Ecuaciones generales Modelo de Maxwell

Transcripción

1 Electomagnetismo 212/213 Ecuaciones geneales Modelo de Maxwell Intoducción Fuentes de campo: aga eléctica. oiente eléctica. Ecuación de continuidad. Definición del campo electomagnético. Ecuaciones de Maxwell. Foma Integal. Foma difeencial. Ecuaciones de estado. Influencia sobe los mateiales. lasificación de medios. Ley de Ohm. onstante de elajación. ondiciones en las intefases. Linealidad de las ecuaciones de Maxwell. Balance enegético: Teoema de Poynting. J.L. Fenández Jambina Elmg 2a-1 Intoducción El modelo de Maxwell se compone de las denominadas ecuaciones de Maxwell junto con las ecuaciones de estado. Es un modelo macoscópico: Los mateiales se considean continuos. En ealidad son discetos, cuantificados, peo el elevado númeo de patículas elementales en los ecintos habituales pemite considealos continuos. Hay dos fomas de expesa las ecuaciones de Maxwell: Integal:» Flujos y ciculaciones. Difeencial:» Divegencias y otacionales. Las fuentes del campo son las cagas y las coientes. e suponen conocidos los conceptos de caga y coiente. e epasan los conceptos de densidades de caga y coiente. J.L. Fenández Jambina Elmg 2a-2 Gupo

2 Electomagnetismo 212/213 aga eléctica. e supone conocido el concepto de caga eléctica. El concepto de caga va unido siempe a un ecinto: caácte integal.» Ejemplo: aga contenida dento de un volumen. Unidad: ulombio ó oulomb () Es una unidad muy gande. La caga de un esfea del tamaño de la tiea puesta a 1 es del oden de.7 m e puede considea que los potadoes de caga básicos son los potones, caga positiva, y los electones, caga negativa. En un cuepo descagado la caga de unos y otos se cancela. Los átomos no tienen po qué tene caga nula: iones. En los metales existen electones libes que se pueden desplaza ente una ed de iones. En los semiconductoes existen huecos y electones. J.L. Fenández Jambina Elmg 2a-3 Densidad de caga eléctica volumética. Magnitud difeencial o puntual asociada: Densidad de caga po unidad de volumen: Definición: ρ ( ) q = lim = d O d Unidades: (/m 3 ) Relación con la caga enceada en un volumen: q= = ρ d ( ) J.L. Fenández Jambina Elmg 2a-4 Gupo

3 Electomagnetismo 212/213 Otos tipos de distibuciones de caga aga puntual: Es el modelo simplificado de una caga contenida en un ecinto de dimensiones muy pequeñas fente a la distancia de obsevación. La densidad de caga volumética no está definida en el punto en que se encuenta la caga:» Po muy pequeño que sea el volumen siempe habá una caga q en su inteio: q q ρ( ) = lim = lim = J.L. Fenández Jambina» u densidad se puede epesenta po una δ tidimensional: δ 3 3 δ ( ) = ; 1 ; q 3 q δ ( q) d = q ; q O q ; q 3 q= ρ( ) d = ρ( ) = qδ ( q) ; q Elmg 2a-5 Distibución supeficial de caga. Es un modelo simplificado de una distibución de caga tal que una de sus dimensiones es despeciable fente a la distancia de obsevación. aso típico: caga en la supeficie de un conducto. Densidad de caga supeficial: q 2 ρ ( ) = lim = m d Dificultad: la densidad de caga volumética no está definida en los puntos de la supeficie. d q ρ( ) = lim = lim ρ( ) = d e puede epesenta po una δ. ρ» si la supeficie está definida po u i = u : ρ =δ u u ρ ( ) ( ) ( ) n O d J.L. Fenández Jambina Elmg 2a-6 Gupo

