Ejemplos Ley de Gauss, Fundamentos Físicos y Tecnológicos de la Informática, P. Gomez et al., pp

Transcripción

1 Ejemplos Ley de Gauss, Fundamentos Físicos y Tecnológicos de la Infomática, P. Gomez et al., pp. 5-. Ejemplo 1º. Aplicando el teoema de Gauss halla el campo eléctico ceado po una distibución esféica de caga paa los siguientes casos: a) la caga está distibuida unifomemente en la supeficie esféica de adio R con una densidad b) la caga está distibuida unifomemente en todo el volumen de la esfea de adio R con una densidad. olución: ds E R upeficies gaussianas a) Paa el caso de la distibución supeficial con densidad constante Po la simetía que pesenta la caga no habá ninguna diección pivilegiada po lo que el campo eléctico debeá se necesaiamente adial. Paa detemina el campo en los puntos exteioes e inteioes a la distibución aplicaemos el teoema de Gauss a una esfea concéntica con la distibución, de adio R y de adio R, espectivamente. Campo eléctico en el exteio ( R ): Aplicando el teoema de Gauss a la esfea de adio, y sabiendo que E y ds son colineales y que E cte. paa todos los puntos de la supeficie gaussiana, tendemos: Despejando E, tendemos: E ds E ds E ds E 4 E 1 4 Este esultado nos pemite conclui que el módulo del campo eléctico en los puntos exteioes a la

2 distibución equivale a considea que toda la caga estuviea concentada en un único punto y este fuea el cento de la esfea. Peo, expesemos el campo en función de la densidad supeficial de caga de la esfea de adio R. abemos que la caga total enceada en la supeficie gaussiana de adio es la que contiene la supeficie esféica de adio R, po tanto: ds 4R ustituyendo en la expesión del campo, tendemos: E 1 4R 4 Campo eléctico en el inteio ( R ): R E Aplicando el teoema de Gauss a la esfea de adio, tendemos: E 4, poque no hay ninguna caga enceada en la supeficie gaussiana de adio. Po tanto paa los puntos inteioes a la distibución de caga el campo eléctico seá: E b) Paa el caso de la distibución volumética con densidad constante Campo eléctico en el exteio ( R ): Aplicando el teoema de Gauss a la esfea de adio y despejando E, tendemos: E ds E 4 E 4 Como ea de espea, la expesión del campo eléctico en función de la caga total tiene la misma foma analítica que en al apatado anteio. Peo, expesemos el campo en función de la densidad volumética abemos que la caga total enceada en la supeficie gaussiana de adio es la que contiene en todo su volumen la esfea de adio R. Po tanto, 4 dv R ustituyendo en la expesión del campo, tendemos: V E 1 4 4R R E

3 Campo eléctico en el inteio ( R ): Aplicando el teoema de Gauss a la esfea de adio, tendemos: ' E ds E 4 ' iendo la caga total enceada po la supeficie gaussiana de adio. Po tanto, su valo quedaá deteminado po: 4 ' dv ustituyendo en la expesión anteio y despejando el campo eléctico, obtendemos: V E E i se quisiea expesa este esultado en función de la caga total que posee la distibución volumética de adio R, bastaía con ecoda que 4, con lo que la expesión del campo R quedaía como: E 4 R

4 Ejemplo º. Deteminación del campo eléctico ceado po: a) un plano infinito cagado unifomemente con una densidad supeficial. b) dos planos paalelos e infinitos cagados con densidades supeficiales iguales y opuestas, y. olución: a) Po la simetía que pesenta la distibución de caga sobe el plano se puede afima que las componentes del campo eléctico en cualquie diección que no sea la pependicula al plano se anulaán mutuamente, po lo que necesaiamente el campo esultante seá pependicula a la supeficie del plano y su magnitud seá la misma paa todos los puntos que estén a la misma distancia a ambas lados del plano y su sentido el de alejase de la caga (ve Figua). L L E ds ds E X Tomando el eje X como la diección pependicula al plano el campo eléctico podá expesase como E Eu. x Consideando esta caacteística del campo adoptaemos como supeficie gaussiana un cilindo de base que ataviese pependiculamente al plano y que sobesalga una longitud x a cada lado del plano. Con esta elección de la supeficie gaussiana aseguaemos que el flujo del campo tenga luga únicamente a tavés de las dos bases del cilindo, donde se cumpliá que los vectoes E y ds son colineales y que E cte. paa todos los puntos de la base. Aplicando el teoema de Gauss al cilindo tendemos: E ds E base a) Peo la caga enceada po la supeficie gaussiana seá la que coesponde al áea del plano 4

5 inteceptada po el cilindo, es deci, ustituyendo, y despejando el campo E, obtendemos: base E base base Vectoialmente, E u x Nótese que el módulo del campo eléctico ceado po esta distibución es independiente de la distancia del punto al plano. b) 1 E ( ) E E ( ) ( ) E ( ) ( ) E E ( ) Campo ceado po + Campo ceado po - X E 1 E u x E Campo esultante b) Paa esolve este apatado haemos uso del pincipio de supeposición, es deci, que el campo eléctico en un punto es la esultante de los campos elécticos que cea cada uno de los planos en ese mismo punto. Los dos planos infinitos dividen el espacio en tes egiones (ve Figua), peo po el signo opuesto que pesentan sus cagas, los campos elécticos ceados po cada uno de los planos son iguales en módulo ( E ) en todas las egiones, peo de sentidos opuestos en las egiones 1 y, y del mismo sentido en la egión. Resumiendo, el campo esultante en las tes egiones seá: 5

6 E 1 E E u x Una conclusión impotante de este esultado es que el campo eléctico ceado po dos planos paalelos infinitos cagados unifomemente con cagas iguales y de signo opuesto queda confinado únicamente al espacio compendido ente ellos, siendo el campo unifome y pependicula a dichos planos. 6

7 Ejemplo º. Detemina el campo eléctico poducido po un hilo ectilíneo e infinito, de sección despeciable, que pesenta una distibución lineal de cagas con densidad unifome. olución: Po la simetía que pesenta esta distibución lineal de cagas especto a cualquie plano tansvesal al hilo podemos afima que el campo eléctico seá necesaiamente pependicula al hilo y tendá el mismo valo modula paa todos puntos equidistantes al hilo. Las líneas de campo seán po tanto adiales especto al eje del hilo y tendán el sentido saliente. Consideando estas caacteísticas del campo paece adecuado que paa calcula el flujo de éste, elijamos como supeficie gaussiana a un cilindo, de longitud abitaia L y adio, que tenga po eje el hilo (ve Figua). upeficie gaussiana L u ds E Con esta elección buscamos que el flujo tenga luga solamente a tavés del cuepo del cilindo, cumpliéndose paa todos los puntos de ese cuepo que el módulo del campo E cte. y que los vectoes E y ds son colineales. Nótese que el flujo a tavés de las bases seá nulo po se los vectoes E y ds pependiculaes paa todos los puntos de esas bases. Aplicando el teoema de Gauss al cilindo tendemos: E ds E ds E cil cil. Peo el áea del cilindo cil y la caga enceada en el inteio del cilindo vendán dadas po: cil L y L ustituyendo, y despejando el campo eléctico E, obtenemos: 7

8 L E L E Vectoialmente, seá: E Obsévese que el esultado cooboa la afimación que se hizo al pincipio de que el campo eléctico es adial e igual en módulo paa todos los puntos situados a la misma distancia del hilo. u 8