doble, po lo que el peíodo debeía se 3 3 veces mayo, de unas cuato hoas y media. b) Sustituyendo G M po g 0 R, en la expesión de la fueza gavitatoia, (peso) P h =F G =G M m = g R m 0 = 4, [m 3 /s ] 100 [kg] =61 N ób (1, [m]) Análisis: El peso disminuye con la altua, siendo invesamente popocional al cuadado de la distancia al cento de la iea. A una distancia R, el peso debeía se unas = 4 veces meno que en el suelo m g 0 = 980 N, o sea unos 50 N. 1. Un satélite atificial de 500 kg descibe una óbita cicula alededo de la iea con un adio de 10 4 km. Calcula: a) La velocidad obital y el peíodo. b) La enegía mecánica y la potencial. c) Si po ficción se piede algo de enegía, qué le ocue al adio y a la velocidad? Datos g 0 = 9,8 m s - ; R = km (P.A.U. Set. 10) Rta.: a) v = 4,5 km/s; = 7,8 h; b) E = -5, J; E p = -9, J Datos Cifas significativas: 3 Masa del satélite m = 500 kg Radio de la óbita =, km =, m Aceleación de la gavedad en la supeficie de la iea g 0 = 9,80 m/s Radio de la iea R = km = 6, m Incógnitas Valo de la velocidad del satélite en su óbita alededo de la iea v Peíodo obital del satélite Enegía mecánica del satélite en óbita E Enegía potencial del satélite en óbita E p Otos símbolos Masa de la iea M Constante de la gavitación univesal G Ecuaciones Ley de Newton de la gavitación univesal F (aplicada a la fueza que ejece la iea esféica sobe el satélite puntual) G =G M m Aceleación nomal (en un movimiento cicula de adio ) a N = v ª ley de Newton de la Dinámica F = m a Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Enegía cinética E c = ½ m v

17 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 17 Ecuaciones Enegía potencial gavitatoia (efeida al infinito) Enegía mecánica E p = G M m E = E c + E p Solución: a) Como la única fueza sobe del satélite a tene en cuenta es la fueza gavitatoia que ejece la iea, F = F G m a = F G El satélite descibe una tayectoia apoximadamente cicula con velocidad de valo constante, po lo que la aceleación sólo tiene componente nomal a N, m v =G M m Como no se tienen los datos de la constante de la gavitación univesal ni de la masa de la iea, habá que tene en cuenta que en la supeficie de la iea, el peso de un cuepo m g 0 es igual a la fueza gavitatoia v= G M = g 0 R m g 0 =G M m R G M = g 0 R = 9,80 [m/s ] (6, [m]) =4, m/s=4,46 km /s, [ m] Análisis: Se espea que un objeto que se mueva alededo de la iea tenga una velocidad de algunos km/s. El esultado de 4,46 km/s está dento del oden de magnitud. El peíodo obital del satélite es el del movimiento cicula unifome de velocidad 4, m/s. Despejando el peíodo,, de la expesión de la velocidad del M.C.U. = π = π, [ m] v 4, [ m/s] =,8 104 s=7 h 50 min b) La enegía mecánica es la suma de las enegías cinética y potencial. La enegía potencial viene dada po: E p = G M m y la enegía cinética = g 0 R po lo que la enegía mecánica valdá m = 9,80 [ m/s ] (6, [m]) 500 [ kg] = 9, J, [ m] E c = ½ m v = [500 [kg] (4, [m/s]) ] / = 4, J E = E c + E p = 4, [J] + (-9, [J]) = -4, J Análisis: puede compobase que la enegía potencial vale el doble que la enegía cinética, peo es negativa po se un sistema ligado. La enegía mecánica vale lo mismo que la enegía cinética, peo es negativa. c) La enegía mecánica se puede expesa en función del adio de la óbita. Ya vimos antes que m v =G M m Despejando y sustituyendo m v ób en la expesión de la enegía mecánica, quedaía

