FLUJO POTENCIAL BIDIMENSIONAL (continuación)

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1 Pof. ALDO TAMBURRINO TAVANTZIS Pof. ALDO TAMBURRINO TAVANTZIS FLUJO POTENCIAL BIDIMENSIONAL (continuación) RESUMEN DE LA CLASE ANTERIOR Si un flujo es iotacional, V 0, entonces eiste una función escala φ tal ue V φ. De este modo paa el caso -D se tiene ue: u v La ecuación de continuidad paa un fluido incompesible en téminos de la función potencial φ está dada po: φ 0 La función φ constante se denomina línea euipotencial. Supeposición: Po se la ecuación de Laplace lineal, se cumple ue si φ 1 φ son soluciones de la ecuación de Laplace, entonces φ φ 1 + φ también lo es. De acá esulta ue el campo de velocidades también se puede supepone, o sea si V 1 deiva de φ 1 V deiva de φ, entonces V V 1 + V. En coodenadas polaes: φ u uθ φ 0 θ 1 θ - 1 -

2 Pof. ALDO TAMBURRINO TAVANTZIS Las líneas de coiente se definen como las tangentes al vecto velocidad. DE popoción de tiángulos esulta: V d v d u Línea de coiente u v d d ud vd 0 Definamos una función ψ. Si la función es constante, entonces dψ 0. O sea: d ψ d + d 0 De donde esulta ue: u v La función ψ se denomina función de coiente. u v En un flujo iotacional se cumple ue ω z 0. Al epesa la voticidad en téminos de la función de coiente esulta: ψ 0 Ecuaciones de Riemman: u v En coodenadas polaes: u 1 uθ θ 1 θ Las líneas euipotenciales las de coiente son pependiculaes ente sí. ψ ψ 1 El caudal (D) ue escue ente dos líneas de coiente es igual a la difeencia de las funciones de coiente: ψ - ψ

3 Pof. ALDO TAMBURRINO TAVANTZIS Deteminación del campo de velocidades condiciones de bode Paa detemina el campo de velocidades de cualuie flujo debe esolvese la deteminación de Laplace paa φ o paa ψ con las condiciones de bode adecuadas. Conocida φ (o ψ), se detemina el campo de velocidades po simple deivación. Las condiciones de bode típica son: Condición de bode en el infinito:, ± ; V V Po ejemplo, si se desea conoce el campo de velocidades en tono a un cuepo sumegido V U,0, las condiciones de bode seán: en un flujo tal ue ( ) ±, ; u U, v 0 En téminos de la función potencial ±, ; U, 0 En téminos de la función de coiente: U, 0. Condición de bode en una fontea sólida impemeable en eposo: La velocidad nomal a la fontea debe se nula, o sea V nˆ 0, donde nˆ es la nomal a la supeficie. En téminos de la función potencial, esta condición se escibe como: φ nˆ 0 n Paa escibila en téminos de la función de coiente debemos ecoda ue la fontea es una línea de coiente. Si ŝ es el vecto tangente a la supeficie ue define la fontea, se tiene: s 0 o, lo ue es lo mismo ψ cte. a lo lago de la fontea. Conocido el campo de velocidades es fácil detemina la pesión a pati de la ecuación de Benoulli

4 Pof. ALDO TAMBURRINO TAVANTZIS EJEMPLOS DE FLUJOS POTENCIALES USUALES FLUJO PARALELO UNIFORME φ cte. Consideemos un flujo unifome paalelo al eje con velocidad V. La función de coiente está dada po: ψ cte. u V φ (, ) V + const. v 0 La constante de integación es abitaia po simplicidad podemos elegi φ 0 paa 0. La línea de coiente está dada po : (se impuso ue en 0, ψ 0) u V, v 0 ψ (, ) V Si el flujo foma un ángulo α con el eje, las funciones potencial de coiente están dadas po: ( cos sin ), ( cos sin ) φ V α + α ψ V α α α - 4 -

