Física P.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN

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1 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 1 GRAVIACIÓN INRODUCCIÓN MÉODO 1. En geneal: a) Se dibujan las fuezas que actúan sobe el sistema. b) Se calcula cada fueza o vecto intensidad de campo. c) Se calcula la esultante po el pincipio de supeposición. d) Se aplica la ª ley de Newton (ley Fundamental de la Dinámica) F = m a e) Se calculan las enegías potenciales en los puntos de oigen 1 y destino. f) Se calcula el tabajo de las fuezas del campo. W₁ ₂ = - (E ₂ E ₁) = E ₁ - E ₂ g) El tabajo de la fueza exteio seá, si no hay vaiación de enegía cinética: W(exteio) = -W(campo). En los poblemas de satélites: La fueza gavitatoia F G que ejece el asto de masa M sobe un satélite de masa m que gia a su alededo en una óbita de adio está diigida hacia el asto (es una fueza cental), y se ige po la ley de Newton de la gavitación univesal F G =G M m Las tayectoias de los satélites son pácticamente ciculaes alededo del cento del asto. Po se la fueza gavitatoia una fueza cental, la aceleación solo tiene componente nomal a N = v /, y, al no tene aceleación tangencial, el módulo de la velocidad es constante. La velocidad lineal v de un movimiento cicula unifome de adio está elacionada con el peíodo po la ecuación: v = π Como la única fueza que actúa es la fueza gavitatoia, queda F = F G =m a =m a N =m v G M m =m v v = Igualando las dos expesiones de la velocidad se obtienen ecuaciones paa el peíodo o el adio. Si no se tiene la masa de la iea, se iguala el peso en el suelo con la fueza gavitatoia Se sustituye G M po g₀ R². m g 0 =G M m R g₀ R² = G M 3. En los poblemas de campo gavitatoio de masas puntuales: a) Cálculo del vecto intensidad de campo gavitatoio en un punto ceado po una sola masa:

2 Física P.A.U. GRAVIACIÓN La intensidad del campo gavitatoio g ceado po una masa puntual M en un punto situado a una distancia es igual a la fueza gavitatoia F G que ejeceía la masa M sobe la unidad de masa situada en ese punto. g = F G / m Siendo m la masa de pueba situada en el punto. Si sustituimos F G po la expesión de la ley de la gavitación univesal de Newton, queda: (a.1) (a.) (a.3) g = G M u Se detemina la distancia ente la masa M (situada en el punto 1) que cea el campo y el punto. Si los datos son las coodenadas de los puntos, la distancia ₁₂ ente ellos es: 1 = 1 = (x x 1 ) +(y y 1 ) Si se tata de puntos en un tiángulo, la altua h se calcula: h = L sen α Y si el tiángulo es equiláteo, la distancia d desde el punto medio O a un vétice A se puede calcula como d= L / cos 30 A Se detemina el vecto unitaio a pati del vecto de posición del punto especto al punto 1 donde se encuenta la masa M que cea el campo. Si los datos son las coodenadas de los puntos, el vecto de posición ₁₂ es: El vecto unitaio seá: 1 =(x x 1 ) i +(y y 1 ) j u = En caso de conoce el ángulo α, el vecto unitaio se calcula con la expesión: u = cos α i + sen α j Se calcula el vecto intensidad de campo con la ecuación: L α L d 30 L / h h O g = G M u (a.4) Sin olvida escibi las unidades (N/kg) en el esultado. Se calcula el módulo del vecto intensidad de campo sin olvida escibi las unidades. b) Cálculo del vecto intensidad de campo gavitatoio en un punto ceado po vaias masas: La intensidad de campo gavitatoio en un punto debido a vaias masas puntuales es la suma vectoial de las intensidades de campo gavitatoio ceadas po cada masa como si las otas no estuviesen. (b.1) Se dibujan los vectoes fueza o intensidad de campo gavitatoio poducidos en el punto po cada una de las masas, y se dibuja también el vecto fueza o campo esultante, que es la suma vectoial de ellos (pincipio de supeposición). (b.) Se calculan cada uno de los vectoes fueza o intensidad de campo ceados po las masas del mismo modo que se indicó en el apatado anteio, aunque a veces no es necesaio epeti cálculos poque se pueden deduci los esultados a pati del pimeo, a la vista de la simetía de la situación. (b.3) Se calcula el vecto fueza o intensidad de campo gavitatoio esultante en el punto como la suma vectoial de las fuezas o intensidades de campo gavitatoio poducidas po cada masa, aplicando el pincipio de supeposición.

3 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 3 (b.4) (b.5) Se analiza el esultado compaándolo con el coquis dibujado. Se calcula el módulo del vecto fueza o intensidad de campo esultante sin olvida escibi las unidades. c) Cálculo del vecto fueza gavitatoia sobe una masa m en un punto ceado po vaias masas: La fueza gavitatoia F G ente dos masas, M y m, puntuales sepaadas una distancia se ige po la ley de Newton de la gavitación univesal: F = G M m u Se ealiza de foma análoga a la del campo gavitatoio, usando la expesión de la fueza en vez de la intensidad de campo, y teniendo en cuenta que las unidades son newtons (N). d) Cálculo del tabajo necesaio paa desplaza una masa m ente dos puntos. Suponiendo que la masa pate del eposo desde el punto 1 y que llega a punto con velocidad nula, el tabajo de la fueza esultante es nulo, y el tabajo de la fueza exteio seá igual y de signo contaio al tabajo de las fuezas del campo: W' = - W₁ ₂ El tabajo que hacen las fuezas del campo consevativo es igual al valo de la masa m que se desplaza po la difeencia de potencial ente los puntos de patida 1 y llegada : W₁ ₂ = - (E ₂ E ₁) = E ₁ - E ₂ La enegía potencial de un objeto de masa m que está a una distancia de un asto es el tabajo que hace la fueza gavitatoia cuando el objeto se taslada desde su posición hasta el infinito (d.1) (d.) E P =W = F G d = G M m u d = G M m d =[ G M m ] = G M m Paa el punto de patida se calculan las distancias ente el punto en el que hay que calcula la enegía potencial y los puntos en los que se encuentan las masas, si no se han calculado antes. Se calcula la enegía potencial en el punto poducido po cada masa M, con la ecuación: E P = G M m (d.3) Se suman las enegías potenciales poducidos po cada masa en ese punto. (d.4) Se epite el poceso paa el punto de llegada. e) Se calcula el tabajo de las fuezas del campo. (e.1) W₁ ₂ = - (E ₂ E ₁) = E ₁ - E ₂ Se explica que el tabajo de las fuezas exteioes es de signo contaio. f) La velocidad de escape de un asto es la velocidad mínima que hay que comunica a un cuepo en la supeficie de éste paa que pueda alejase a una distancia infinita de él. Allí la enegía potencial es nula, Eₚ = 0, y la velocidad se supone nula po se la velocidad de escape una velocidad mínima. Se aplica el pincipio de consevación de la enegía ente la supeficie del asto y el infinito, tomando la velocidad en el infinito como 0 (E + Eₚ) S = (E + Eₚ) 1 m v e+ ( G M m R ) =0 v e= G M R