18 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 18 E=E c +E p = 1 m v ób G M m = 1 G M m G M m = 1 G M m Si disminuye la enegía mecánica, (es más negativa), el adio de la óbita también se hace más pequeño, po lo que el satélite se aceca a la supeficie de la iea. La velocidad, po el contaio, aumentaá, pues su elación con el adio puede obtenese de la ecuación anteio: m v =G M m v= G M y cuanto más pequeño es el adio de la óbita más gande es su velocidad. Análisis: Es lo mismo que le ocue a cualquie cuepo que se mueve ceca de la supeficie de la iea. Al pede enegía piede altua, y cae hacia el suelo, ganando velocidad. 13. Se desea pone en óbita un satélite de kg que gie a azón de 1,5 vueltas po día. Calcula: a) El peíodo del satélite. b) La distancia del satélite a la supeficie teeste. c) La enegía cinética del satélite en esa óbita. Datos: G = 6, N m kg - ; R = km; M = 5, kg (P.A.U. Set. 09) Rta.: a) = 1,9 h b) h = km c) E C = 4, J Datos Cifas significativas: 3 Radio de la iea R = km = 6, m Fecuencia de gio del satélite en la óbita alededo de la iea. f = 1,5 vueltas/día = 1, Hz Constante de la gavitación univesal G = 6, N m kg Masa de la iea M = 5, kg Masa del satélite m = kg Incógnitas Peíodo del satélite Distancia del satélite a la supeficie teeste (altua de óbita) h Enegía cinética del satélite en la óbita E C Otos símbolos Radio de la óbita Ecuaciones Ley de Newton de la gavitación univesal (aplicada a la fueza que ejece la iea esféica sobe el satélite puntual) G =G M m F Aceleación nomal (en un movimiento cicula de adio ) a N = v ª ley de Newton de la Dinámica F = m a Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Enegía cinética E C = ½ m v Solución: a) El peíodo es la invesa de la fecuencia: = 1 f = 1 1, [Hz ] =6, s=1,9 h b) Como la única fueza sobe del satélite a tene en cuenta es la fueza gavitatoia que ejece la iea, F = F G

19 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 19 m a = F G El satélite descibe una tayectoia apoximadamente cicula con velocidad de valo constante, po lo que la aceleación sólo tiene componente nomal a N, m v =G M m v =G M 4 =G M = 3 G M = 3 6, [ N m kg ] 5, [kg] (6, [s]) =7, m 4 π 4 π La altua seá: h = R = 7, [m] - 6, [m] = 1, m = km c) La velocidad del satélite en su óbita es: La enegía cinética es: v= π = π 7, [m] =7, m/ s 6, [s] E c = ½ m v = [1, [kg] (7, [m/s]) ] / = 4, J 14. Un satélite atificial con una masa de 00 kg se mueve en una óbita cicula alededo de la iea con una velocidad constante de km/h. Calcula: a) A qué altua está situado? b) Haz un gáfico indicando qué fuezas actúan sobe el satélite y calcula la enegía total. Datos: g 0 = 9,8 m/s ; R = km (P.A.U. Set. 01) Rta.: a) h = 3, m; b) E = -9, J Datos Cifas significativas: 3 Radio de la iea R = km = 6, m Valo de la velocidad del satélite en la óbita alededo de la iea. v = km/h = 3, m/s Aceleación de la gavedad en la supeficie de la iea g 0 = 9,80 m/s Masa del satélite m = 00 kg Incógnitas Altua de óbita h Enegía (mecánica) total del satélite en óbita E Otos símbolos Constante de la gavitación univesal G Masa de la iea M Radio de la óbita Ecuaciones Ley de Newton de la gavitación univesal (aplicada a la fueza que ejece la iea esféica sobe el satélite puntual) F G=G M m Aceleación nomal (en un movimiento cicula de adio ) a N = v ª ley de Newton de la Dinámica F = m a Enegía cinética E c = ½ m v Enegía potencial gavitatoia (efeida al infinito) E p = G M m

