Tema 1: Electrostática en el vacío

Transcripción

1 Tema : lectostática en el vacío. Caga eléctica Le de Coulomb. Campo eléctico.3 Campo ceado po distibuciones continuas de caga.4 Le de Gauss.5 Potencial electostático.6 negía potencial electostática Masolle AF 0

2 . Caga eléctica Le de Coulomb Pime modelo de electicidad desaollado po Benjamín Fanlin ( ) paa eplica epeimentos fotando objetos mateiales. Ha dos tipos de cagas: positivas negativas. Nomalmente los objetos son neutos: tienen una cantidad eactamente igual de cagas positivas negativas. Cuando un objeto se fota puede adquii caga positiva o negativa dependiendo del mateial. Los objetos cagados que potan distinto tipo de caga se ataen. Los objetos que potan igual tipo de caga se epelen. Masolle AF 0 Dos baas de caucho fotadas con piel se epelen mutuamente

3 Caga eléctica La caga eléctica esta cuantiada. La unidad de fundamental de caga es la caga del electón (-e). n el sistema MKS la unidad de caga es el Coulomb (C). 9 e.6 0 C La caga eléctica se conseva. Masolle AF 0 3

4 Le de Coulomb La fuea eléctica ente dos patículas puntuales cagadas es: 4 0 F F 8,850 0 C /(Nm ) Masolle AF 0 F ˆ Fuea ejecida po q sobe q q q ˆ 9 90 N m /C Pemeabilidad (o pemitividad dieléctica) del vacío 4

5 Le de Coulomb: Pincipio de Supeposición Fuea ejecida sobe q 0 po un conjunto de cagas puntuales: F 0 N i F i 0 Suma vectoial! Masolle AF 0 5

6 . Campo eléctico q 0 es una pequeña caga testigo o de pueba, en pesencia de un conjunto de cagas q, q, q 3 q 0 ejece fueas sobe las demás cagas. stas fueas, si q 0 es suficientemente pequeña, se pueden considea despeciables (q 0 no afecta a q, q, q 3 ). Definición del campo eléctico en el punto del espacio donde esta q 0 : F q 0 Unidades: N/C l movimiento de una patícula de masa m caga q en un campo (ceado po otas cagas) es un movimiento aceleado: F a m q m Masolle AF 0 6

7 Campo eléctico ceado po patículas puntuales Si q es una caga de pueba: F q Pincipio de supeposición: Campo ceado po un conjunto de cagas: Masolle AF 0 q ˆ N j j q F Le de Coulomb: Fuea ejecida po q sobe q q q ˆ Campo ceado po q en el punto donde esta q (suma vectoial!) 7

8 Líneas de campo (o líneas de fuea) l sentido diección de las líneas de campo indican el sentido diección del campo eléctico. La densidad de líneas (númeo de líneas po unidad de supeficie o de volumen) indica la magnitud (o intensidad) del campo eléctico. Masolle AF 0 8

9 Líneas de campo Desde lejos: paece el campo ceado po una caga puntual q elación ente las dos cagas? Masolle AF 0 9

10 .3 Campo ceado po distibuciones continuas de caga Si bien a escala micoscópica la caga esta cuantiada, en cuepos macoscópicos la caga se puede considea distibuida en foma continua. imos que el campo ceado po una caga puntual q en un punto donde ha una caga de pueba q es: F q ˆ q q ˆ dq ˆ d dq ˆ ˆ Masolle AF 0 dq Paa intega conviene toma un sistema de coodenadas apopiado usa simetías. 0

11 Distibuciones continuas de caga ˆ dq 3 dq n un volumen: n una supeficie: dq d dq da Q d Q da Distibución de caga unifome: Q Q S C/m 3 C/m n una línea: dq dl Q dl Q L C/m Masolle AF 0

12 Cálculo del campo mediante la le de Coulomb jemplo : Campo ceado po una línea cagada dq 3 n el punto medio: ˆj iˆ ( d) 3 iˆ ˆ j d 0 3 d 3 dq d ˆj (po simetía) iˆ Q L Masolle AF 0

13 Campo ceado po una línea cagada 3 Masolle AF 0 / / 3/ L L d n el punto medio: / 0 / L L L Q L

14 Campo ceado po una línea cagada n el punto medio: 0 Lejos: >>L Ceca: << L Línea infinita: L Q ˆj Q L (campo ceado po una caga puntual q=l) Q ˆ j ˆj L ˆj Masolle AF 0 4