4 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 4 APROXIMACIONES 1. Los astos se considean como cuepos esféicos homogéneos. Así se puede considea el campo y la fueza gavitatoia en su exteio como si toda la masa del asto estuviese concentada en su cento.. Solo se tiene en cuenta la influencia gavitatoia del asto más póximo especto al satélite. 3. En las tansfeencias de óbitas, lanzamientos, caídas, se supone que la única fueza que actúa es la fueza gavitatoia, que es consevativa. Po lo tanto la enegía mecánica se conseva RECOMENDACIONES 1. Se haá una lista con los datos, pasándolos al Sistema Intenacional si no lo estuviesen.. Se haá ota lista con las incógnitas. 3. Se dibujaá un coquis de la situación, pocuando que las distancias del coquis sean coheentes con ella. Se debeá inclui cada una de las fuezas o de las intensidades de campo, y su esultante. 4. Se haá una lista de las ecuaciones que contengan las incógnitas y alguno de los datos, mencionando a la ley o pincipio al que se efieen. 5. En caso de tene alguna efeencia, al temina los cálculos se haá un análisis del esultado paa ve si es el espeado. En paticula, compoba que los vectoes campo gavitatoio tienen la diección y el sentido acode con el coquis. 6. En muchos poblemas las cifas significativas de los datos son incoheentes. Se esolveá el poblema suponiendo que los datos que apaecen con una o dos cifas significativas tienen la misma pecisión que el esto de los datos (po lo geneal tes cifas significativas), y al final se haá un comentaio sobe las cifas significativas del esultado. ACLARACIONES Los datos de los enunciados de los poblemas no suelen tene un númeo adecuado de cifas significativas, bien poque el edacto piensa que la Física es una ama de las Matemáticas y los númeos enteos son númeos «exactos» (p. ej. la velocidad de la luz: 3 10⁸ m/s cee que es , m/s) o poque aún no se ha enteado de que se puede usa calculadoa en el examen y le paece más sencillo usa 3 10⁸ que m/s). Po eso he supuesto que los datos tienen un númeo de cifas significativas azonables, casi siempe tes cifas significativas. Menos cifas daían esultados, en cietos casos, con una incetidumbe desmedida. Así que cuando tomo un dato como c = 3 10⁸ m/s y lo eescibo como: Cifas significativas: 3 c = 3,00 10⁸ m/s Lo que quieo indica es que supongo que el dato oiginal tiene tes cifas significativas (no que las tenga en ealidad) paa pode ealiza los cálculos con una incetidumbe más pequeña que la que tendía en ese caso. (3 10⁸ m/s tiene una sola cifa significativa, y una incetidumbe elativa del 30 %. Como las incetidumbes se suelen acumula a lo lago del cálculo, la incetidumbe final seía inadmisible. Entonces, paa qué ealiza los cálculos? Con una estimación seía suficiente).

5 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 5 PROBLEMAS LEYES DE KEPLER 1. El peíodo de otación de la iea alededo del Sol es un año y el adio de la óbita es 1,5 10¹¹ m. Si Júpite tiene un peíodo de apoximadamente 1 años, y si el adio de la óbita de Neptuno es de 4,5 10¹² m, calcula: a) El adio de la óbita de Júpite. b) El peíodo del movimiento obital de Neptuno. (P.A.U. Set. 05) Rta.: a) = 7,8 10¹¹ m; b) 160 años Datos Cifas signifficativas: Peíodo de otación de la iea alededo del Sol ₁ = 1 año = 3, 10⁷ s Radio de la óbita teeste ₁ = 1,5 10¹¹ m Peíodo de otación de Júpite alededo del Sol ₂ = 1 años = 3,8 10⁸ s Radio de la óbita de Neptuno ₃ = 4,5 10¹² m Inficógnitas Radio de la óbita de Júpite ₂ Peíodo del movimiento obital de Neptuno ₃ Eficuaficiones 3ª ley de Keple Solufición: 1 = a) La 3ª ley de Keple dice que los cuadados de los peíodos de evolución de los planetas alededo del Sol son diectamente popocionales a los cubos de los adios de las óbitas (apoximadamente ciculaes). Aplicando esta ley a la iea y a Júpite Radio de la óbita de Júpite: 1 = (1 [año]) (1, [ m]) =(1 [años]) 3 3 =1, [m] 3 1 =7, m Análisis: El esultado está compendido ente las distancias Sol-iea y Sol-Neptuno, como se espeaba. ( (óbita iea) = 1,5 10¹¹ m) < ( (óbita Júpite) = 7,8 10¹¹ m) < ( (óbita Neptuno) = 4,5 10¹² m) b) Aplicando la misma ley a la iea y a Neptuno Peíodo de la óbita de Neptuno: (1 [ año]) (1, [m]) = 3 3 (4, [m]) 3 3 =1 [ año] 30 3 =1,6 10 años Análisis: El peíodo obital calculado paa Neptuno es mayo que el de Júpite, como se espeaba. ( (obital Neptuno) = 1,6 10² años) > ( (obital Júpite) = 1 años) Este poblema podía esolvese como un poblema de satélites.

6 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 6 CAÍDA LIBRE 1. La masa de la Luna especto a la iea es 0,0110 M y su adio es R / 4. Dado un cuepo cuyo peso en la iea es 980 N (g₀ = 9,80 m/s²), calcula: a) La masa y el peso del cuepo en la Luna. b) La velocidad con la que el cuepo llega la supeficie luna si cae desde una altua de 100 m. (P.A.U. Set. 04) Rta.: a) m = 100 kg; P L = 176 N; b) v = 18,7 m/s Datos Cifas signifficativas: 3 Masa de la Luna M L = 0,011 M Radio de la Luna R L = ¼ R Peso en la iea P = 980 N Altua de la que cae h = 100 m Valo de la aceleación de la gavedad en la supefcie de la iea g = 9,80 m/s² Inficógnitas Masa del cuepo m Peso del cuepo en la Luna P L Velocidad con la que el cuepo llega la supefcie luna v Otos símbolos Constante de la gavitación univesal G Masa de la iea M Radio de la iea R Eficuaficiones Ley de Newton de la gavitación univesal (fueza que ejece un planeta esféico sobe un cuepo puntual) F G =G M m Peso P = m g Enegía cinética E = ½ m v² Enegía potencial gavitatoia (efeida al suelo, supuesta g constante) Eₚ = m g h Solufición: a) Se calcula la masa a pati de la expesión del peso: m = P / g = 980 [N] / 9,80 [m/s²] = 100 kg El peso es la fueza de atacción gavitatoia dada po la ley de Newton de la gavitación univesal. En la supefcie de la iea, P =G M m R En la supefcie de la Luna, P L =G M m L Dividiendo la segunda ente la pimea: P L El peso en la Luna seá: P =G M L m /R L G M m /R =M L M R L R 0,011 M = R L M R 0,011 M = (R /4) M P L = 0,179 P = 0, [N] = 176 N R =0,011 16=0,179 R /16 Análisis: El peso en la Luna es meno que en la iea, como se espeaba. En los ejecicios suele usase la apoximación de que la aceleación de la gavedad en la Luna es 1/6 de la de la iea. El valo obtenido (0,179) coincide con 1/6, peo tas epasa las opeaciones debemos conclui que los datos no ean tan pecisos como paecían, y que cuando tomamos el adio de la Luna como un valo exacto, no tuvimos en cuenta que solo ea una apoximación. El númeo de cifas signifcativas entonces es una y no tes. En ese caso, el esultado fnal es de 00 N, o sea 1/5 del de la iea.

