LEY DE GAUSS. Este enunciado constituye en realidad una de las principales leyes del Electromagnetismo.

Transcripción

1 LY D GAU La ley de Gauss es un enunciado ue es deivable de las popiedades matemáticas ue tiene el Vecto de intensidad de Campo léctico con especto a las supeficies en el espacio. ste enunciado constituye en ealidad una de las pincipales leyes del lectomagnetismo. De manea simplista, esta ley se deduce a pati (como ya mencionamos), de las popiedades matemáticas del Campo léctico. n el Campo léctico más sencillo, o sea, el oiginado po una caga puntual, sabemos ue el Campo Vectoial de Vectoes de Intensidad de Campo léctico es dado po: 1 ( x, y, z) = 4πε 0 cuando la caga se supone colocada en el oigen del sistema coodenado. De manea Geneal, se denomina FLUJO D UN CAMPO VCTORIAL ( x, y, z) a tavés de una supeficie, al valo ue toma la "integal vectoial de upeficie" siguiente: Φ V = V ( x, y, z) d 3 V y d n la figua anteio se epesentan los vectoes paa los puntos P, M, R, T, W sobe una cieta supeficie dento del campo eléctico de influencia de la caga Q, así como los ángulos ue hacen esas paejas de vectoes ente ellos, paa cada uno de esos puntos P, M, R, T, W. Los elementos de supeficie supuestos de dimensiones difeenciales son señalados en la figua con colo ojo. Los puntos P, M, R, T, W son los centos de los elementos difeenciales escogidos paa ejemplifica la situación en la figua.

2 l Flujo del Vecto de Intensidad de Campo léctico es entonces la suma total de los poductos escalaes d evaluados paa el cento de cada elemento difeencial de supeficie sobe el áea de integación. e supone ue el vecto de intensidad de campo eléctico tiene el mismo valo paa todos los puntos de cada elemento difeencial supeficial, poue éste es infinitesimalmente peueño. d l Vecto tiene una magnitud ue se identifica con la del áea del elemento infinitesimal de supeficie, su diección es pependicula al elemento de supeficie. y d Lo anteio oigina ue el ángulo ente vaíe de elemento a elemento difeencial sobe la supeficie de integación. Como d ( ) cumple ue d = d cos θ, donde cos(θ), es el ángulo ente y d, se tienen las siguientes situaciones: i el ángulo θ es agudo, 0 < θ <90, el valo del poducto escala d es positivo. i el ángulo θ es obtuso, 90 < θ <180, el valo del poducto escala d es negativo. i el ángulo θ es nulo, θ = 0, el valo del poducto escala d es máximo. i el ángulo θ es ecto, θ = 90, el valo del poducto escala d es nulo. n el pimeo de los casos anteioes, el Flujo del Campo léctico nos habla de ue el Campo ataviesa hacia fuea la supeficie de integación, es deci, "sale" de la supeficie y como el poducto es positivo, diemos ue el flujo positivo se encuenta cuando "sale" de la supeficie, como se ve en la Figua siguiente:

3 n el segundo de los casos anteioes, el Flujo del Campo léctico nos habla de ue el Campo ataviesa hacia dento la supeficie de integación, es deci, "enta" a la supeficie y como el poducto es negativo, diemos ue el flujo negativo se encuenta cuando "enta" a la supeficie, como se ve en la Figua siguiente: n el tece caso, el ángulo θ es nulo, (θ = 0 ), el valo del poducto escala d es máximo poue el cos (θ) tiene su valo máximal igual a uno. n este caso el vecto de intensidad de campo eléctico en el d elemento infinitesimal de supeficie es paalelo al vecto difeencial de supeficie, y como se obseva en la figua, el flujo es el máximo poue pasa en su totalidad a tavés de la supeficie de integación.