20 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 0 Solución: a) Como la única fueza que actúa sobe el satélite es la fueza gavitatoia que ejece la iea, F = F G satélite h m a = F G El satélite descibe una tayectoia apoximadamente cicula con velocidad de valo constante, po lo que la aceleación sólo tiene componente nomal a N, m v =G M m Como no se tienen los datos de la constante de la gavitación univesal ni de la masa de la iea, habá que tene en cuenta que en la supeficie de la iea, el peso de un cuepo mg 0 es igual a la fueza gavitatoia m g 0 =G M m R F G R iea La altua seá: = G M v = g R 0 G M = g 0 R = 9,80 [m/ s ] (6, [ m]) =4, m v 3, [ m/s] h = R = 4, [m] 6, [m] = 3, m Análisis: Una altua del oden de 6 R no paece un esultado acode con la pegunta. Peo al epasa los cálculos no se encuentan eoes. b) La enegía (mecánica) total es la suma de las enegías cinética y potencial: E=E c +E p = 1 m v ób+( G M m ) = 1 mv ób g R 0 m E= 1 00 [ kg](3, [m/ s]) 9,80 [ m/s ] (6, [ m]) 00 [kg] = 9, J 4, [ m] 15. Se desea pone en óbita un satélite geoestacionaio de 5 kg. Calcula: a) El adio de la óbita. b) Las enegías cinética, potencial y total del satélite en la óbita. Datos. G = 6, N m kg - ; M = 5, kg (P.A.U. Set. 00) Rta.: a) = 4, m; b) E c = 1, J; E p = -, J; E = -1, J Datos Cifas significativas: 3 Satélite geoestacionaio (peíodo igual al de la iea) = 4 h = 8, s Constante de la gavitación univesal G = 6, N m kg Masa de la iea M = 5, kg Masa del satélite m = 5,0 kg Incógnitas Radio de la óbita Enegías cinética, potencial y total del satélite en óbita E c, E p, E Otos símbolos Valo de la velocidad del satélite en la óbita geoestacionaia v

21 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 1 Ecuaciones Ley de Newton de la gavitación univesal (aplicada a la fueza que ejece la iea esféica sobe el satélite puntual) F G =G M m Aceleación nomal (en un movimiento cicula de adio ) a N = v ª ley de Newton de la Dinámica F = m a Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Enegía cinética E c = ½ m v Enegía potencial gavitatoia (efeida al infinito) Solución: E p = G M m a) Como la única fueza que actúa sobe el satélite es la fueza gavitatoia que ejece la iea, F = F G m a = F G El satélite descibe una tayectoia apoximadamente cicula con velocidad de valo constante, po lo que la aceleación sólo tiene componente nomal a N, m v =G M m v =G M 4 =G M = 3 G M = 3 6, [ N m kg ] 5, [kg](8, [s]) =4, m 4π 4 π b) De la ecuación de v en función del adio de la óbita, se puede escibi paa la enegía cinética E c = 1 mv = 1 G M m E p = G M m = 6, [ N m kg ] 5, [kg] 5,0 [ kg] =1, J 4, [ m] = 6, [ N m kg ] 5, [kg] 5,0[ kg] =, J 4, [ m] La enegía (mecánica) total es la suma de las enegías cinética y potencial: E = E c + E p = 1, [J], [J] = 1, J Análisis: Puede compobase que la enegía potencial vale el doble que la enegía cinética, peo es negativa po se un sistema ligado. La enegía mecánica vale lo mismo que la enegía cinética, peo es negativa. 16. Los satélites Meteosat son satélites geoestacionaios (situados sobe el ecuado teeste y con peíodo obital de un día). Calcula: a) La altua a la que se encuentan, especto a la supeficie teeste. b) La fueza ejecida sobe el satélite. c) La enegía mecánica. Datos: R = 6, m; M = 5, kg; m sat = 8 10 kg; G = 6, N m kg - (P.A.U. Set. 08) Rta.: a) h = 3, m; b) F = 179 N ; c) E c = 3, J; E p = -7, J; E = -3, J