7 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 7 b) Al cae desde un punto de altua hₚ, póximo a la supefcie de la Luna, la aceleación de la gavedad puede considease constante. Si la única fueza que ealiza tabajo es la gavitatoia, la enegía mecánica se conseva. (E + Eₚ)ₕ = (E + Eₚ)₀ La enegía potencial de un objeto de masa m, que está a una altua h, en las poximidades de la Luna, se ige po Eₚ = m g L h. Sustituyendo, 0 + m g L h = ½ m v² + 0 v² = g L h El valo de la gavedad en la Luna puede obtenese de su peso: g L = P L / m = 176 [N] / 100 [kg] = 1,76 m/s² La velocidad que alcanza un cuepo el cae desde una altua de h = 100 m hasta el suelo, en la Luna es g L h= 1,76 [ m/s ] 100 [ m]=18,7 m/s LEY DE LA GRAVIACIÓN UNIVERSAL: SAÉLIES 1. La luz del Sol tada 5 10² s en llega a la iea y,6 10³ s en llega a Júpite. Calcula: a) El peíodo de Júpite obitando alededo del Sol. b) La velocidad obital de Júpite. c) La masa del Sol. Datos: (iea) alededo del Sol: 3,15 10⁷ s; c = 3 10⁸ m/s; G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ². (Se suponen las óbitas ciculaes) (P.A.U. Set. 1) Rta.: a) = 3,74 10⁸ s; v = 1,31 10⁴ m/s; b) M =,01 10³⁰ kg Datos Cifas signifficativas: 3 iempo que tada la luz del Sol en llega a la iea t₁ = 5,00 10² s = 500 s iempo que tada la luz del Sol en llega a Júpite t₂ =,60 10³ s Peíodo obital de la iea alededo del Sol ₁ = 3,15 10⁷ s Velocidad de la luz en el vacío c = 3,00 10⁸ m/s Constante de la gavitación univesal G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ² Inficógnitas Peíodo obital de Júpite ₂ Velocidad obital de Júpite v Masa del Sol M Otos símbolos Masa de Júpite o la iea m Distancia de un planeta al Sol Eficuaficiones Velocidad de un satélite a una distancia del cento de un asto de masa M Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio y peíodo π Solufición: Se calculan las distancias de la iea al Sol y de Júpite al Sol, teniendo en cuenta la velocidad de la luz. iea: ₁ = c t₁ = 3,00 10⁸ [m/s] 5,00 10² [s] = 1,50 10¹¹ m Júpite: ₂ = c t₂ = 3,00 10⁸ [m/s],60 10³ [s] = 7,80 10¹¹ m Se esuelve pimeo el apatado c) La velocidad de la iea alededo del Sol se calcula a pati de su peíodo obital

8 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 8 π = 3,14 1, [m] =, m /s 3, [s] La masa del Sol puede calculase de la expesión de la velocidad de un satélite que gia a una distancia alededo del cento de un asto de masa M: M = v =(, [ m/s]) 1, [m] =, kg G 6, [ N m kg ] b) Aplicando la ecuación anteio paa calcula la velocidad de Júpite, = 6, [ N m kg ], [kg ] =1, m /s=13,1 km /s 7, [ m] a) El peíodo se calcula a pati de la expesión de la velocidad en el movimiento cicula unifome: = π v = 3,14 7, [ m] =3, s 1, [m/s] Análisis: La tecea ley de Keple dice que los cuadados de los peíodos son diectamente popocionales a los cubos de los adiovectoes que unen al Sol con los planetas. A mayo distancia al Sol, mayo peíodo. Este método, daía: = =3, [s] (7, [ m]) 3 1 (1, [ m]) 3 =3, s. Un satélite atificial de 64,5 kg gia alededo de la iea en una óbita cicula de adio =,3 R. Calcula: a) El peíodo de otación del satélite. b) El peso del satélite en la óbita. Datos: iea: g₀ = 9,80 m/s²; R = 6370 km (P.A.U. Jun. 05) Rta.: a) = 4 h 58 min.; b) Pₕ = 117 N Datos Cifas signifficativas: 3 Radio de la iea R = 6370 km = 6,37 10⁶ m Radio de la óbita =,3 R = 1,48 10⁷ m Aceleación de la gavedad en la supefcie de la iea g₀ = 9,80 m/s² Masa del satélite m = 64,5 kg Inficógnitas Peíodo de otación del satélite alededo de la iea Peso del satélite en la óbita = fueza gavitatoia que actúa sobe el satélite Pₕ Otos símbolos Masa de la iea M Valo de la velocidad del satélite en la óbita alededo de la iea v Constante de la gavitación univesal G Eficuaficiones Velocidad de un satélite a una distancia del cento de un asto de masa M Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio y peíodo π Relación ente la masa, la gavedad y el adio de un asto G M = g₀ R² Solufición: a) El adio de la óbita vale: =,3 R = 1,48 10⁷ m La velocidad de un satélite que gia a una distancia alededo de un asto de masa M es: satélite F G iea R

9 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 9 La velocidad en un movimiento cicula unifome de adio y peíodo es: π Sustituyendo esta expesión en la anteio y elevando al cuadado queda ( π ) = G M Al no tene la masa de la iea se sustituye G M po g₀ R². ( π ) = g 0 R Se despeja el peíodo y se sustituyen los datos = π 3 (1, [m]) 3 = 3,14 g 0 R 9,80 [m/s ](6, [m]) =1, s=4 h 58 min Análisis: Po la tecea ley de Keple, también aplicable a satélites que gian alededo de un asto, los cuadados de los peíodos son diectamente popocionales a los cubos de los semiejes mayoes de las elipses, o, si las tayectoias son ciculaes, a los adios de las óbitas. El peíodo de la Luna, que está a unos 60 R es de 8 días. El peíodo de este satélite, que está a unos,4 R (5 veces meno) seía de 5³ 15 veces meno 0,5 días 6 hoas. b) Sustituyendo G M po g₀ R² en la expesión de la fueza gavitatoia, (peso) P h =F G =G M m = g 0 R m = 9,80 [m/s ](6, [m]) 64,5 [ kg] (1, [m]) =117 N Análisis: El peso disminuye con la altua, siendo invesamente popocional al cuadado de la distancia al cento de la iea. A una distancia,4 R, el peso debeía se unas,4² = 6 veces meno que en el suelo m g₀ = 63 N, o sea unos 100 N. 3. Un satélite atificial de 100 kg descibe óbitas ciculaes a una altua de 6000 km sobe la supeficie de la iea. Calcula: a) El tiempo que tada en da una vuelta completa. b) El peso del satélite a esa altua. Datos: iea: g₀ = 9,80 m/s²; R = 6400 km (P.A.U. Jun. 06) Rta.: a) = 3 h 48 min.; b) Pₕ = 61 N Datos Cifas signifficativas: 3 Radio de la iea R = 6400 km = 6,40 10⁶ m Altua de la óbita h = 6000 km = 6,00 10⁶ m Aceleación de la gavedad en la supefcie de la iea g₀ = 9,80 m/s² Masa del satélite m = 100 kg Inficógnitas iempo que tada en da una vuelta completa Peso del satélite a esa altua Pₕ Otos símbolos Masa de la iea M Valo de la velocidad del satélite en la óbita alededo de la iea v Constante de la gavitación univesal G Radio de la óbita Eficuaficiones Velocidad de un satélite a una distancia del cento de un asto de masa M Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio y peíodo π