4 Electomagnetismo 212/213 Distibución lineal de caga Es un modelo simplificado de una distibución de caga tal que dos de sus dimensiones son despeciables fente a la distancia al punto de obsevación. aso típico: caga de un hilo conducto. Densidad de caga lineal: dl q ρl ( ) = lim = m O l l dl Dificultad: la densidad de caga volumética no está definida en los puntos de la línea. ρ q ( ) = lim = lim ρ ( ) = L l e puede epesenta po una δ 2 :» si la línea está definida po u i = u l,i y u j = u l,j : =δ u u δ u u ρ ( ) ( ) ( ) ( ) ρ i l. i j l. j L J.L. Fenández Jambina Elmg 2a-7 oiente Eléctica La coiente eléctica es la caga en movimiento. La magnitud utilizada paa la caacteización de la coiente eléctica es la Intensidad de coiente que es la cantidad de caga que ataviesa una supeficie en la unidad de tiempo. (Magnitud integal) I = A La unidad de intensidad de coiente es el Ampeio, Ampèe, que equivale a un flujo de 1 oulomb en 1 segundo. En un metal la velocidad de los electones es vaiable, peo su velocidad media depende del campo eléctico existente: Acelean hasta inteactua (choca) con la ed iónica fija y se fenan. En un electolito existen dos tipos de potadoes, los iones positivos y negativos.» us velocidades medias dependen del campo eléctico peo no tienen po qué coincidi. Oto tanto se puede deci de los semiconductoes. J.L. Fenández Jambina Elmg 2a-8 Gupo

5 Electomagnetismo 212/213 Densidad de coiente volumética aacteiza la coiente eléctica punto a punto. Definición: Es un vecto: d» definición po componentes: I di J = lim = d Unidades: Ampeio/meto 2, es deci, A/m 2 Relación con la intensidad de coiente: I = di = nd ˆ = d OjO $n di Debeía hablase de densidad supeficial de coiente volumética. Densidad supeficial poque es la densidad de flujo de cagas a tavés de una supeficie en la unidad de tiempo. oiente volumética poque las cagas se mueven dento de un volumen. J.L. Fenández Jambina Elmg 2a-9 Densidad de coiente volumética (2) uponiendo un único tipo de potadoes:» densidad de caga asociada: ρ» elocidad media de desplazamiento: v La caga q que ataviesa una supeficie abitaia en un intevalo t a pati de un instante t, es la que en dicho instante está contenida en el volumen : q ρ ρv nd ˆ = lim = lim = =ρv t t d Puesto que la supeficie es abitaia: J =ρv En el caso de vaios tipos de potadoes: J = J i = ρ v Unidades: A/m 2 i i i i OjO v n$ t v t v ρ $n J.L. Fenández Jambina Elmg 2a-1 Gupo

6 Electomagnetismo 212/213 Distibuciones de coiente supeficial La coiente supeficial es una apoximación de una coiente que cicula a tavés de un ecinto de espeso despeciable fente al punto de obsevación. La densidad de coiente supeficial δ> di caacteiza este tipo de distibuciones. I di J = lim = l l dl» l es la intesección de la supeficie po la que cicula la coiente con di = d = δdl la que se utiliza paa el cálculo de dl la intensidad.» $n está contenido en la supeficie po la que cicula la coiente y es nomal a l Unidades: A/m OjO Ampeios/(Unidad de anchua) Relación con la intensidad: J.L. Fenández Jambina I = di = L L J ndl ˆ δ= di di = J dl dl Elmg 2a-11 Distibuciones filifomes. on una apoximación de las coientes que ciculan a lo lago de un ecinto de dimensiones tansvesales despeciables fente a la distancia al punto de obsevación. Ejemplo: coiente que cicula po un hilo conducto. e caacteizan po la intensidad de la coiente que cicula, I, y el vecto unitaio lˆ. lˆ I lˆ I I = s d J.L. Fenández Jambina Elmg 2a-12 Gupo

7 Electomagnetismo 212/213 Ley de consevación de la caga: Ecuación de continuidad Ley de consevación de la caga: La caga no se cea ni se destuye. Ecuación de continuidad en foma integal. I = I + = O d J $n» Paa cualquie volumen la disminución de la caga enceada es igual a la caga que fluye fuea de él, la coiente saliente. Ecuación de continuidad en foma difeencial.» i pemanece fijo en el tiempo: q= J.L. Fenández Jambina I = d = ρd = d Jd ρd = dρ I + d» Y como la integal debe se nula paa cualquie volumen: ρ J + = = ρ J + d = Elmg 2a-13 Definición del campo electomagnético La descipción del campo electomagnético equiee cuato vectoes: E : Intensidad de campo eléctico (/m) D : Densidad de flujo eléctico, Inducción eléctica ó Desplazamiento eléctico (/m 2 ) B : Densidad de flujo magnético (T=wb/m 2 ) H : Intensidad de campo magnético (A/m) La definición es la expesión conocida como fueza de Loentz. i una caga q se mueve a velocidad v en el seno de un campo electomagnético, entonces apaeceá sobe ella una fueza de valo: F = q ( E+ v B) Fuezas sobe distibuciones voluméticas: F = E+ v B= Q Q = ρed + vρ Bd = ρed + J Bd J.L. Fenández Jambina Elmg 2a-14 Gupo

