CAPÍTULO II LEY DE GAUSS

Transcripción

1 Tópicos de lecticidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. CAPÍTULO II LY D GAUSS La Ley de Gauss pemite detemina el campo eléctico cuando las distibuciones de cagas pesentan simetía, en caso contaio se debe ecui a la Ley de Coulomb... Flujo eléctico l flujo eléctico se define como el númeo de líneas de campo ue ataviesa a una supeficie dada y ue depende unicamente de la caga enceada, el cual está epesentado po la siguiente ecuación: Φ cos θ ds (.) Donde θ es el ángulo ente el vecto campo eléctico y el vecto áea Φ ds ds, luego (.) l flujo eléctico paa una supeficie ceada se expesa como: Φ ds (.).. Ley de Gauss l flujo eléctico poducido po una caga puntual en una supeficie imaginaia ceada (supeficie gaussiana) de adio, se puede calcula con la ecuación (.) obteniéndose: Φ ds Φ La ley de Gauss establece ue el flujo eléctico ue cuza la supeficie gaussiana es igual a la caga neta enceada ( ) po la supeficie po unidad de la constante de pemitividad ( ). enc enc 8

2 Tópicos de lecticidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. La ley de Gauss puede se expesada de foma más geneal de acuedo con la siguiente ecuación: ds d donde d dυ (paa la caga en el volumen υ ), luego También se puede escibi: ds υ dυ ds ds s ds λ dl (paa la caga en una supeficie d ds ) (paa la caga en una línea d λ dl ).. Poblemas esueltos Poblema. sciba la Ley de Gauss (eléctica) en foma difeencial. La ley de Gauss escita en foma integal está dada po Utilizando el teoema de la divegencia ( / ) dυ ds dυ υ ds ( ) dυ υ Compaando las dos últimas ecuaciones, se encuenta 9

3 Tópicos de lecticidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. La expesión anteio, se conoce con el nombe de foma difeencial de la ley de Gauss eléctica, y foma pate de una de las ecuaciones de Maxwell, ue a su vez coesponde a una de las cuato ecuaciones fundamentales del electomagnetismo. Poblema. Detemine el campo eléctico en la vecindad de un conducto de foma abitaia. Consideemos un conducto de foma abitaia como el de la siguiente figua a), sobe el cual ueemos calcula el campo en un punto muy cecano a su supeficie. a) b) Si se considea una supeficie gaussiana de la foma mostada en la anteio b) se tiene ue la caga enceada es ds y aplicando la Ley de Gauss: ds d donde sustituyendo se tiene: d ds ds ds ;

4 Tópicos de lecticidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. como el campo es paalelo al difeencial de supeficie en la vecindad del conducto obtendemos: Obseve ue el campo eléctico paa puntos cecanos a la supeficie es constante. Poblema. Una esfea maciza no conductoa de adio b, con una cavidad esféica de adio a, tiene una distibución unifome de caga y su caga total es Q; Detemina el campo eléctico en las egiones ue se indican: a) < a b) a < < b c) > b. a) Paa < a: Pimeamente se escoge una supeficie gaussiana esféica de adio, y aplicando la Ley de Gauss, ecuación (.6) se tiene ue la caga neta enceada es ceo, entonces,. b) Paa a < < b: Igual ue en (a), se elige una supeficie gaussiana esféica de adio y de la Ley de Gauss: enc ds υ dυ Como la distibución de caga es unifome, entonces: ds υ 4 dυ π ( a ) Dado ue Q (4π /)( b a ) Reemplazando este valo se obtiene Q ( ds ( b a ) ) a

5 Tópicos de lecticidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. Además como ds se tiene ue ds ds y como el modulo del campo eléctico es constante en toda la supeficie gaussiana, luego de donde se encuenta Q ( a ) ( 4π ) ( b a ) 4π Q ( ( b a a ) ) n notación vectoial: 4π Q ( ( b a ) a ) ˆ e c) Paa > b: Se elige también una supeficie gaussiana de adio, la caga neta enceada es Q, entonces: Integando y despejando obtenemos ue ds Q 4π Q Poblema.4 Línea de caga. n la siguiente figua, se tiene una línea de caga de longitud infinita con una densidad lineal de caga λ unifome. Cuál es el campo eléctico, a una distancia de la línea?

6 Tópicos de lecticidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. Una supeficie gaussiana conveniente es un cilindo cicula de adio y una longitud l, como se muesta en la figua anteio. Aplicando la Ley de Gauss: ds λ dl ue se puede desaolla en este caso paa las tes pates del cilindo de la siguiente foma: ds + ds tapas ciculaes sup. cilíndica λ dl paa el pime témino se puede ve ue el poducto punto es ceo ( ds ) tapas, entonces: sup. cilíndica ds l λ dl λ l Dado ue el campo eléctico es constante en la supeficie y ( ds), se encuenta de donde λ l (π l) π λ n notación vectoial: π λ ˆ e Poblema.5 Lámina de caga. Se tiene una lámina delgada no conductoa de dimensiones infinitas con una densidad de caga supeficial (ve figua). Calcúlese el campo eléctico, a una distancia del plano.