10 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 10 Peso P = m g Relación ente la masa, la gavedad y el adio de un asto G M = g₀ R² Solufición: El adio de la óbita vale: = R + h = 6,40 10⁶ [m] + 6,00 10⁶ [m] = 1,4 10⁷ m h La velocidad de un satélite que gia a una distancia alededo del cento de un asto de masa M es: Al no tene la masa de la iea se sustituye G M po g₀ R². g 0 R satélite F G R iea ób = 9,80 [m /s ] (6, [ m]) =5, m/s 1, [ m] El peíodo se calcula a pati de la expesión de la velocidad en el movimiento cicula unifome: = π v = 3,14 1,4 107 [ m] =1, s=3 h 48 min 5, [m /s] Análisis: Po la ley de Keple, también aplicable a satélites que gian alededo de un asto, los cuadados de los peíodos son diectamente popocionales a los cubos de los semiejes mayoes de las elipses, o, si las tayectoias son ciculaes, a los adios de las óbitas. El peíodo de un satélite de óbita baja (h = 400 km) es de hoa y media. El adio de la óbita de este satélite es apoximadamente el doble, po lo que el peíodo debeía se ³ 3 veces mayo, de unas cuato hoas y media. b) Sustituyendo G M po g₀ R², en la expesión de la fueza gavitatoia, (peso) P h =G M m = g R 0 m = 4, [m 3 /s ] 100 [kg] (1, [ m]) =61 N Análisis: El peso disminuye con la altua, siendo invesamente popocional al cuadado de la distancia al cento de la iea. A una distancia R, el peso debeía se unas ² = 4 veces meno que en el suelo m g₀ = 980 N, o sea unos 50 N. 4. La nave espacial Discovey, lanzada en octube de 1998, descibía alededo de la iea una óbita cicula con una velocidad de 7,6 km s ¹: a) A qué altua sobe la supeficie de la iea se encontaba? b) Cuánto tiempo tadaba en da una vuelta completa? c) Cuántos amanecees veían cada 4 hoas los astonautas que iban en el inteio de la nave? Datos: G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ²; R = 6370 km; M = 5,98 10²⁴ kg (P.A.U. Jun. 16) Rta.: a) h = 503 km; b) = 1 h 34 min; c) n = 15 Datos Cifas signifficativas: 3 Velocidad del satélite en su óbita alededo de la iea. v = 7,6 km/s = 7,6 10³ m/s Radio de la iea R = 6370 km = 6,37 10⁶ m Masa de la iea M = 5,93 10²⁴ kg Constante de la gavitación univesal G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ² Inficógnitas Altua de la óbita h iempo de una vuelta completa Númeo de vueltas en 4 hoas n Otos símbolos Masa del satélite m Radio de la óbita

11 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 11 Eficuaficiones Velocidad de un satélite a una distancia del cento de un asto de masa M Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio y peíodo π Solufición: a) La velocidad de un satélite que gia a una distancia alededo del cento de un asto de masa M es: Se despeja el adio de la óbita = G M v = 6, [ m/s ] 5, [ m] (7, [m /s]) =6, m Se calcula la altua a pati del adio de la óbita y el adio de la iea: h = R = 6,87 10⁶ [m] 6,37 10⁶ [m] = 5,0 10⁵ m = 500 km Análisis: Se espea que la altua de un satélite en óbita baja alededo de la iea sea alededo de 400 km. El esultado de 500 km está de acuedo con esta suposición. b) El peíodo se calcula a pati de la expesión de la velocidad en el movimiento cicula unifome: = π v = 3,14 6, [m ] =5, s=1 h 34 min 7, [m/ s] c) El númeo de amanecees que ven los astonautas en 4 h es n= 4 h 1,57 h =15 5. Un satélite atificial de masa 10² kg gia en tono a la iea a una altua de 4 10³ km sobe la supeficie teeste. Calcula: a) Su velocidad obital, aceleación y peíodo, supuesta la óbita cicula. b) Halla el módulo del momento angula del satélite especto del cento de la iea. c) Enuncia las leyes de Keple. Datos: R = 6,37 10⁶ m; g₀ = 9,81 m/s² (P.A.U. Set. 16) Rta.: a) v = 6,0 km/s; = h 55 min; a = 3,70 m/s²; b) L O = 6,45 10¹² kg m²/s Datos Cifas signifficativas: 3 Radio de la iea R = 6,37 10⁶ m Altua de la óbita h = 4,00 10³ km = 4,00 10⁶ m Aceleación de la gavedad en la supefcie de la iea g₀ = 9,81 m/s² Masa del satélite m = 100 kg Inficógnitas Valo de la velocidad del satélite en su óbita alededo de la iea v Peíodo de otación del satélite alededo de la iea Valo de la aceleación del satélite a Módulo del momento angula del satélite especto del cento dela iea L O Otos símbolos Constante de la gavitación univesal G Masa de la iea M

12 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 1 Eficuaficiones Velocidad de un satélite a una distancia del cento de un asto de masa M Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio y peíodo π Ley de Newton de la gavitación univesal (fueza que ejece un planeta esféico sobe un cuepo puntual) F G =G M m Relación ente la masa, la gavedad y el adio de un asto G M = g₀ R² Solufición: a) El adio de la óbita vale: = R + h = 6,37 10⁶ [m] + 4,00 10⁶ [m] = 1,06 10⁷ m La velocidad de un satélite que gia a una distancia alededo del cento de un asto de masa M es: Al no tene la masa de la iea se sustituye G M po g₀ R². g 0 R = 9,81 [m /s ] (6, [m]) =6, m/s=6,0 km /s 1, [m] Análisis: Se espea que un objeto que se mueva alededo de la iea tenga una velocidad de algunos km/s. El esultado de 6,0 km/s está de acuedo con esta suposición. El peíodo se calcula a pati de la expesión de la velocidad en el movimiento cicula unifome: = π v = 3,14 1, [m] =1, s= h 55 min 6, [m/ s] Análisis: El peíodo de un satélite en óbita baja ( km) es de hoa y media. El valo obtenido es mayo, poque la altua de la óbita 4000 km también lo es. La única fueza que actúa sobe el astonauta es su peso, o sea, la atacción gavitatoia de la iea. Po la ley de Newton de la gavitación univesal, en la óbita de adio : F =G M m = g 0 R m La aceleación seá a= F m = g 0 R = 9,81 [ m/s ] (6, [m]) (1, [ m]) =3,70 m/s b) El momento angula L O de una patícula de masa m que se mueve con una velocidad v especto a un punto O que se toma como oigen es: L O = m v El módulo del momento angula del satélite especto al cento de la iea es: L O = m v sen α = 1,06 10⁷ [m] 100 [kg] 6,0 10³ [m/s] sen 90 = 6,45 10¹² kg m²/s c) Las leyes de Keple pueden enunciase así: 1ª ley: Los planetas se mueven en óbitas elípticas alededo del Sol que ocupa uno de los focos de la elipse. ª ley: El adiovecto que une el Sol con un planeta bae áeas iguales en tiempos iguales. 3ª ley: Los cuadados de los peíodos de los planetas alededo del Sol son diectamente popocionales a los cubos de los semiejes mayoes de las elipses.