5 Pof. ALDO TAMBURRINO TAVANTZIS FUENTE u θ u Busuemos una solución de la función potencial ue sólo dependa de la coodenada : φ φ(). φ const. θ La ecuación de Laplace en coodenadas polaes ueda: ψ const. 1 0 de donde φ c ln + A. De este modo, las componentes del campo de velocidad están dadas po: c 1 u uθ 0 θ El caudal ue ataviesa un cículo de adio centado en el oigen del sistema de coodenadas polaes es: πu πc de donde c. Eligiendo abitaiamente ue en 1, φ 0, la función potencial las π velocidades debido a una fuente son: φ ln, u, u θ 0 π π Conocidas las velocidades, se obtiene la función de coiente: 1 u u θ 0 θ π Integando las ecuaciones anteioes se obtiene: ψ θ π Si > 0, el flujo se debe a una fuente. Si < 0, se está en pesencia de un sumideo

6 Pof. ALDO TAMBURRINO TAVANTZIS VÓRTICE LIBRE u θ u Busuemos una solución de la función potencial ue sólo dependa de la coodenada θ: φ φ(θ). La ecuación de Laplace en coodenadas polaes ueda: 1 φ 0 θ De donde esulta ue la función potencial las componentes de velocidad están dadas po: 1 cθ, u 0, u θ φ θ Calculemos la ciculación del vótice. La definición de ciculación es: V ds c π θ π 0 c d c Nota ue, aunue el flujo es iotacional, eiste ciculación. Si calculamos la voticidad, encontaemos ue es nula en todo el dominio del flujo, ecepto en el oigen, donde la u ( ) voticidad es infinita. Veifica esto es mu fácil. (Usa ω 1 ( θ) z u θ ). De este modo, la función potencial en téminos de la ciculación está dada po: φ π θ Conocidas las velocidades, se obtiene la función de coiente: u 1 0 u θ θ π Integando las ecuaciones anteioes se obtiene: ψ ln π El signo de define el sentido del gio de las líneas de coiente

7 DIPOLO Pof. ALDO TAMBURRINO TAVANTZIS Consideemos una fuente un sumideo sepaadas una distancia L, como se muesta en la figua, euidistantes del oigen. 1 Si φ1 es el potencial debido a la fuente φ al sumideo, φ φ1 + φ es el debido a la combinación de ambos: L θ - φ ln 1 ln ln 1 ln π π π ( ) Nos inteesa el caso cuando la fuente el sumideo están infinitamente ceca el poducto L se mantiene constante e igual a K. O sea: lim φ L 0 K cte. ( ln ln ) ( ln ln ) L 1 K 1 lim φ lim ( ln 1 ln ) lim lim 0 L 0 π L 0 π L π L 0. L L K cte. K cte. K cte. Peo el último límite no es más ue la definición de la deivada de ln especto a : lim L 0. ( ln ln ) 1 L d d ln d d ln + + Po lo tanto la función potencial de un dipolo es: φ K π + En coodenadas polaes: φ K cos θ π Deteminemos ahoa las líneas euipotenciales. Ellas están dadas po φ C, constante: - 7 -

8 Pof. ALDO TAMBURRINO TAVANTZIS K π + C K 4πC + K 4πC O sea, las líneas euipotenciales son cicunfeencias de adio 4 K π C con cento en ( ) 4 K π C,0. Conocida la función potencialφ, es fácil detemina la función de coiente ψ, esultando: K ψ π + En coodenadas polaes: ψ C K senθ ψ π Las líneas de coiente uedan definidas a pati de: K π + C φ C K + 4πC K 4πC O sea, las líneas de coiente son cicunfeencias de adio 4 K π C con 0, π. cento en ( ) 4 K C Si el dipolo no está oientado en la diección del eje, sino ue foma un ángulo α con este eje, la función potencial de coiente son: φ K cos π ( θ α) K sen( θ α) ψ π - 8 -