7 Tópicos de lecticidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. Paa este poblema, podemos escoge como supeficie gaussiana un cilindo cicula de sección tansvesal A y lago, colocado como se muesta en la figua anteio. Aplicando la Ley de Gauss: ds ds + ds + ds ds Tapa Iz. Manto. Tapa deecha. Sabiendo ue ( ds ), entonces, ( ds ), luego: Manto Manto ds ds + ds Tapa Iz. Tapa deecha. ds como ( ds ), se tiene ue ( ds ) Tapas ds, además ue y son Tapas constantes, entonces: ds ds + ds A. A A ds Luego A A + A Cte Poblema.6 Detemine el campo eléctico en las vecindades de una lámina metálica delgada conductoa, de dimensiones infinitas, cagada con cte Solución Po tatase una placa metálica peo ue es delgada, ésta se compota igual ue la lámina delgada del poblema anteio, debiéndose ealiza el mismo cálculo paa obtene Cte 4

8 Tópicos de lecticidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. Poblema.7 (Placa o lámina de caga guesa) Se tiene una placa guesa conductoa de dimensiones infinitas con una densidad de caga supeficial (ve figua). Calcúlese el campo eléctico, a una distancia del bode. ds Aplicando la Ley de Gauss a la supeficie cilíndica de la figua, se tiene ue ds Tapa Izuieda ds + Manto ds + Tapa Deecha ds Dado ue: Tapa Izuieda (la tapa está dento del mateial conducto) Manto ds ( ds) Manto ntonces, sólo ueda el campo en la tapa ciculae deecha Tapa deecha ds Dado ue el campo y el vecto de áea, son paalelos y además el campo es constante, se obtiene: n notación vectoial: A A ˆ e 5

9 Tópicos de lecticidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. Poblema.8 Una esfea metálica maciza de adio exteio a, con una cavidad esféica de adio b, tiene una caga puntual en su cento como se muesta en la siguiente figua, calcule el flujo eléctico paa: a) < b b) b < < a c) > a. a) De la Ley de Gauss se tiene ue Φ ds nceada Φ ( a < < b) ; enceada b) Φ( < a) ; enceada c) Φ ( > b) ; enceada Poblema.9 Dento de una esfea maciza no conductoa de adio a, hay un campo eléctico ( magnitud constante. Demueste ue la distibución de caga está dada po: ) adial de paa < < a Utilizando la Ley de Gauss escita en la foma difeencial,, xpesando la divegencia en coodenadas esféicas 6

10 Tópicos de lecticidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. ( ) + ( senθ ) + ( ) θ φ senθ θ senθ φ Dado ue el campo sólo tiene una componente adial, ( ) Luego Cte, se obtiene ( ) Poblema. Considee el caso de un cilindo de longitud infinita, de adio R, unifomemente cagado con densidad volumética de caga. Detemine a) ( < R) ; ( es la distancia de un punto cualuiea al eje del cilindo) b) ( > R) a) De la Ley de Gauss se tiene ue De donde se encuenta ue ds υ ( π h) π ( < R) dυ h b) n este caso, de la Ley de Gauss se obtiene ds υ dυ ( π h) πr h R ( > R) 7

11 Tópicos de lecticidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. Poblema. Considee el caso de un cilindo macizo muy lago, de adio R, cagado con densidad volumética de caga vaiable dada po. Detemine a) ( < R) ; ( es la distancia de un punto cualuiea al eje del cilindo) b) ( > R) a) De la Ley de Gauss se tiene ue De donde se encuenta ue ds ( πh) h π υ dυ ddφ dz (π h) πh < ( R) b) n este caso, de la Ley de Gauss se obtiene ds υ dυ n coodenadas cilíndicas se tiene dυ d dφ dz, entonces ( πh) h π R ddφ dz De donde se encuenta ue (π h) πh R R ( > R) 8

12 Tópicos de lecticidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. Poblema. Dos láminas paalelas conductoas con una distibución de caga unifome, cagadas positivamente, están sepaadas una distancia como se muesta en la siguiente figua. ncuente a) el campo ente las láminas b) Fuea de las láminas. Considee la distancia ente las láminas muy peueñas, compaada con las dimensiones de las láminas. a) Aplicando la Ley de Gauss y teniendo pesente el poblema (.6), se tiene ue el campo eléctico poducido po una lámina conductoa es sus cecanías (vecindades) es: ntonces del pincipio de supeposición paa un punto ubicado ente las placas conductoas, se tiene + donde es el campo poducido po la placa del lado izuiedo en el punto consideado, en donde se asume ubicada una caga de pueba ue es positiva po definición). Luego teniendo pesente la ley de polaidad, se tiene (ˆ) i 9

