z Región III Región II Región I

Transcripción

1 Capacito de placas ciculaes - solución completa amos a calcula el potencial electostático en todo el espacio paa un capacito de placas ciculaes y paalelas. Las placas conductoas están ubicadas en z = ±l/2, donde la placa supeio tiene potencial y la infeio. z Región III + Región II Región I z = L/2 z = L/2 Paa esolve el poblema a tavés de la ecuación de Laplace, sepaamos el poblema en tes egiones: (I) z < l/2, (II) z < l/2 y (III) z > l/2. Las condiciones de contono que debe veifica el potencial son las siguientes: 1. Potencial finito cuando z (1.A) y = (1.B). 2. Potencial continuo paa todo en z = l/2 (2.A) y z = l/2 (2.B). 3. Potencial sobe los discos: Φ(z = l/2) = (3.A) y Φ(z = l/2) = (3.B). 4. Deivada nomal continua si > a: z Φ II z Φ III] z=l/2 = (4.A) y z Φ I z Φ II] z= l/2 = (4.B). 5. Discontinuidad de la deivada nomal si < a. Esto da la caga inducida sobe las placas del capacito. La condición (5) no es útil poque, de antemano, no se conoce cuál es la caga sobe las placas conductoas. Peo además, no es posible impone simultáneamente una condición de Diichlet y una de Neumann a un contono, ya que la cantidad de caga en el conducto dependeá del potencial al que se lo fije. El potencial más geneal que se puede popone es el siguiente: Φ kν () = α ν J ν (k) + β ν N ν (k)] A ν e ıνθ + B ν e ıνθ] A k e kz + B k e kz] 1

2 Como el poblema tiene simetía de otación el potencial debe se independiente de θ, entonces ν =. Además, como no hay condiciones de contono nulas ni en la diección vetical ni en la adial, los valoes que toma k son continuos. El potencial electostático entonces esulta: Φ() = α J (k) + β N (k)] A(k)e kz + B(k)e kz] Hay tes familias de coeficientes incógnitas a detemina: {α, β ; A(k), B(k)} en cada egión del espacio sepaado po las placas. Las condiciones de contono ián deteminando cada una de estos coeficientes. 1. Potencial finito: (1.A) cuando z, entonces: A III (k) = B I (k) = ; (1.B) cuando =, entonces: todos los β se anulan. El potencial es entonces: Φ III () = Φ II () = Φ I () = B III (k)e kz J (k), z > l/2 A II e kz + B II (k)e kz] J (k), z < l/2 A I (k)e kz J (k), z < l/2 (1) (2) 2. Potencial continuo: (2.A) en z = l/2 B III (k)e kl/2 J (k) = A II e kl/2 + B II (k)e kl/2] J (k) Igualando a ceo y usando la elación de otogonalidad de las funciones de Bessel tenemos que { B III (k)e kl/2 A II e kl/2 B II (k)e kl/2] } J (k) = 1 k δ(k k ) Entonces: B III (k) = A II (k)e kl + B II (k). B III (k)e kl/2 A II e kl/2 B II (k)e kl/2] J (k) = d J (k ) 2

3 (2.B) De la misma manea se muesta que A I (k) = A II (k) + B II (k)e kl. Re-escibiendo el potencial tenemos: Φ III () = Φ II () = Φ I () = A II (k)e k(l z) + B II (k)e kz] J (k), z > l/2 A II (k)e kz + B II (k)e kz] J (k), z < l/2 A II (k)e kz + B II (k)e k(l+z)] J (k), z < l/2 (3) (4) Desde ahoa los coeficientes a detemina son A(k) y B(k) (se deja de lado el supa-índice II). 3. y 4. Potencial sobe los discos paa < a y densidad de caga nula paa > a. (3.A) (3.B) Φ(z = l/2) = A(k)e kl/2 + B(k)e kl/2] J (k) =, < a k A(k)e kl/2 J (k) =, > a (5) Φ(z = l/2) = A(k)e kl/2 + B(k)e kl/2] J (k) =, < a k B(k)e kl/2 J (k) =, > a Tenemos apaentemente dos sistemas duales de ecuaciones integales. Esto es apaente poque (3.A) y (3.B) son fomalmente el mismo sistema dual. Po ejemplo, si en (3.B) llamamos B(k) = A (k) y A(k) = B (k), este sistema esulta (6) 3

4 Φ(z = l/2) = A (k)e kl/2 + B (k)e kl/2] J (k) =, < a k A (k)e kl/2 J (k) =, > a que es identico a (3.A) peo con las incógnitas A (k), B (k) en luga de A(k), B(k). Si petendemos que ambos sistemas (el 3.A y el 3.B) se cumplan simultáneamente, debemos identifica A (k) = A(k) y B (k) = B(k). Po lo tanto, debe se A(k) = B(k). Esto esulta lógico ya que la solución ente las placas debe se impa debido a la simetía del poblema. El poblema matemático se educe, po lo tanto, a pode detemina la solución del único sistema dual de ecuaciones integales (7) A(k) sinh(kl/2) J (k) = /2, < a k A(k)e kl/2 J (k) =, > a (8) Llamando C(k) = k A(k)e kl/2 y adimensionalizando las vaiables po medio del cambio u = ka esulta du u C(u/a) du C(u/a) 1 e ul/a ] J (u/a) = 1, J (u/a) =, Sneddon muesta que este sistema tiene solución y que ésta vale a < 1 a > 1 (9) C(u/a) = 2u π 1 f(t) cos(ut) dt (1) donde 1 ] f(t) = 1 + dx ( 1) n K n (t, x) 1 n=1 (11) y K n (t, x) son funciones que se obtienen po ecuencia del siguiente modo K 1 (t, x) = 1 π l/a 1 (l/a) 2 + (t x) 2, K n (t, x) = dx K 1 (t, x ) K n 1 (x, x) (12) 1 paa n > 1. Esta es una solución fomal al poblema, peo de difícil implementación páctica. Una pimea apoximación es aquella en que suponemos que l a (las placas esán muy alejadas especto 4

5 de su adio). En ese caso f(t) = 1 y esulta la solución ceada C(u) = 2 π sen (ua) A(k) = 2 π sen (ka) k e kl/2 2 π sen (ka) k (13) donde esta última coincide con la solución de un único disco en el espacio (l ). 5