22 Física P.A.U. GRAVIACIÓN Datos Cifas significativas: 3 Satélite geoestacionaio (peíodo igual al de la iea) = 4 h = 8, s Constante de la gavitación univesal G = 6, N m kg Masa de la iea M = 5, kg Masa del satélite m = 8,00 10 kg Radio de la iea R = 6, m Incógnitas Altua del satélite h Fueza sobe el satélite F Enegías cinética, potencial y total del satélite en óbita E c, E p, E Otos símbolos Radio de la óbita Valo de la velocidad del satélite en la óbita geoestacionaia v Ecuaciones Ley de Newton de la gavitación univesal F (aplicada a la fueza que ejece la iea esféica sobe el satélite puntual) G =G M m Aceleación nomal (en un movimiento cicula de adio ) a N = v ª ley de Newton de la Dinámica F = m a Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Enegía cinética E c = ½ m v Enegía potencial gavitatoia (efeida al infinito) Solución: E p = G M m a) Como la única fueza que actúa sobe el satélite es la fueza gavitatoia que ejece la iea, F = F G m a = F G El satélite descibe una tayectoia apoximadamente cicula con velocidad de valo constante, po lo que la aceleación sólo tiene componente nomal a N, m v =G M m v =G M = 3 G M = 3 6, [ N m kg ] 5, [kg ](8, [s]) =4, m 4π 4 π h = R = 4, , = 3, m b) La fueza que ejece la iea sobe el satélite es la gavitatoia. F G =G M m = 6, [N m kg ] 5, [ kg] 800 [kg] =179 N (4, [ m]) Análisis: El peso disminuye con la altua, siendo invesamente popocional al cuadado de la distancia al cento de la iea. A una distancia 7 R, el peso debeía se unas 7 50 veces meno que en el suelo mg N, o sea unos 160 N. c) De la ecuación de v en función del adio de la óbita, se puede escibi paa la enegía cinética

23 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 3 E c = 1 mv = 1 G M m E p = G M m = 6, [N m kg ] 5, [kg ] 800 [ kg] =3, J 4, [ m] = 6, [N m kg ] 5, [ kg] 800 [kg] = 7, J 4, [m] La enegía (mecánica) total es la suma de las enegías cinética y potencial: E = E c + E p = 3, [J] 7, [J] = -3, J Análisis: Puede compobase que la enegía potencial vale el doble que la enegía cinética, peo es negativa po se un sistema ligado. La enegía mecánica vale lo mismo que la enegía cinética, peo es negativa. 17. Un satélite atificial de 00 kg descibe una óbita cicula a una altua de 650 km sobe la iea. Calcula: a) El peiodo y la velocidad del satélite en la óbita. b) La enegía mecánica del satélite. c) El cociente ente los valoes de la intensidad de campo gavitatoio teeste en el satélite y en la supeficie de la iea. Datos: M = 5, kg; R = 6, m; G = 6, N m kg - (P.A.U. Set. 11) Rta.: a) v = 7,54 km/s; = 1 h 38 min; b) E = -5, J; c) g h / g 0 = 0,83 Datos Cifas significativas: 3 Masa del satélite m = 00 kg Altua de la óbita h = 650 km = 6, m Masa de la iea M = 5, kg Radio de la iea R = 6, m Constante de la gavitación univesal G = 6, N m kg Incógnitas Valo de la velocidad del satélite en su óbita alededo de la iea v Peíodo obital del satélite Enegía mecánica del satélite en óbita E Cociente ente los valoes de g en el satélite y en la supeficie de la iea. g h / g 0 Otos símbolos Masa de la iea M Constante de la gavitación univesal G Ecuaciones Ley de Newton de la gavitación univesal F (aplicada a la fueza que ejece la iea esféica sobe el satélite puntual) G =G M m Aceleación nomal (en un movimiento cicula de adio ) a N = v ª ley de Newton de la Dinámica F = m a Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Enegía cinética E c = ½ m v Enegía potencial gavitatoia (efeida al infinito) Enegía mecánica Intensidad del campo gavitatoio teeste a una distancia del cento Solución: E p = G M m E = E c + E p g= F G m =G M a) Como la única fueza sobe del satélite a tene en cuenta es la fueza gavitatoia que ejece la iea, F = F G m a = F G