4 n el cuato caso, el ángulo θ = 90, el valo del poducto escala d es mínimo (nulo), poue el cos (θ) tiene su valo mínimo igual a ceo. n este caso el vecto de intensidad de campo eléctico en el d elemento infinitesimal de supeficie es pependicula al vecto difeencial de supeficie, y como se obseva en la figua, el flujo es el mínimo poue no ataviesa de ninguna foma a la supeficie de integación. Los casos anteioes nos pemiten escibi: La Integal de Flujo paa una supeficie sobe la cual "sale " el Flujo, es positiva: d > 0 La Integal de Flujo paa una supeficie sobe la cual "enta " el Flujo, es negativa: d < 0 La integal de Flujo sobe una supeficie en la cual los vectoes y d son pependiculaes en todos los elementos infinitesimales de la supeficie de integación es nula: d = 0

5 La pime evaluación lógica de la integal de Flujo ue puede suponese Gauss ealizó, fue la de la integación sobe una esfea centada en el oigen del Campo léctico ceado po una caga puntual colocada en ese mismo punto oigen del sistema coodenado. n la figua siguiente, se muesta la situación en el pime octante del sistema coodenado. n esa figua se obseva ue el vecto de intensidad de campo eléctico es constante en magnitud (peo no en diección), aunue es adial, mientas ue la difeencial de supeficie también es adial. Obseva ue el vecto de posición del punto medio de cada elemento difeencial de supeificie es paalelo al vecto de intensidad de campo eléctico y al vecto difeencial de supeficie. y d n todos los puntos de la esfea los vectoes son paalelos, po ello su poducto es máximo y positivo po foma un ángulo agudo. Po ello, el flujo "sale" de la esfea. Y su valo es dado po la integal de: d = d cos (0 ) = d peo como el vecto de intensidad de campo eléctico tiene magnitud unifome sobe la esfea, entonces es constante y tenemos: Φ = d = d = esfea esfea esfea adio ( ) adio ( ) adio ( ) d

6 es necesaio indica ue la integal consecuencia: esfea adio() d no es ota cosa ue el áea de la supeficie total de la sfea, en de tal manea ue la Integal de flujo cumple: esfea adio( ) d = 4π 2 Φ = d = 4π esfea adio ( ) 2 Como la magnitud del Vecto de Intensidad de Campo léctico es: 1 = 4πε 0 2 entonces la integal de Flujo cumple: Φ d 1 π 2 = = (4 ) = 2 4πε esfea 0 adio ( ) cuación ue nos indica sopendentemente ue la integal de flujo sólo depende de la caga eléctica enceada po la esfea donde se ealizó la integación y de la pemitividad en el vacío: ε 0 Φ = d = esfea adio ( ) Po el nivel de este cuso no ealizaemos las integaciones espectivas, peo aseguamos lo siguiente: ε 0 i se ealiza la integación, peo ahoa descentando la sfea de integación, el esultado es el mismo:. ε 0 i se ealiza la integación sobe un cubo ceado centado en la caga eléctica, el esultado sigue siendo el mismo:. ε 0

7 i se descentaa ese cubo, el esultado de la integación continuaía siendo: i se cambiaa la supeficie de integación po ejemplo, con un elipsoide de evolución centado en la caga, el esultado no cambiaía y seguiía siendo el mismo:. De esto se deduce la conclusión a la ue llegó Gauss: ε 0. ε 0 i se esuelve la Integal de Flujo sobe una supeficie Ceada (denominada comunmente bajo el nombe de "supeficie gaussiana"), y esa supeficie enciea la caga puntual "" ue poduce el campo eléctico, entonces cualuiea ue sea la foma de esa supeficie de integación Gaussiana, siempe daá como esultado:. s deci: ε 0 " l Flujo a tavés de cualuie upeficie Gaussiana ue enciea a una caga puntual ue poduce el Campo léctico, siempe tiene el valo: ; cualuiea ue sea la foma de esa supeficie, con la sola esticción de ue ella sea ceada" a esta aseveación se le denomina Ley o Teoema de Gauss. ε 0 ALGUNO CAO PARTICULAR INTRANT D LA LY D GAU s inteesante analiza la situación en ue la caga eléctica ue genea el campo, no está dento de la upeficie Gaussiana sobe la ue se evalúa la Integal de Flujo: Paa ilusta la situación, pesentamos el caso de una caga puntual fuea de una esfea ceada consideada como supeficie gaussiana. n este caso, se obseva en la figua ue sobe una pate de la supeficie, el Flujo "enta" y sobe la ota, el flujo "sale". Paa la zona en ue el flujo peneta, el ángulo ente la difeencial de supeficie y el campo eléctico es obtuso, mientas ue paa la zona en la ue sale, el ángulo es agudo, po lo tanto en una zona el flujo es positivo y en la ota es negativo, evidentemente, al suma el flujo de esas dos zonas se intuye ue el valo del flujo total es ceo, (aunue no ealicemos la integación). Las figuas siguientes pemiten claifica ue en ealidad el flujo enta o sale de la egion de integación analizada. No ealizamos la integación poue seía más dificil evalualo y didácticamente no nos apotaía infomación sobesaliente.