15 Ceca: línea infinita Segmento de línea Caga puntual Línea infinita Q L / Q/ / Lejos: caga puntual Masolle AF 0 5

16 ' Masolle AF 0 6 Campo ceado po una línea cagada dq 3 ' ˆ ) ( d dq n un punto cualquiea ˆ ˆ d 3 3 d Cambio de vaiable: ' ˆ ˆ ) ( 3 d ( es constante) ' L L L /

17 Componente longitudinal: sin tan 3 3 sin d 3 tan sin cos d sin sin d d' d tan sin ' Masolle AF 0 7

18 Componente pependicula: sin d 3 d' d sin 3 sin d 3 sin sin d cos cos Masolle AF 0 8

19 ' Masolle AF 0 9 sin cos cos Des-haciendo el cambio de vaiable: sin sin cos ' tan tan tan

20 tan tan Si P esta en el punto medio de la baa, el campo coincide con esultado anteio: (L / ) 0 tan tan tan L / L / ( L / ) Q (L / ) Masolle AF 0 0

21 jemplo : Campo en el eje de un anillo eˆ 3 dq i ˆ (po simetía) î Q a a iˆ a eˆ dq ad 0 ad 3 a 3 Q 3 Masolle AF 0

22 Q Q 3 a 3/ Masolle AF 0 Q a 0 /a (caga puntual)

23 jemplo 3: Campo en el eje de un disco (sumamos campo ceado po anillos) d dq a 3/ dq ds πa da Q a d πa da 3/ a u a du a P π du u 3/ π π 0 u / a da a u u 3/ Masolle AF 0 3

24 ) sign( π 4 Masolle AF 0 π Lejos del disco: / << π π Q (caga puntual) / u u u π ) sign(

25 π sign( ) Ceca del disco: >> π sign( ) l campo en la supeficie del disco es discontinuo Masolle AF 0 5

26 jemplo 4: Campo ceado po un plano infinito Disco de adio : π sign( ) Plano infinito: π sign( ) Disco Plano infinito Caga puntual Masolle AF 0 6

27 jemplo 5: Campo ente dos planos infinitos con cagas opuestas 0 0 4π Masolle AF 0 7

28 .4 Le de Gauss l numeo de líneas neto que ataviesa una supeficie ceada es popocional a la caga neta enceada. Masolle AF 0 8

29 Flujo de campo eléctico mide el numeo de líneas que ataviesa una supeficie. s popocional a - Densidad de líneas () - Tamaño de la supeficie (A) - Oientación elativa de A nˆ da Unidades: (N/C)m s da s da ˆn Masolle AF 0 9

30 Le de Gauss Caga puntual Flujo a tavés de una supeficie ceada que enciea a Q nˆ da da S Q nˆ (calculado a pati de la Le de Coulomb) sind d nˆ Q nˆ nˆ sind d Q Q 0 Paa cualquie supeficie ceada que enciea a Q 0 0 sind d 4 0 Q 4 Masolle AF 0 30

31 Conjunto de cagas Le de Gauss i i Qenc foma integal nˆ da de la Le de S Teoema de la divegencia S nˆ da Caga enceada Q enc d i 0 d q i d 0 d Gauss Donde S es la supeficie que limita al volumen 0 foma difeencial de la Le de Gauss Masolle AF 0 3

32 Cálculo del campo eléctico mediante la le de Gauss Paa situaciones que pesentan algún eje de simetía Cuando ha simetía esféica: la supeficie de Gauss es una esfea Cuando ha simetía cilíndica: la supeficie de Gauss es un cilindo co-aial Cuando ha un plano de simetía: la supeficie de Gauss es una caja de píldoas Masolle AF 0 3

33 Campo ceado po una esfea cagada hueca solida Masolle AF 0 33

34 Campo ceado po Una línea infinita Un plano infinito Masolle AF 0 34

35 .5 Potencial electostático l potencial eléctico es una magnitud escala que suele se mas fácil del calcula que el campo eléctico (que es una magnitud vectoial). La difeencia de potencial se puede medi con un voltímeto. Si q 0 es una caga de pueba que se mueve en el campo eteno, el tabajo ealiado po las cagas que cean el campo sobe q 0 es dw F dl q0 dl du dw du q dl 0 vaiación de enegía potencial eléctica de q 0 du q Difeencia de potencial: d dl 0 Unidad: = J/C 9 Nueva unidad de enegía: e.6 0 J Masolle AF 0 35