24 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 4 El satélite descibe una tayectoia apoximadamente cicula de adio = R + h = 6, [m] + 6, [m] = 7, m con velocidad de valo constante, po lo que la aceleación sólo tiene componente nomal a N, v= G M m v =G M m = 6, [ N m kg ] 5, [kg] =7, m/ s=7,54 km/ s 7, [ m] Análisis: Se espea que un objeto que se mueva alededo de la iea tenga una velocidad de algunos km/s. El esultado está dento del oden de magnitud. El peíodo obital del satélite es el del movimiento cicula unifome de velocidad 4, m/s. Despejando el peíodo,, de la expesión de la velocidad del M.C.U. = π v = π 7,0 106 [m] =5, s=1 h 38 min 7, [m/s] b) La enegía mecánica es la suma de las enegías cinética y potencial. La enegía potencial viene dada po: E p = G M m y la enegía cinética po lo que la enegía mecánica valdá = 6, [N m kg ] 5, [kg] 00 [ kg] = 1, J 7, [m] E c = 1/ m v = [00 [kg] (7, [m/s]) ] / = 5, J E = E c + E p = 5, [J] + (- 1, [J]) = -5, J Análisis: puede compobase que la enegía potencial vale el doble que la enegía cinética, peo es negativa po se un sistema ligado. La enegía mecánica vale lo mismo que la enegía cinética, peo es negativa. c) La intensidad del campo gavitatoio en un punto que distan del cento de la iea es la fueza sobe la unidad de masa situada en ese punto. La gavedad a una altua h valdá: g= F G M m G m = m =G M En la supeficie de la iea vale: Dividiendo: g h R M g h =G ( R +h) g 0 =G M R [m]) = g 0 ( R +h) =(6, (7, [m]) =0, Un satélite atificial de 300 kg gia alededo de la iea en una óbita cicula de km de adio. Calcula:

25 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 5 a) La velocidad del satélite en la óbita. b) La enegía total del satélite en la óbita. Datos: g 0 = 9,80 m/s ; R = km (P.A.U. Jun. 03) Rta.: a) v = 3,31 km/s; b) E = -1, J Datos Cifas significativas: 4 Radio de la iea R = km = 6, m Radio de la óbita = km = 3, m Aceleación de la gavedad en la supeficie de la iea g 0 = 9,80 m/s Masa del satélite en la supeficie de la iea m = 300 kg Incógnitas Valo de la velocidad del satélite en su óbita alededo de la iea. v Enegía (mecánica) total del satélite en óbita E Otos símbolos Masa de la iea M Constante de la gavitación univesal G Ecuaciones Ley de Newton de la gavitación univesal (aplicada a la fueza que ejece la iea esféica sobe el satélite puntual) F G =G M m Aceleación nomal (en un movimiento cicula de adio ) a N = v ª ley de Newton de la Dinámica F = m a Enegía cinética E c = ½ m v Enegía potencial gavitatoia (efeida al infinito) Solución: E p = G M m a) Como la única fueza que actúa sobe el satélite es la fueza gavitatoia que ejece la iea, F = F G m a = F G El satélite descibe una tayectoia apoximadamente cicula con velocidad de valo constante, po lo que la aceleación sólo tiene componente nomal a N, m v =G M m Como no se tienen los datos de la constante de la gavitación univesal ni de la masa de la iea, habá que tene en cuenta que en la supeficie de la iea, el peso de un cuepo mg 0 es igual a la fueza gavitatoia v= G M = g 0 R m g 0 =G M m R G M = g 0 R = 9,80 [ m/s ] (6, [ m]) =3, m/s=3,31 km /s 3, [m] Análisis: Se espea que un objeto que se mueva alededo de la iea tenga una velocidad de algunos km/s. El esultado de 5,60 km/s está dento del oden de magnitud. b) La enegía (mecánica) total es la suma de las enegías cinética y potencial: E m =E c +E p = 1 mv ób+( G M m ) =1 m v ób g R 0 m