13 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 13 ENERGÍA POENCIAL 1. Un satélite atificial de 500 kg descibe una óbita cicula alededo de la iea con un adio de 10⁴ km. Calcula: a) La velocidad obital y el peíodo. b) La enegía mecánica y la potencial. c) Si po ficción se piede algo de enegía, qué le ocue al adio y a la velocidad? Datos g₀ = 9,8 m/s²; R = 6370 km (P.A.U. Set. 10) Rta.: a) v = 4,46 km/s; = 7 h 50 min; b) E = -4,97 10⁹ J; Eₚ = -9,94 10⁹ J Datos Cifas signifficativas: 3 Masa del satélite m = 500 kg Radio de la óbita =,00 10⁴ km =,00 10⁷ m Aceleación de la gavedad en la supefcie de la iea g₀ = 9,80 m/s² Radio de la iea R = 6370 km = 6,37 10⁶ m Inficógnitas Valo de la velocidad del satélite en su óbita alededo de la iea v Peíodo obital del satélite Enegía mecánica del satélite en óbita E Enegía potencial del satélite en óbita Eₚ Otos símbolos Masa de la iea M Constante de la gavitación univesal G Eficuaficiones Velocidad de un satélite a una distancia del cento de un asto de masa M Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio y peíodo π Relación ente la masa, la gavedad y el adio de un asto G M = g₀ R² Enegía cinética E = ½ m v² Enegía potencial gavitatoia (efeida al infnito) E p = G M m Enegía mecánica E = E + Eₚ Solufición: a) La velocidad de un satélite que gia a una distancia alededo del cento de un asto de masa M es: Al no tene la masa de la iea se sustituye G M po g₀ R². g 0 R = 9,80 [m /s ] (6, [ m]) =4, m/s=4,46 km /s, [m ] Análisis: Se espea que un objeto que se mueva alededo de la iea tenga una velocidad de algunos km/s. El esultado de 4,46 km/s está está de acuedo con esta suposición. El peíodo se calcula a pati de la expesión de la velocidad en el movimiento cicula unifome: = π v = 3,14, [m] =, s=7 h 50 min 4, [m /s] b) La enegía mecánica es la suma de las enegías cinética y potencial. La enegía potencial vale: E p = G M m = g R 0 m = 9,80 [ m/s ] (6, [m]) 500 [ kg] = 9, J, [m]

14 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 14 La enegía cinética es La enegía mecánica es E = m v² / = 500 [kg] (4,46 10³ [m/s])² / = 4,97 10⁹ J E = E + Eₚ = 4,97 10⁹ [J] + (-9,94 10⁹ [J]) = -4,97 10⁹ J Análisis: La enegía mecánica vale la mitad de la enegía potencial como se ve en el apatado siguiente. c) La enegía mecánica se puede expesa en función del adio de la óbita. Sustituyendo v² po G M / en la expesión de la enegía mecánica, queda E=E c +E p = 1 m v G M m = 1 G M m G M m = 1 G M m Si disminuye la enegía mecánica, (es más negativa), el adio de la óbita también se hace más pequeño, po lo que el satélite se aceca a la supefcie de la iea. La velocidad, po el contaio, aumentaá, pues su elación con el adio es Cuanto más pequeño es el adio de la óbita más gande es su velocidad. Análisis: Es lo mismo que le ocue a cualquie cuepo que se mueve ceca de la supefcie de la iea. Al pede enegía piede altua, y cae hacia el suelo, ganando velocidad.. Un satélite atificial de 500 kg de masa gia en una óbita cicula a 5000 km de altua sobe la supeficie de la iea. Calcula: a) Su velocidad obital. b) Su enegía mecánica en la óbita. c) La enegía que hay que comunicale paa que, patiendo de la óbita, llegue al infinito. Datos: R = 6370 km; g₀ = 9,8 m s ² (P.A.U. Set. 15) Rta.: a) v = 5,91 km/s; b) E = -8,74 10⁹ J; c) ΔE = 8,74 10⁹ J Datos Cifas signifficativas: 3 Masa del satélite m = 500 kg Altua de la óbita h = 5000 km = 5,00 10⁶ m Aceleación de la gavedad en la supefcie de la iea g₀ = 9,80 m/s² Radio de la iea R = 6370 km = 6,37 10⁶ m Inficógnitas Velocidad obital v Enegía mecánica del satélite en óbita E Enegía que hay que comunicale paa que llegue al infnito ΔE Otos símbolos Masa de la iea M Constante de la gavitación univesal G Eficuaficiones Velocidad de un satélite a una distancia del cento de un asto de masa M Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio y peíodo π Relación ente la masa, la gavedad y el adio de un asto G M = g₀ R² Enegía cinética E = ½ m v² Enegía potencial gavitatoia (efeida al infnito) E p = G M m Enegía mecánica E = E + Eₚ Solufición:

15 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 15 a) El adio de la óbita es: = R + h = 6,37 10⁶ [m] + 5,00 10⁶ [m] = 11,37 10⁶ m La velocidad de un satélite que gia a una distancia alededo del cento de un asto de masa M es: Al no tene la masa de la iea se sustituye G M po g₀ R². g 0 R = 9,80 [m /s ] (6, [ m]) =5, m /s=5,91 km/ s 11, [m] Análisis: Se espea que un objeto que se mueva alededo de la iea tenga una velocidad de algunos km/s. El esultado de 5,91 km/s está de acuedo con esta suposición. b) La enegía mecánica es la suma de las enegías cinética y potencial. La enegía potencial vale: La enegía cinética es La enegía mecánica es E p = G M m = g 0 R m = 9,80 [ m/s ] (6, [m]) 500 [ kg] = 1, , [m] E = m v² / = 500 [kg] (5,91 10³ [m/s])² / = 8,74 10⁹ J E = E + Eₚ = 8,74 10⁹ [J] + (-17,5 10⁹ [J]) = -8,74 10⁹ J Análisis: La enegía mecánica tiene el valo opuesto al de la enegía cinética c) La enegía potencial en el infnito es nula po defnición. Suponiendo que llega al infnito con velocidad nula, la enegía que tendá en el infnito seá nula. La enegía que hay que comunicale es: ΔE = E( ) E(óbita) = 0 (-8,74 10⁹ J) = 8,74 10⁹ J J 3. Se desea pone en óbita un satélite de 1800 kg que gie a azón de 1,5 vueltas po día. Calcula: a) El peíodo del satélite. b) La distancia del satélite a la supeficie teeste. c) La enegía cinética del satélite en esa óbita. Datos: G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ²; R = 6378 km; M = 5,98 10²⁴ kg (P.A.U. Set. 09) Rta.: a) = 1 h 55 min; b) h = 1470 km; c) E = 4,58 10¹⁰ J Datos Cifas signifficativas: 3 Radio de la iea R = 6378 km = 6,38 10⁶ m Fecuencia de gio del satélite en la óbita alededo de la iea. f = 1,5 vuel./día = 1,45 10 ⁴ s ¹ Constante de la gavitación univesal G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ² Masa de la iea M = 5,98 10²⁴ kg Masa del satélite m = 1800 kg Inficógnitas Peíodo del satélite Distancia del satélite a la supefcie teeste (altua de óbita) h Enegía cinética del satélite en la óbita E Otos símbolos Radio de la óbita Eficuaficiones Velocidad de un satélite a una distancia del cento de un asto de masa M Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio y peíodo π Enegía cinética E = ½ m v²