8 Electomagnetismo 212/213 Ecuaciones de Maxwell on cuato. A Maxwell se debe sólo un témino de una de ellas. Ecuaciones de Maxwell Ley de Gauss Ley de Faaday Flujo del campo Magnético Ley de Ampèe Foma Integal d = q E dl = B d T. tokes B d = H dl = I + T. Gauss T. Gauss Foma Difeencial D =ρ B E= B = dt. tokes D H = J + J.L. Fenández Jambina Elmg 2a-15 Ley de Gauss Enunciado: El flujo del vecto de desplazamiento eléctico, D, a tavés una supeficie ceada es igual a la caga contenida en su inteio. d = q d d D $n Es fácil pasa de su foma integal a la difeencial: Paa cualquie volumen que contenga únicamente puntos odinaios: d q= Gauss = Dd ρd Dd = ρd La densidad de caga es la fuente escala del campo D : las líneas tienen su oigen en egiones de caga positiva y su fin en egiones de caga negativa. D =ρ J.L. Fenández Jambina Elmg 2a-16 Gupo

9 Electomagnetismo 212/213 Ley de Faaday Relaciona el campo E con la vaiación tempoal del campo B. La ciculación del campo E a lo lago de un contono es igual a la menos deivada con especto al tiempo del flujo del campo B a tavés de una de las supeficies limitadas po. $n E dl = B d d i se supone que la supeficie pemanece fija y que sólo contiene puntos odinaios: tokes E dl = E d B B = E d = d E= B B d = d La vaiación tempoal de B es fuente vectoial del campo E. J.L. Fenández Jambina Elmg 2a-17 Ecuación del flujo del campo magnético Las líneas de campo magnético son ceadas: Paa toda supeficie: B d = Y si sólo contiene puntos odinaios: B d = Bd = B = Equivale a nega la existencia de monopolos o cagas magnéticas. J.L. Fenández Jambina Elmg 2a-18 Gupo

10 Electomagnetismo 212/213 Ley de Ampèe Relaciona el campo H con la vaiación tempoal del campo D y la coiente. La ciculación del campo H a lo lago de un contono es igual a la deivada con especto al tiempo del flujo del campo D a tavés de una de las supeficies limitadas po más la coiente. $n H dl = I + d d i se supone que la supeficie pemanece fija y que sólo contiene puntos odinaios: tokes H dl = H d = D D D d = d H d = J + d H = J + I = d La vaiación tempoal de D y la densidad de coiente, J,son fuentes vectoiales del campo H. J.L. Fenández Jambina Elmg 2a-19 Ley de Ampèe (2) El témino D es la contibución de Maxwell. e puede justifica su necesidad: upongamos que el campo eléctico es nulo fuea del condensado y escogamos una supeficie que cote al conducto: I = H dl = d J.L. Fenández Jambina 1 i con el mismo contono se escoge una supeficie que que pase ente las amaduas: I H dl d = 2 onsideando que la coiente del caso inicial povoca una acumulación de caga en el condensado es fácil obtene un témino que conduce al esultado coecto: = 1 + q 2 I + = d+ d = = = d+ 2 d = I = 1 1 I q + I 2 I q + I d = 2 d Elmg 2a-2 Gupo

11 Electomagnetismo 212/213 Ley de Ampèe (3) tabajando un poco: ρ J + = J + D= J + D = D=ρ esulta que J y D vaían de foma que se compensan sus vaiaciones desde el punto de vista de cálculo de sus flujos. Así pues es azonable pensa que se puede genealiza la ley de Ampèe clásica de esta foma: H = J? D D H = J + J + = cte Esta fue la apotación de Maxwell. Esta apotación pemitió la pedicción de la popagación de ondas electomagnetismo y fue la confimación expeimental de la existencia de éstas (Hetz 1886) lo que confimó la validez de este témino. J.L. Fenández Jambina Elmg 2a-21 Redundancia en las ecuaciones de Maxwell Existe un cieto gado de edundancia si se considean las ecuaciones de Maxwell junto a la ecuación de continuidad: alculando la divegencia de la Ley de Faaday: E B = E = B B= B= cte = B alculando la divegencia de la Ley de Ampèe: H = D Ec H = J + D. t J J D ( D) + ρ+ t = + = t ont t. ( ρ+ D) = D=ρ+ cte La expeiencia dice que ambas constantes son nulas. J.L. Fenández Jambina Elmg 2a-22 Gupo