Cinemática del Sólido Rígido (SR)

Transcripción

1 Cinemática del Sólido Rígido (SR) OBJETIVOS Intoduci los conceptos de sólido ígido, taslación, otación y movimiento plano. Deduci la ecuación de distibución de velocidades ente puntos del SR y el concepto de cento instantáneo de otación. Pode esolve las velocidades de puntos del SR y la ω en algunos movimientos planos. DESARROLLO Concepto de sólido ígido Definimos un SR como un sistema de patículas en el que la distancia ente dos patículas cualesquiea del sistema pemanece invaiante en el tanscuso del tiempo. y Matemáticamente podemos escibi esta condición po: i j = cte ij = cte ( i j ) 2 = cte k j i x z

2 Condición cinemática de igidez El movimiento de los puntos del sólido no es totalmente libe debido a la condición de igidez. Podemos obtene una condición ente velocidades deivando la condición de igidez: ( i j ) 2 = cte d ( i j ) 2 = 0 d ( i j ) 2 = 2 ( i j ) [ d i d ] j = 0 Ninguno de los vectoes de la ecuación anteio es necesaiamente ceo ni las estas que apaecen, po lo que debe se ceo el poducto escala: [ d i ( i j ) d ] j = 0 ij ( v i v j = 0 ij v i = ij v j ij v ij = 0 Esta última condición ecibe el nombe de condición cinemática de igidez y tiene una intepetación geomética claa: Las poyecciones de los vectoes velocidad v i y v j sobe la ecta que une el punto i y j del sólido son iguales. v v

3 Movimiento de taslación del SR Definición Un SR ealiza una taslación cuando un segmento ectilíneo definido po dos puntos cualesquiea del sólido pemanece paalelo a si mismo duante el movimiento Ve que esta definición incluye tanto movimientos ectilíneos como algunos cuvilíneos. Matemáticamente podemos deduci paa una taslación: d ( i j ) = 0 = v i = v j Es deci, en una taslación todos los puntos del sólido tienen la misma velocidad (y po lo tanto la misma aceleación) Basta con conoce el movimiento de un punto del sólido paa descibi completamente una taslación.

4 Movimiento de otación del SR Definición Un SR ealiza una otación alededo de un eje cuando todos sus puntos desciben tayectoias ciculaes centadas en dicho eje y contenidas en planos pependiculaes a este. El eje de otación puede atavesa el SR o se exteio al este. C C Paa descibi matemáticamente el movimiento de los puntos en una otación podemos usa el vecto velocidad angula de la otación: Todos los puntos hacen una otación con la misma ω ω v La velocidad de cada punto vendá dada po: v i = ω i Es deci, un movimiento de otación queda deteminado completamente po el vecto velocidad angula ω Basta con conoce el vecto ω y su ecta de aplicación paa detemina completamente el movimiento de todos los puntos del SR en una otación.

5 Movimiento plano del SR Definición Un SR ealiza una movimiento plano si todos los puntos del SR se mueven descibiendo tayectoias que están contenidas en planos paalelos ente sí y que son a su vez paalelos a un plano de simetía del sólido. Un cuepo plano que se mueve en el plano que contiene al cuepo siempe ealiza un movimiento plano. En Física I nos limitaemos a estudia el movimiento plano. Ve que en el movimiento plano los vectoes ω y α siempe seán pependiculaes al plano del movimiento. ω v C

6 Distibución de velocidades en puntos del SR Veemos ahoa que cualquie movimiento de los puntos de un SR se puede epoduci mediante la suma de una taslación más una otación. M Sea F un sistema fijo y M un sistema que se mueve como el SR. y Paa las velocidades v A y v B tenemos: v A = d A v B = d B F F z B y x F AB A z x Paa elaciona v A con v B haé uso de la identidad vectoial B = A + AB y del opeado deivada en base móvil. v B = d B = d( A + AB) F = d A F F + d AB F = v A + d AB + ω AB M Como el vecto AB está fijo en la base M su deivada es ceo y nos queda finalmente: v B = v A + ω AB Esta ecuación es válida paa cualquie pa de puntos del SR, y paa cada uno habíamos obtenido ecuaciones similaes: v B v C v E = v A + ω AB = v A + ω AC = v A + ω AE Estas fomulas demuestan que el movimiento de todos los puntos del SR se puede obtene mediante la suma de una taslación definida po v A más una otación definida po ω.

7 Cento instantáneo de otación CIR Se puede demosta que cualquie movimiento plano de un SR plano es una otación instantánea alededo de un punto del espacio. Esto es una consecuencia inmediata de la fómula v B = v A + ω AB y del hecho que ω es pependicula al plano del movimiento y po lo tanto a v A, v B y AB. Sea v B la velocidad de un punto cualquiea del un SR en movimiento plano. Relacionemos ahoa v B con la velocidad de oto punto situado en la ecta pependicula a v B y que pasa po B. Como ω sale pependiculamente del papel ω AB ya tiene la diección y el sentido de v B. Ajustando la distancia AB podemos hace también que ω AB = v B. v B En este caso la expesión v B = v A + ω AB nos indica que la velocidad de A es ceo. La velocidad de cualquie oto punto del SR viene dada entonces po: v B v C v E = ω AB = ω AC = ω AE Lo que indica que todos los puntos del SR hacen una otación (al menos instantáneamente) especto del punto A. El punto A ecibe el nombe de Cento Instantáneo de Rotación (CIR)

8 Popiedades del CIR Todos los puntos ealizan instantáneamente una otación (sin taslación) alededo del CIR. El CIR puede se un punto del SR, peo también puede esta fuea del SR. En un movimiento plano el CIR siempe existe, peo puede cambia su localización con el tiempo. Paa localiza el CIR, basta con taza las pependiculaes a la velocidad de dos puntos del SR y ve donde se cotan. El punto donde se coten es el CIR. Si el sólido tiene un punto fijo, éste seá el CIR. El módulo de la velocidad de cada punto es v = ω d, donde d es la distancia del punto al CIR. A más distancia de un punto al CIR, mayo seá el módulo de su velocidad.