16 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 16 Solufición: a) El peíodo es la invesa de la fecuencia: = 1 f = 1 1, [s 1 ] =6, s=1,9 h=1 h 55 min b) La velocidad de un satélite que gia a una distancia alededo del cento de un asto de masa M es: La velocidad en un movimiento cicula unifome de adio y peíodo es: π Sustituyendo esta expesión en la anteio y elevando al cuadado queda ( π ) = G M Despejando el adio de la óbita y sustituyendo valoes, La altua es: 6,67 = 3 G M 4 π = 3 c) La velocidad del satélite en su óbita es: La enegía cinética es: [ N m kg ] 5, [ kg] (6, [s]) =7, m 4 π h = R = 7,84 10⁶ [m] - 6,38 10⁶ [m] = 1,47 10⁶ m = 1470 km π 3,14 7, [m] =7, m /s 6, [s] E = m v² / = 1,80 10³ [kg] (7,13 10³ [m/s])² / = 4,58 10¹⁰ J 4. Los satélites Meteosat son satélites geoestacionaios (situados sobe el ecuado teeste y con peíodo obital de un día). Calcula: a) La altua a la que se encuentan, especto a la supeficie teeste. b) La fueza ejecida sobe el satélite. c) La enegía mecánica. Datos: R = 6,38 10⁶ m; M = 5,98 10²⁴ kg; m = 8 10² kg; G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ² (P.A.U. Set. 08) Rta.: a) h = 3,60 10⁷ m; b) F = 179 N ; c) E = 3,78 10⁹ J; Eₚ = -7,56 10⁹ J; E = -3,78 10⁹ J Datos Cifas signifficativas: 3 Satélite geoestacionaio (peíodo igual al de la iea) = 4 h = 8,64 10⁴ s Constante de la gavitación univesal G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ² Masa de la iea M = 5,98 10²⁴ kg Masa del satélite m = 8,00 10² kg Radio de la iea R = 6,38 10⁶ m Inficógnitas Altua del satélite h Fueza sobe el satélite F Enegías cinética, potencial y total del satélite en óbita E, Eₚ, E Otos símbolos Radio de la óbita

17 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 17 Otos símbolos Valo de la velocidad del satélite en la óbita geoestacionaia Eficuaficiones Velocidad de un satélite a una distancia del cento de un asto de masa M Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio y peíodo π Peso P = m g Enegía cinética E = ½ m v² Enegía potencial gavitatoia (efeida al infnito) E p = G M m Solufición: a) La velocidad de un satélite que gia a una distancia alededo del cento de un asto de masa M es: La velocidad en un movimiento cicula unifome de adio y peíodo es: π Sustituyendo esta expesión en la anteio y elevando al cuadado queda ( π ) = G M Despejando el adio de la óbita y sustituyendo valoes, La altua es: 6,67 = 3 G M 4 π = [N m kg ] 5, [ kg](8, [s]) =4, m 4 3,14 h = R = 4,4 10⁷ 6,38 10⁶ = 3,60 10⁷ m v b) La fueza que ejece la iea sobe el satélite es la fueza gavitatoia. F G =G M m = 6, [ N m kg ] 5, [ kg] 800 [kg ] (4, [m ]) =179 N Análisis: El peso disminuye con la altua, siendo invesamente popocional al cuadado de la distancia al cento de la iea. A una distancia 7 R, el peso debeía se unas 7² 50 veces meno que en el suelo m g₀ 8 10³ N, o sea unos 160 N. c) La enegía potencial es E p = G M m = 6, [ N m kg ] 5, [ kg] 800 [kg ] = 7, J 4, [m] Sustituyendo v² po G M / en la expesión de la enegía cinética, queda E c = 1 mv = 1 G M m = 3,78 10⁹ J La enegía cinética es la mitad y de signo contaio que la enegía potencial. La enegía (mecánica) total es la suma de las enegías cinética y potencial, y vale lo mismo que la enegía cinética, peo es negativa. E = E + Eₚ = 3,78 10⁹ [J] 7,56 10⁹ [J] = -3,78 10⁹ J

18 Física P.A.U. GRAVIACIÓN Un satélite atificial de 00 kg descibe una óbita cicula a una altua de 650 km sobe la iea. Calcula: a) El peíodo y la velocidad del satélite en la óbita. b) La enegía mecánica del satélite. c) El cociente ente los valoes de la intensidad de campo gavitatoio teeste en el satélite y en la supeficie de la iea. Datos: M = 5,98 10²⁴ kg; R = 6,37 10⁶ m; G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ² (P.A.U. Set. 11) Rta.: a) v = 7,54 km/s; = 1 h 38 min; b) E = -5,68 10⁹ J; c) gₕ/g₀ = 0,83 Datos Cifas signifficativas: 3 Masa del satélite m = 00 kg Altua de la óbita h = 650 km = 6,50 10⁵ m Masa de la iea M = 5,98 10²⁴ kg Radio de la iea R = 6,37 10⁶ m Constante de la gavitación univesal G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ² Inficógnitas Valo de la velocidad del satélite en su óbita alededo de la iea v Peíodo obital del satélite Enegía mecánica del satélite en óbita E Cociente ente los valoes de g en el satélite y en la supefcie de la iea. gₕ/g₀ Otos símbolos Masa de la iea M Constante de la gavitación univesal G Eficuaficiones Velocidad de un satélite a una distancia del cento de un asto de masa M Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio y peíodo π Enegía cinética E = ½ m v² Enegía potencial gavitatoia (efeida al infnito) E p = G M m Enegía mecánica E = E + Eₚ Intensidad del campo gavitatoio teeste a una distancia del cento Solufición: a) El satélite descibe una tayectoia apoximadamente cicula de adio = R + h = 6,37 10⁶ [m] + 6,50 10⁵ [m] = 7,0 10⁶ m g = F G m =G M La velocidad de un satélite que gia a una distancia alededo del cento de un asto de masa M es: = 6, [ N m kg ] 5, [ kg] =7, m/s=7,54 km /s 7, [ m] Análisis: Se espea que un objeto que se mueva alededo de la iea tenga una velocidad de algunos km/s. El esultado está está de acuedo con esta suposición. El peíodo se calcula a pati de la expesión de la velocidad en el movimiento cicula unifome: = π v = 3,14 7,0 106 [m] =5, s=1 h 38 min 7, [m /s] b) La enegía potencial viene dada po: E p = G M m = 6, [ N m kg ] 5, [ kg] 00 [kg ] = 1, , [ m] J

19 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 19 La enegía cinética vale: E = m v² / = [00 [kg] (7,54 10³ [m/s])²] / = 5,68 10⁹ J La enegía mecánica es la suma de las enegías cinética y potencial: E = E + Eₚ = 5,68 10⁹ [J] + (- 1,14 10¹⁰ [J]) = -5,68 10⁹ J Análisis: La enegía mecánica tiene el valo opuesto al de la enegía cinética c) La intensidad del campo gavitatoio en un punto que dista del cento de la iea es la fueza sobe la unidad de masa situada en ese punto. g = F G m La gavedad a una altua h vale: g h =G M (R +h) En la supefcie de la iea vale: g 0 =G M R Dividiendo la pimea ente la segunda queda: M m / =G =G M m g h g 0 = G M /(R+h) G M / R = R (R +h) =(6, [ m]) (7, [ m]) =0,83 6. Un satélite de 00 kg descibe una óbita cicula a 600 km sobe la supeficie teeste: a) Deduce la expesión de la velocidad obital. b) Calcula el peíodo de gio. c) Calcula la enegía mecánica. Datos: R = 6400 km; g₀ = 9,81 m/s² (P.A.U. Jun. 13) Rta.: a) ; b) = 1 h 37 min; b) E = -5,74 10⁹ J Datos Cifas signifficativas: 3 Masa del satélite m = 00 kg Altua de la óbita h = 600 km = 6,00 10⁵ m Radio de la iea R = 6400 km = 6,40 10⁶ m Aceleación de la gavedad en la supefcie de la iea g₀ = 9,81 m/s² Inficógnitas Velocidad del satélite en su óbita alededo de la iea v Peíodo obital del satélite Enegía mecánica del satélite en óbita E Otos símbolos Masa de la iea M Constante de la gavitación univesal G Eficuaficiones Velocidad de un satélite a una distancia del cento de un asto de masa M Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio y peíodo Ley de Newton de la gavitación univesal (fueza que ejece un planeta esféico sobe un cuepo puntual) π F G =G M m Aceleación nomal (en un movimiento cicula de adio ) a N = v ª ley de Newton de la Dinámica F = m a Peso P = m g Enegía cinética E = ½ m v²