26 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 6 E= [ kg](3, [ m/s]) 9,80 [m/ s ] (6, [ m]) 300 [kg] 3, [m] = 1, J 19. Un satélite de 00 kg descibe una óbita cicula a 600 km sobe la supeficie teeste: a) Deduce la expesión de la velocidad obital. b) Calcula el peíodo de gio. c) Calcula la enegía mecánica. Datos: R = km; g 0 = 9,81 m/s (P.A.U. Jun. 13) Rta.: a) v= g 0 R ; b) = 1 h 37 min; b) E = -5, J Datos Cifas significativas: 3 Masa del satélite m = 00 kg Altua de la óbita h = 600 km = 6, m Radio de la iea R = km = 6, m Aceleación de la gavedad en la supeficie de la iea g 0 = 9,81 m/s Incógnitas Velocidad del satélite en su óbita alededo de la iea v Peíodo obital del satélite Enegía mecánica del satélite en óbita E Otos símbolos Masa de la iea M Constante de la gavitación univesal G Ecuaciones Ley de Newton de la gavitación univesal F (aplicada a la fueza que ejece la iea esféica sobe el satélite puntual) G =G M m Aceleación nomal (en un movimiento cicula de adio ) a N = v ª ley de Newton de la Dinámica F = m a Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Enegía cinética E c = ½ m v Enegía potencial gavitatoia (efeida al infinito) Enegía mecánica Solución: E p = G M m E = E c + E p a) Como la única fueza sobe del satélite a tene en cuenta es la fueza gavitatoia que ejece la iea, F = F G m a = F G El satélite descibe una tayectoia apoximadamente cicula de adio = R + h = 6, [m] + 6, [m] = 7, m con velocidad de valo constante, po lo que la aceleación sólo tiene componente nomal a N, Despejando la velocidad, queda m v =G M m v= G M

27 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 7 Como no se tienen los datos de la constante de la gavitación univesal ni de la masa de la iea, habá que tene en cuenta que en la supeficie de la iea el peso de un cuepo mg 0 es igual a la fueza gavitatoia m g 0 =G M m R G M = g 0 R Sustituyendo G M en la ecuación de la velocidad, queda v= = G M g 0 R = 9,81 [m/ s ] (6, [ m]) =7, m/s=7,58 km /s 7, [m] Análisis: Se espea que un satélite en óbita alededo de la iea tenga una velocidad de algunos km/s. El esultado está dento del oden de magnitud. Específicamente el enunciado del poblema no pide que se calcule la velocidad, peo mejo es calculala po si acaso. Además, se va a necesita en el cálculo del peíodo obital. b) El peíodo obital del satélite es el del movimiento cicula unifome de velocidad 7, m/s. Despejando el peíodo,, de la expesión de la velocidad del M.C.U. = π v = π 7, [m] =5, s=1 h 37 min 7, [ m/s] c) La enegía mecánica es la suma de las enegías cinética y potencial. La enegía potencial viene dada po: E p = G M m = g 0 R m = 9,81 [ m/s ] (6, [ m]) 00 [kg] = 1, J 7, [ m] y la enegía cinética E c = 1/ m v = [00 [kg] (7, [m/s]) ] / = 5, J po lo que la enegía mecánica valdá E = E c + E p = 5, [J] 1, [J] = -5, J Análisis: puede compobase que la enegía potencial vale el doble que la enegía cinética, peo es negativa po se un sistema ligado. La enegía mecánica vale lo mismo que la enegía cinética, peo es negativa. 0. Se desea pone un satélite de masa 10 3 kg en óbita alededo de la iea y a una altua dos veces el adio teeste. Calcula: a) La enegía que hay que comunicale desde la supeficie de la iea. b) La fueza centípeta necesaia paa que desciba la óbita. c) El peiodo del satélite en dicha óbita. Datos: R = km; g 0 = 9,8 m/s (P.A.U. Set. 13) Rta.: a) E = 5, J; b) F = 1, N; c) = 7 h 19 min Datos Cifas significativas: 3 Masa del satélite m = 10 3 kg = 1, kg Radio de la iea R = km = 6, m Altua de la óbita h = km = 1, m Aceleación de la gavedad en la supeficie de la iea g 0 = 9,80 m/s Incógnitas Enegía que hay que comunicale desde la supeficie de la iea E Fueza centípeta necesaia paa que desciba la óbita F Peíodo obital del satélite Otos símbolos