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9 Podíamos visualiza la misma situación si evaluáamos el flujo en el caso de un campo eléctico unifome ue ataviesa un cubo, el cual tiene dos de sus caas pependiculaes a la diección del vecto de intensidad de campo eléctico, como el ue se muesta en la figua siguiente: Las caas paalelas al Campo léctico Unifome podemos denominalas 1, 2, 3 y 4, paa todas ellas, el Vecto de Intensidad de Campo léctico es el mismo, peo el vecto difeencial de supeficie es pependicula a él sobe cualuiea de las caas como se obseva en la figua siguiente:

10 Paa cada una de esas caas, el Vecto de intensidad de Campo léctico es pependicula al vecto difeencial de supeficie, po ello, d = d cos (90 ) = 0 en consecuencia la integal de Flujo sobe cada una de las supeficies 1, 2, 3 y 4 cumple: d = d = d = d = Paa las caas pependiculaes al Vecto de Intensidad de Campo léctico, el vecto difeencial de supeficie es paalelo al Vecto de Intensidad de Campo léctico. A una de esas supeficies la denominamos 5 y la ota 6 como se muesta en la siguiente figua: 3 4 n la figua, sobe la supeficie 5 el vecto de intensidad de campo eléctico y la difeencial de supeficie foman un ángulo de 180, mientas ue sobe la 6, el ángulo es de 0, en consecuencia el poducto escala d paa la pimea es negativo, y paa la segunda positivo. Po lo tanto la integal de supeficie paa esas áeas es tal ue:

11 5 d = con A = aea de cada caa del cubo d = d cos(0 ) = d = A 6 d cos(180 ) = ( 1) d = s 5 d = A A pati de este esultado, podemos deduci ue la integal de flujo sobe todo el cubo ue estamos tatando, cumple: d= d + d + d + d + d + d = cubo d = A+ A= cubo lo ue muesta con oto ejemplo mas ue: "La integal de Flujo sobe una supeficie Gaussiana ue se encuenta dento del Campo léctico ceado po cagas extenas a esa supeficie Gaussiana es nulo" Debido a estos esultados, la Ley de Gauss en su foma integal, dada po d = ε 0 debe intepetase de la manea siguiente: La caga "" debe tomase como "la caga neta enceada po la supeficie Gaussiana", ya ue las cagas extenas a la supeficie, contibuyen al flujo sobe esa supeficie con valoes nulos. n consecuencia, sólo son de inteés paa el flujo de campos elécticos de una supeficie Gaussiana, las cagas ue se encuentan dento de ellas. Debiendo defini la Ley de Gauss como sigue: " l Flujo del Campo léctico a tavés de cualuie upeficie Gaussiana ue enciea una caga neta, tiene el valo: " Obsevamos ue aún en el caso en ue la caga "" sea ceo esta Ley es cieta. ε 0

12 UTILIDAD D LA LY D GAU La Ley de Gauss es muy útil paa detemina el valo del Campo de Vectoes de Intensidad de Campo léctico cuando el sistema de cagas ue lo genean es tal ue el campo pesenta alguna simetía geomética, es deci, pesenta simetía geomética esféica, cilíndica, etc. Analizamos enseguida algunos casos clásicos e impotantes: Campo alededo de una línea de caga con distibución lineal de caga unifome. n nuesto análisis del Vecto de Intensidad de Campo léctico alededo de distibuciones de caga continuas se estudió esta distibución de caga eléctica, y las conclusiones más impotantes fueon: - l Vecto de intensidad de campo eléctico en todo punto alededo de una línea de caga es pependicula al eje de esa línea, y toma una diección adial especto al eje. - l vecto de intensidad de campo eléctico tiene una magnitud constante sobe auellos puntos ue euidistan del eje de la línea de caga. - n consecuencia el Vecto de Intensidad de Campo léctico pesenta simetía cilíndica. La Figua 51, ue epetimos en esta opotunidad, nos claifica las conclusiones asentadas anteiomente.