13 Tópicos de lecticidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. Po oto lado, si es el campo poducido po la placa del lado deecho en el punto consideado, de igual foma al caso anteio se encuenta ( ˆ) i Sustituyendo en + los valoes de los campos espectivos se obtiene (ˆ) i + ( iˆ) b) De igual foma ue paa el caso anteio, paa un punto fuea de las láminas se tiene + Supongamos ue el punto donde estamos deteminado el campo está fuea (lado deecho, ve figua) Donde: (ˆ) i y (ˆ i ) ntonces (ˆ) i (ˆ) i (lado exteio deecho) (lado exteio izuiedo) De donde se obtiene ue la magnitud del campo paa cualuie punto (cecano) fuea de las placas es 4

14 Tópicos de lecticidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. Poblema. Dos cascaones esféicos de adios a y b concénticos tienen cagas 4Q y -Q espectivamente. ncuente el campo eléctico paa a) < a, b) a < < b, c) > b (ve figua). n todos los casos consideados, los cascaones se compotan como cagas puntales, luego el campo eléctico después de aplica la Ley de Gauss se puede expesa en la foma: 4π nceada Luego a ) ( < a) ( ) nceada Q b) ( a < < b) ( nceada 4Q ) π c) Q ( > b) ( nceada 4 Q Q Q ) π Poblema.4 Dos placas metálicas paalelas de dimensiones gandes compaadas con su sepaación ue es de. m, tienen una densidad de caga unifome 5 C/m. Calcule la fueza po unidad de áea ue ejece una placa sobe la ota. De la Ley de Coulomb, la fueza ejecida sobe una caga (placa cagada) está dada po: F placa 4

15 Tópicos de lecticidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. n este caso placa A y el campo obtenido a pati de la Ley de Gauss es / (ve poblema.5), entonces de donde se encuenta F A F A Reemplazando los valoes espectivos, se obtiene Poblema.5 F A N. m Una esfea de g de masa y con una caga de C, se encuenta suspendida de un hilo ue foma un ángulo de con una supeficie conductoa muy gande ue tiene una distibución de caga constante y de la cual pende la esfea (ve figua). ncuente el valo de. 6 A pati de la aplicación de la Ley de Gauss paa una supeficie conductoa muy gande (ve poblema.5), se encuenta ue el campo eléctico en sus vecindades está dado po: Del DCL en la caga positiva: F F G mg 4

16 Tópicos de lecticidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. Se tiene F F G tanθ Sustituyendo los valoes de las fuezas mg tanθ eemplazando el valo del campo se tiene mg tanθ de donde se encuenta mg tanθ Sustituyendo los valoes espectivos, se obtiene 5. 7 [ C / m ] Poblema.6 Una esfea no conductoa de adio a con una densidad de caga unifome tiene una cavidad esféica como se muesta en la siguiente figua, calcule el campo eléctico en el punto A. Utilizando el pincipio de supeposición, se tiene ue + A sfea Cavidad Aplicando la ley de Gauss 4

17 Tópicos de lecticidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. paa la esfea no conductoa, como ds ds se tiene enc. ds sfea dado ue Cte sobe todos los puntos de la supeficie Gaussiana, entonces de donde: ds 4π sfea 4π sfea sfea sfea υ 4πa sfea / Cavidad υ 4π ( a / ) Cavidada / ntonces: a sfea Tabajando en foma análoga, paa la cavidad se obtiene Cavidad 4 a a ( / ) Sustituyendo ambos campos (esfea y cavidad) en, se encuenta A A a 8( a / ) 44

18 Tópicos de lecticidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. Poblema.7 Una esfea de adio R, ue está cagada con densidad de caga unifome, tiene una cavidad esféica de adio la cavidad. R no concéntica con la esfea. Calcula el campo eléctico en el inteio de Se aplica el pincipio de supeposición. La esfea con la cavidad se puede considea como la supeposición de una esfea de adio, unifomemente cagada con densidad cúbica de caga R + y ota esfea de adio R, unifomemente cagada con densidad cúbica de caga. l campo eléctico en un punto cualuiea del inteio de la cavidad seá la suma de los campos ceados po las dos esfeas en dicho punto. l campo eléctico en un punto inteio de una esfea cagada unifomemente con densidad de caga se calcula aplicando el teoema de Gauss a una supeficie esféica de adio < R, concéntica con la esfea cagada. Debido a la simetía el campo es adial y tiene el mismo módulo en todos los puntos de la supeficie gaussiana 4π 4π, 45

19 Tópicos de lecticidad y Magnetismo J.Pozo y R.M. Chobadjian. de donde se obtiene el campo eléctico Supeponiendo los campos de las dos esfeas, cagadas con cagas + y, en el punto P ue dista y, de los centos y O de las esfeas, se obtiene el campo en el punto P de la cavidad O + ( ) siendo OO, esulta OO l campo eléctico en el inteio de la cavidad es unifome y tiene la diección de la ecta ue une los centos de las esfeas. luego ( π h) πr R ( > R) h 46