9 Pof. ALDO TAMBURRINO TAVANTZIS FLUJO ALREDEDOR DE UN CILINDRO Como se mostaá más adelante, el flujo en tono a un cilindo coesponde a la supeposición del flujo unifome el dipolo. En coodenadas cilíndicas, las funciones potenciales de coiente paa estos flujos son: φu V cos θ ψu V senθ φ ψ D D K cos θ π K senθ π Llamando K R : π R φ φu + φd V cosθ 1 + R ψ ψ + ψ θ U D V sen 1 Nota ue paa R, ψ 0. Po lo tanto, el cículo de adio R es una línea de coiente. La función de coiente también es nula paa θ 0 (ama positiva del eje ) paa θ π (ama negativa del eje ). A pati de las funciones anteioes, es posible detemina el campo de velocidades: u 1 R V θ cos 1 θ u V R senθ 1 + θ Las velocidades sobe la supeficie del cilindo se deteminan al evalua las epesiones anteioes en R, esultando: u 0 uθ V senθ Es fácil ve ue eisten dos puntos de estancamiento (u u θ 0), los ue se ubican en R paa θ 0 θ π. Un esuema de las líneas de coiente la distibución de velocidades se da en la figua siguiente

10 Pof. ALDO TAMBURRINO TAVANTZIS V La distibución de pesiones podemos calculala a pati de la ecuación de Benoulli, B B : V p γ V p V + + g γ g donde V u + uθ. En paticula se puede calcula la distibución de pesiones sobe la supeficie del cilindo, p cil p(r,θ): R p γ V + g p cil γ 4V senθ + g Consideemos ue p es la pesión atmosféica tabajemos con pesiones elativas: p cil γ V g ( 1 4senθ ) Conocida la distibución de pesiones, es posible calcula la fueza debido a la pesión sobe el cilindo: F π p 0 cil cosθrdθ F π p 0 cil senθrdθ Integando esulta F F 0. O sea, el flujo no tiene ningún efecto sobe el cilindo, lo ue va conta la onsevación empíica. Este esultado se conoce como la paadoja de d Alambet. Ya vimos ue esta paadoja fue esuelta po Pandtl con su concepto de capa límite. Jean le Rond d Alambet ( ) La fueza en la diección del flujo (F ) se denomina fueza de aaste la fueza en la diección nomal (F ) es la fueza de sustentación

11 Pof. ALDO TAMBURRINO TAVANTZIS FLUJO ALREDEDOR DE UN CILINDRO CON CIRCULACIÓN Impongamos ahoa una ciculación al flujo alededo de un cilindo. Esto esulta de agega un vótice a la supeposición del flujo unifome más el dipolo. La supeposición de funciones de coiente es: K senθ ψ V senθ + + ln π π Con el objeto de defini la función de coiente nula en R estamos la constante la epesión anteio, esultando: ψ V R senθ 1 + π ln R lnr π a de donde se detemina el campo de velocidades: u 1 θ R V cos 1 θ u θ V R sen θ 1 + π La velocidad en la supeficie del cilindo es: u 0 uθ Vsenθ πr Es inteesante estudia la eistencia de puntos de estancamiento. Imponiendo u u θ 0, se encuenta los siguientes casos: - 0 Dos puntos de estancamiento, en R θ 0, θ π (caso del cilindo sin ciculación). - 0 < < 4πRV Dos puntos de estancamiento, en R θ acsen. 4πRV 3 θ. - 4πRV Un punto de estancamiento en R π

12 Pof. ALDO TAMBURRINO TAVANTZIS - > 4πRV Dos puntos de estancamiento, uno dento del cilindo oto fuea, ubicados en θ 3 ( ) π ± R. 4πV 4πV Al igual ue en el caso del cilindo sin ciculación, la fueza de aaste (F ) es nula, peo sí eiste una fueza de sustentación hidodinámica (F): F π p 0 cil Rsenθdθ La distibución de pesiones sobe la supeficie del cilindo se calcula igualando Benoulli, al igual ue en el caso anteio, esultando: p γ cil V g senθ 1 4senθ πrv πrv pudiendo así evaluase la fueza de sustentación: F ρv Matin Wilhelm Kutta Nikolai Egoovich Joukowski El esultado anteio puede genealizase a cualuie geometía (en paticula, po ejemplo, el ala de un avión) coesponde al Teoema de Kutta-Joukowski