13 Nos inteesa en este momento ue la magnitud del vecto de intensidad de campo eléctico tiene una estuctua matemática ue implica ue sólo depende de la coodenada (distancia desde el eje de simetía de la línea de caga), es deci: = ( ) Y po lo tanto el vecto de intensidad de campo eléctico en coodenadas cilíndicas tiene la estuctua matemática: = ( ) ê donde el vecto ê es el vecto unitaio en coodenadas polaes paalelo a la diección adial hacia fuea del eje de simetía, la figua siguiente muesta las coodenadas cilíndicas y cual seía la diección de l eje Z coincide paa nuesto poblema, con la diección de la línea de caga. Paa enconta el Vecto de Intensidad de Campo léctico, utilizando el Teoema de Gauss es necesaio elegi una supeficie Gaussiana adecuada, en nuesto caso, ella es un cilindo cuyo eje de simetía coincida con la línea de caga como se muesta en la figua siguiente, en ella apovechamos paa epesenta los vectoes difeencial de supeficie sobe un punto cualuiea sobe la supeficie Gaussiana y el Vecto de Intensidad de Campo eléctico en esa localidad.

14 La supeficie Gaussiana debe se ceada, po ello debe contene las "tapas" del cilindo, es deci las dos supeficies ciculaes planas lateales y pependiculaes al eje de simetía: obe las supeficies 2 y 3 se obseva ue los vectoes de Intensidad de Campo léctico y difeencial de supeficie son pependiculaes en todos sus puntos, po ello el poducto escala de esos vectoes es nulo, es deci: d =0

15 d = mientas ue sobe la supeficie 1, esos vectoes son paalelos y su poducto escala es máximo y tal ue: d y con la condición de ue el vecto de Intensidad de Campo léctico es de magnitud unifome. n consecuencia la integal de Flujo sobe la supeficie Gaussiana ue hemos elegido cumple: debido a ue cilindo las integales sobe 2 y 3 cumplen: d = s d + d + 1 s2 s3 d d paa 1, con = cte. d = 0 paa 2 y 3 0 d = d = 0= 2 3 mientas ue paa la integal sobe la supeficie 1, se tiene ue el vecto de intensidad de campo eléctico tiene magnitud constante, mientas ue la integal sobe la supeficie 1 de la difeencial de supeficie, no es ota cosa ue el aea de la popia supeficie 1, entonces se tiene: d = d = d = ( aea de como el áea de 1 es la supeficie de la pate edonda del cilindo, ella es obtenida entonces po: ) en consecuencia, aea de 1 1 = 2π R h d = 2π R h de ahí ue la integal de Flujo sobe toda la supeficie Gaussiana tiene el valo: cilindo d = 2π R h La caga total enceada po la supeficie Gaussiana es apenas una peueña pate de la caga total de la línea infinita, y es la caga ue se enceuenta en la longitud "h" ue se encuenta enceada po la supeficie Gaussiana. n vitud de ello, la caga total enceada se obtiene multiplicando la densidad de caga lineal λ y la longitud "h" de la caga enceada. n consecuencia, la caga total enceada Q es: Q = λ h Usando el Teoema de Gauss ue indica ue la Integal de Flujo se identifica con el cociente de la caga neta enceada dividida po ε 0, tenemos:

16 cilindo Q d = 2π R h = ε 0 λ h = ε 0 de donde se obtiene la elación: λ h 2π R h = ε de donde evidentemente se puede elimina "h" y despeja la magnitud del vecto de intensidad de campo eléctico: 0 λ = 2 π ε 0 R ue da el valo de la magnitud del Vecto de Intensidad de Campo léctico, sabiendo ue su diección es adial al eje de simetía y po ello, paalelo al vecto unitaio ê. ste esultado es obtenido de manea más simple ue con la técnica de evaluación po integación diecta de las cagas elécticas ue componen la línea de caga infinita.

17 Añadi una figua plana cuyo ds es pependicula al campo. Después la figua plana con ds paalela a