20 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 0 Ley de Newton de la gavitación univesal (fueza que ejece un planeta esféico sobe un cuepo puntual) Enegía potencial gavitatoia (efeida al infnito) F G =G M m E p = G M m Enegía mecánica E = E + Eₚ Solufición: a) El satélite descibe una tayectoia apoximadamente cicula de adio = R + h = 6,40 10⁶ [m] + 6,00 10⁵ [m] = 7,00 10⁶ m La fueza gavitatoia F G que ejece el asto de masa M sobe un satélite de masa m que gia a su alededo en una óbita de adio está diigida hacia el asto, es una fueza cental, y se ige po la ley de Newton de la gavitación univesal: F G = G M m En muchos casos la tayectoia del satélite es pácticamente cicula alededo del cento del asto. Como la fueza gavitatoia es una fueza cental, la aceleación solo tiene componente nomal. Al no tene aceleación tangencial, el módulo de la velocidad es constante y el movimiento es cicula unifome. El valo de la aceleación nomal en un movimiento cicula unifome se obtiene de la expesión a N = v La ª ley de Newton dice que la fueza esultante sobe un objeto poduce una aceleación diectamente popocional a la fueza. F = m a Como la fueza gavitatoia que ejece el asto sobe el satélite es mucho mayo que cualquie ota se puede considea que es la única fueza que actúa. La ª ley de Newton, expesada paa los módulos, queda u F = F G =m a =m a N =m v La expesión del módulo F G de la fueza gavitatoia, queda Despejando la velocidad obital del satélite, queda G M m =m v Como no se tienen los datos de la masa de la iea ni de la constante de la gavitación univesal, se necesita enconta una elación ente ellas y el adio de la iea. Esta elación se obtiene igualando el peso de un objeto con la fueza gavitatoia sobe él en la supefcie de la iea. g 0 R m g 0 =G M m R G M = g₀ R² = 9,81 [ m/s ] (6, [m]) =7, m/s=7,58 km /s 7, [ m] Análisis: Se espea que un satélite en óbita alededo de la iea tenga una velocidad de algunos km/s. El esultado está está de acuedo con esta suposición. Específcamente el enunciado del poblema no pide que se calcule la velocidad, peo mejo es calculala po si acaso. Además, se va a necesita en el cálculo del peíodo obital.

21 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 1 b) El peíodo se calcula a pati de la expesión de la velocidad en el movimiento cicula unifome: = π v = 3,14 7, [m] =5, s=1 h 37 min 7, [m/ s] c) Enegía potencial: Enegía cinética: E p = G M m = g R 0 m = 9,81 [m /s ] (6, [m]) 00 [ kg] = 1, J 7, [ m] E = m v² / = 00 [kg] (7,58 10³ [m/s])² = 5,74 10⁹ J La enegía mecánica es la suma de las enegías cinética y potencial: E = E + Eₚ = 5,74 10⁹ [J] 1,15 10¹⁰ [J] = -5,8 10⁹ J Análisis: Se puede demosta que la enegía mecánica tiene el valo opuesto al de la enegía cinética sustituyendo G M / po v² en la expesión de la enegía mecánica: E=E c +E P = 1 m v G M m = 1 m v m v = 1 m v = E c Sabiendo esto se puede escibi el valo de la enegía mecánica con tes cifas signifcativas, en vez de las dos cifas del esultado anteio obtenido siguiendo las eglas de opeaciones con cifas signifcativas : E = -5,74 10⁹ J 7. Se desea pone un satélite de masa 10³ kg en óbita alededo de la iea y a una altua dos veces el adio teeste. Calcula: a) La enegía que hay que comunicale desde la supeficie de la iea. b) La fueza centípeta necesaia paa que desciba la óbita. c) El peíodo del satélite en dicha óbita. Datos: R = 6370 km; g₀ = 9,8 m/s² (P.A.U. Set. 13) Rta.: a) E = 5,0 10¹⁰ J; b) F = 1,09 10³ N; c) = 7 h 19 min Datos Cifas signifficativas: 3 Masa del satélite m = 10³ kg = 1,00 10³ kg Radio de la iea R = 6370 km = 6,37 10⁶ m Altua de la óbita h = 6370 km = 1,7 10⁷ m Aceleación de la gavedad en la supefcie de la iean (en inglés) g₀ = 9,80 m/s² Inficógnitas Enegía que hay que comunicale desde la supefcie de la iea E Fueza centípeta necesaia paa que desciba la óbita F Peíodo obital del satélite Otos símbolos Masa de la iea M Constante de la gavitación univesal G Eficuaficiones Velocidad de un satélite a una distancia del cento de un asto de masa M Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio y peíodo π Relación ente la masa, la gavedad y el adio de un asto G M = g₀ R² Enegía cinética E = ½ m v² Enegía potencial gavitatoia (efeida al infnito) E p = G M m Enegía mecánica E = E + Eₚ

22 Física P.A.U. GRAVIACIÓN Solufición: a) La enegía mecánica es la suma de las enegías cinética y potencial. La expesión de la enegía potencial es: E p = G M m Al no tene la masa de la iea se sustituye G M po g₀ R². E p = G M m = g R 0 m Se supone que en la supefcie de la iea el satélite está en eposo ª, po lo que solo tiene enegía potencial, que vale: Eₚ(suelo) = G M m R = g 0 R m = g R 0 R m= 9,80 [m /s ] 6, [ m] 1, [kg]= 6, J El adio de una óbita cicula a una altua dos veces el adio teeste es La enegía potencial en la óbita es: Eₚ(óbita) = G M m = R + h = R + R = 3 R = 3 6,37 10⁶ [m] = 1,91 10⁷ m = g 0 R m 3 R = g 0 R m = E p s 3 = 6, J =, J 3 3 Paa calcula la enegía cinética en la óbita necesitamos calcula la velocidad obital. La velocidad de un satélite que gia a una distancia alededo del cento de un asto de masa M es: Se sustituye G M po g₀ R² en la ecuación de la velocidad, y queda = g 0 R g 0 R 3 R = g 0 R 3 = 9,80 [m/s ] 6, [m] =4, m/ s=4,56 km /s 3 Análisis: Se espea que un satélite en óbita alededo de la iea tenga una velocidad de algunos km/s. El esultado está está de acuedo con esta suposición. La enegía cinética en óbita es: La enegía mecánica en óbita valdá E (óbita) = m v² / = [1,00 10³ [kg] (4,56 10³ [m/s])²] / = 1,04 10¹⁰ J E(óbita) = E (óbita) + Eₚ(óbita) = 1,04 10¹⁰ [J] + (-,08 10¹⁰ [J]) = -1,04 10¹⁰ J Análisis: La enegía mecánica tiene el valo opuesto al de la enegía cinética La enegía que hay que comunicale al satélite en la supefcie de la iea es la difeencia ente la que tendá en óbita y la que tiene en el suelo: b) La fueza centípeta es: E = E(óbita) E(suelo) = -1,04 10¹⁰ (-6,4 10¹⁰ J) = 5,0 10¹⁰ J ª Paa un sistema de efeencia en el cento de la iea, cualquie punto de la supefcie tiene velocidad debido a la otación teeste. La velocidad de un punto de la supefcie teeste vale: v = ω R = π R / = 463 m/s. Paa un objeto de 1000 kg, la enegía cinética seía E = ½ m v² = 1,07 10⁸ J mucho meno que el valo absoluto de la enegía potencial (6,4 10¹⁰ J)