36 d ( i) la difeencia de potencial ente dos puntos depende del camino? dl dl ( ii) b dl? a b dl a Calculamos paa una caga puntual en el oigen usando la Le de Coulomb. n coodenadas esféicas: dl d ˆ d ˆ sin d ˆ q ˆ q dl d Masolle AF 0 36

37 b a b dl dl b q q d q b a a dl dl a ( i) ( ii) La difeencia de potencial NO depende del camino dl 0 C q ab 0 Donde C es una cuva ceada a b + b a ba ab ba Masolle AF 0 37

38 Potencial electostático P P ef q P Masolle AF 0 38 q ( ) Potencial en ceado po una caga en eposo en el oigen. Potencial ceado po un conjunto de cagas: ( ) qi Si la distibución de caga es continua: Distibución de caga localiada: 0 i i P dq q P cte Las supeficies equipotenciales son esfeas concénticas. ef Pto. de ef. en el infinito: 0 ( ) q ( ) i i donde i es la posición de la caga q i

39 Deteminación del campo eléctico a pati del potencial eléctico Teoema del gadiente Masolle AF 0 39 b a a b l d b a b a a b l d d n coodenadas catesianas: d j d d i l d ˆ ˆ ˆ j i ˆ ˆ ˆ d d d d dl b a b a dl dl sta ecuación nos pemite calcula pimeo (escala) luego el campo (vecto)

40 como calculamos el potencial? Conjunto de cagas puntuales Distibución de caga continua ( P) ( P) Suele se mas fácil que calcula el campo diectamente: q i ˆ ( P) ˆ i ( P) dq i i dq i q i i dq dq 3 dq d dq da dq dl Masolle AF 0 40

41 Calculo de a pati de Dos patículas puntuales. Potencial en el eje Potencial en el eje del anillo Masolle AF 0 4 a q q ) ( ) ( a Q

42 Calculo del potencial Potencial en el eje de un disco Potencial debido a un plano infinito ( ) Masolle AF 0 4

43 Calculo del potencial sfea hueca sfea cagada unifomemente Masolle AF 0 43

44 C cuaciones de Poisson de Laplace dlˆ S nˆ da Donde C es el contono que limita a la supeficie S C dlˆ 0 nˆ da 0 ale cuando el campo es geneado po un conjunto de cagas en eposo (cuando vale la Le de Coulomb) 0 S otacional en coodenadas catesianas: iˆ ˆj ˆ Masolle AF 0 44

45 Masolle AF n coodenadas catesianas: 0 cuación de Poisson (lineal de segundo oden) j i ˆ ˆ ˆ j i ˆ ˆ ˆ 0 Si =0: 0 cuación de Laplace

46 esumen de ecuaciones ente, Masolle AF 0 46

47 .6 negía potencial electostática Qué tabajo ha que hace paa move una caga Q en pesencia de otas cagas q i? W F dl Q dl dl W Q b a Si Q viene desde el infinito hasta W Q()

48 negía de un conjunto de cagas puntuales Qué tabajo ha que hace paa cea una distibución de caga? (taendo las cagas una po una desde el infinito). La enegía potencial electostática de un conjunto de cagas puntuales es el tabajo que ha que hace paa tae las cagas desde el infinito. W 0 W q ( ) q W 3 q 3, ( 3 ) q q 3 3 q q 3 q 3 W W W 3 qq qq 3 3 qq3 3 W i ji qiq j i j

49 W i ji qiq j i j W q i ( i ) q q i j j q i ji i j i i ji i j negía de un conjunto potencial de electostática cagas i puntuales Paa una distibución continua de caga W W dq ( ) 0 ( ) d dq d vol 0 dvol 0 0 dvol ( ) d vol vol q

50 W Obsevaciones: u 0 W Si 0 0 W 0 dvol dvol 0 nˆ ds dvol 0 u Todoel espacio 0 d vol Densidad de enegía potencial electostática 0 0 u 0