23 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 3 F =m a N =m v =m g 0 R 3 3 R = m g 0 = 1, [ kg] 9,80 [ m/s ] =1, N 9 9 c) El peíodo se calcula a pati de la expesión de la velocidad en el movimiento cicula unifome: = π v = 3,14 1, [m] =, s=7 h 18 min 7, [m/ s] 8. Cees es el planeta enano más pequeño del sistema sola y tiene un peíodo obital alededo del Sol de 4,60 años, una masa de 9,43 10²⁰ kg y un adio de 477 km. Calcula: a) El valo de la intensidad del campo gavitatoio que Cees cea en su supeficie. b) La enegía mínima que ha de tene una nave espacial de 1000 kg de masa paa que, saliendo de la supeficie, pueda escapa totalmente de la atacción gavitatoia del planeta. c) La distancia media ente Cees y el Sol, teniendo en cuenta que la distancia media ente la iea y el Sol es de 1,50 10¹¹ m y que el peíodo obital de la iea alededo del Sol es de un año. Dato: G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ² (P.A.U. Set. 14) Rta.: a) g = 0,77 m/s²; b) E = 1,3 10⁸ J; c) = 4,15 10¹¹ m Datos Cifas signifficativas: 3 Peíodo obital de Cees ₁ = 4,60 años = 1,45 10⁸ s Masa de Cees M = 9,43 10²⁰ kg Radio de Cees R = 477 km = 4,77 10⁵ m Masa de la nave espacial m = 1000 kg Distancia de la iea al Sol ₂ = 1,50 10¹¹ m Peíodo obital de la iea ₂ = 1,00 años = 3,16 10⁷ s Constante de la gavitación univesal G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ² Inficógnitas Intensidad del campo gavitatoio en la supefcie de Cees g Enegía de la nave espacial en la supefcie de Cees paa escapa E Distancia media ente Cees y el Sol ₁ Otos símbolos Masa del Sol M Eficuaficiones Velocidad de un satélite a una distancia del cento de un asto de masa M Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio y peíodo π Ley de Newton de la gavitación univesal (fueza que ejece un planeta esféico sobe un cuepo puntual) F G =G M m Enegía cinética E = ½ m v² Enegía potencial gavitatoia (efeida al infnito) E p = G M m Enegía mecánica E = E + Eₚ Solufición: a) La intensidad del campo gavitatoio ceado po la masa esféica M del planeta (enano) Cees en su supefcie, a una distancia R de su cento es la fueza gavitatoia sobe la unidad de masa: g = F G M m G m = R m =G M R =6, [N m kg 9, [kg ] ] =0,77 m (4, /s [ m]) b) La enegía potencial de la nave espacial en la supefcie de Cees valdá:

24 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 4 E p = G M m = 6, [N m kg ] 9, [kg ] 1000 [kg ] = 1, [ J] 4, [m] La enegía mecánica es la suma de las enegías cinética y potencial. La enegía potencial de la nave espacial a una distancia muy gande de Cees seá nula. La enegía mínima que ha de tene en la supefcie seá la que coesponde a una enegía cinética nula muy lejos de Cees. Po tanto la enegía mecánica que tendá la nave espacial muy lejos de Cees seá nula. La enegía que ha tene seá: ΔE = E Eₚ = 0 (-1,3 10⁸ [J]) = 1,3 10⁸ J c) anto la iea como Cees desciben tayectoias apoximadamente ciculaes alededo del Sol, pudiéndose considea satélites del mismo. La velocidad de un satélite que gia a una distancia alededo del cento de un asto de masa M es: La velocidad en un movimiento cicula unifome de adio y peíodo es: π Sustituyendo esta expesión en la anteio y elevando al cuadado queda ( π ) = G M Reodenando 3 = G M 4 π Aplicando esta ecuación tanto a la iea como a Cees y dividiendo una ente la ota quedaía la tecea ley de Keple Aplicando esta ley ente la iea y Cees La distancia media de Cees al Sol vale = =(1, [m ]) 3 (4,60 [ año]) (1 [ año]) 1 =1, [ m] 3 4,60 =4, m Análisis: El adio calculado de la óbita de Cees sale mayo que el de la iea, como cabe espea. (₁ = 4,15 10¹¹ m) > (₂ = 1,50 10¹¹ m) 9. El vehículo espacial Apolo VIII estuvo en óbita cicula alededo de la Luna a 113 km sobe su supeficie. Calcula: a) El peíodo de la óbita. b) Las velocidades lineal y angula del vehículo. c) La velocidad de escape a la atacción luna desde esa posición. Datos: G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ²; R(Luna) = 1740 km; M(Luna) = 7,36 10²² kg (P.A.U. Jun. 15) Rta.: a) = 1 h 59 min; b) v = 1,63 km/s; ω = 8,79 10 ⁴ ad/s; c) vₑ =,38 km/s Datos Cifas signifficativas: 3 Masa de la Luna M = 7,36 10²² kg

25 Física P.A.U. GRAVIACIÓN 5 Datos Cifas signifficativas: 3 Radio de la Luna R = 1740 km = 1,74 10⁶ m Altua de la óbita h = 113 km = 1,13 10⁵ m Constante de la gavitación univesal G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ² Inficógnitas Peíodo de la óbita Valo de la velocidad lineal del satélite v Velocidad angula del satélite ω Velocidad de escape en la Luna vₑ Otos símbolos Masa del satélite m Eficuaficiones Velocidad de un satélite a una distancia del cento de un asto de masa M Velocidad en un movimiento cicula unifome de adio y peíodo π Enegía cinética de un objeto de masa m que se mueve a la velocidad v E = ½ m v² Enegía potencial gavitatoia de una objeto de masa m situado a una distancia del cento de un asto de masa M (efeida al infnito) p = G M m E Enegía mecánica E = E + Eₚ Solufición: b) El adio de la óbita del Apolo VIII es: = R + h = 1,74 10⁶ [m] + 1,13 10⁵ [m] = 1,85 10⁶ m La velocidad de un satélite que gia a una distancia alededo del cento de un asto de masa M es: = 6, [ N m kg ] 7,36 10 [kg ] =1, m/s=1,63 km /s 1, [ m] a) El peíodo se calcula a pati de la expesión de la velocidad en el movimiento cicula unifome: b) La velocidad angula es = π v = 3,14 1, [m] =7, s=1 h 59 min 1, [ m/s] ω = π = 3,14 7, [s] =8, ad/s c) La velocidad de escape es la velocidad mínima que hay que comunicale a un objeto en eposo sobe la supefcie de la Luna paa que llegue a una distancia «infnita» del cento de la Luna. Despeciando las inteacciones de los demás objetos celestes y teniendo en cuenta que la fueza gavitatoia es una fueza consevativa, se aplica el pincipio de consevación de la enegía mecánica ente la supefcie de la Luna y el infnito. (E + Eₚ) L = (E + Eₚ) Al se la velocidad de escape una velocidad mínima, se toma que el objeto llega al infnito con velocidad nula. Como el oigen de enegía potencial gavitatoia está en el infnito, la enegía potencial gavitatoia de un objeto en el infnito es nula. 1 m v e+( G M m R ) =0 Despejando la velocidad de escape vₑ v e = G M R = 6, [N m kg ] 7,36 10 [ kg] 1, [ m] =, m /s=,38 km/ s