TEMA 2.- Campo gravitatorio

Transcripción

1 ema.- Campo gavitatoio EMA.- Campo gavitatoio CUESIONES.- a) Una masa m se encuenta dento del campo gavitatoio ceado po ota masa M. Si se mueve espontáneamente desde un punto A hasta oto B, cuál de los dos puntos tendá un mayo potencial gavitatoio? Cuál de los dos puntos estaá más ceca de la masa M? Razone las espuestas. b) Detemine el valo del campo gavitatoio en un punto que se encuenta a una altua sobe la supeficie de la iea igual al adio teeste. Considee que g 0 m s - en la supeficie de la iea. a) Sabemos que la intensidad de campo gavitatoio y el potencial gavitatoio están elacionados de la siguiente foma: E gad V d V d La expesión anteio nos indica que el campo está siempe diigido en que es máxima la disminución de po - tencial. Po tanto, si la masa m se mueve espontáneamente de A a B, entonces se estaá moviendo en la misma diección y sentido que el campo gavitatoio, de modo que el potencial gavitatoio en B seá meno que en A. Po ota pate, sabemos que las líneas de fueza del campo gavitatoio son adiales, nacen en el infinito y teminan en la patícula que cea el campo. Como el movimiento de la patícula es espontáneo, deducimos entonces que B estaá más ceca que A de la masa M, pues la masa m se mueve siguiendo dichas líneas de fueza o de campo. A la misma conclusión llegamos si consideamos que el potencial gavitatoio a una cie - ta distancia de la masa M se calcula mediante: V G M Como V B < V A, entonces debeá se B < A. b) El campo gavitatoio a una altua h R sobe la supeficie de la iea se calcula de la manea siguiente: g G M (R + h) G M (R ) 4 G M R 0 5 m s 4.- a) Explique qué son las líneas de fueza y las supeficies equipotenciales del campo gavitatoio teeste. Cómo están elacionadas ente sí? b) Un planeta hipotético descibe una óbita cicula alededo del Sol con un adio tes veces mayo que el de la óbita teeste (supuesta también cicula). En cuántos años teestes ecoeía el planeta su óbita? a) Las líneas de fueza o de campo son líneas imaginaias que nos indican la diección y sentido del (vecto) campo gavitatoio teeste; son adiales, comienzan en el infinito y teminan en la masa que cea el campo. Así pues, las líneas de fueza nos indican la diección y sentido del movimiento de una masa que se encuen - ta dento del campo gavitatoio teeste. Las supeficies equipotenciales son los conjuntos de puntos que se encuentan al mismo potencial gavitatoio V: Depatamento de Física y Química IES Leopoldo Queipo (Melilla) 0

2 ema.- Campo gavitatoio V G M Como el potencial vaía según la distancia a la que nos encontemos de la masa que cea el campo, deducimos que las supeficies equipotenciales del campo gavitatoio teeste seán esfeas concénticas cuyo cento coincide con el cento de la iea. Po último, las líneas de fueza y las supeficies equipotenciales son pependiculaes ente sí, tal y como se indica en la figua de la deecha. b) Nos piden calcula el peiodo del planeta sabiendo que su adio obital es 3 veces mayo que el teeste; la 3ª ley de Keple elaciona el peiodo de un planeta con el adio de su óbita (supuesta ésta cicula): k 3 Así pues, paa el caso de la iea la ecuación anteio quedaía de la manea siguiente: k 3 donde es el peiodo de la iea ( año) y es el adio obital de la iea (distancia ente los centos de la iea y el Sol). Análogamente, paa el planeta la 3ª ley de Keple quedaía: P k P 3 Dividiendo miembo a miembo simplificamos la constante k: 3 k 3 P k P P ( 3 P ) ( 3 3 ) 7 5 años 3.- a) Imagine que, po alguna causa intena, la iea edujese su adio a la mitad manteniendo inalteable su masa. Cuál seía la intensidad del campo gavitatoio teeste en su nueva supeficie? b) A qué altua sobe la supeficie teeste la gavedad es igual a la mitad de su valo en ella? Considee que el adio teeste es de 6370 km. a) El campo gavitatoio en la supeficie teeste, suponiendo que su adio se ha educido a la mitad y que su masa no ha cambiado, vendá dado po: g G M (R /) 4 G M 4g R Así pues, el nuevo campo gavitatoio tendá una intensidad 4 veces mayo; ello se debe a la mayo cecanía ente la supeficie de la iea y su cento. b) El campo gavitatoio a una cieta altua h sobe la supeficie de la iea viene dado po: g G M (R + h) g G M (R + h) R R omando la aíz cuadada en ambos miembos, nos queda: g R (R + h) R (R + h) Depatamento de Física y Química IES Leopoldo Queipo (Melilla)

3 Cuestiones y poblemas esueltos de Física º Bachilleato Cuso R R + h h ( )R km 4.- a) Una masa m se mueve dento del campo gavitatoio que cea ota masa M, alejándose de ella. Aumenta o disminuye su enegía potencial gavitatoia? A qué es igual dicha vaiación de enegía potencial? Aumenta o disminuye el valo del campo gavitatoio? Justifique las espuestas. b) La velocidad obital de Mecuio alededo del Sol vale km s -, mientas que la velocidad obital de la iea es de 9 78 km s -. Detemina cómo están elacionados sus adios obitales (o distancias de ambos planetas al Sol). a) La fueza gavitatoia es atactiva; po tanto, el movimiento de la masa m no es espontáneo, de manea que su enegía potencial gavitatoia aumentaá. La vaiación (negativa) o disminución de dicha enegía potencial es igual al tabajo necesaio que hay que ealiza conta el campo gavitatoio paa desplaza la masa m. Po último, confome nos alejamos de la masa M la intensidad del campo gavitatoio disminuye, pues es invesamente popocional al cuadado de la distancia. b) El peiodo de un planeta y su adio obital están elacionados mediante la 3ª ley de Keple: k 3 ( π v ) k 3 4π k 3 4π v k v Paa detemina la elación ente los adios obitales de Mecuio y de la iea hallamos su cociente: M 4π k v 4π k v M v M v Así pues, el adio obital de la iea es 58 veces mayo que el adio obital de Mecuio. 5.- a) Dos masas, una cuáduple que la ota, están sepaadas m. En qué punto, a lo lago de la ecta que las une, se encontaía en equilibio una tecea masa de 000 kg? b) Mientas un planeta ecoe su óbita elíptica alededo del Sol, se desplaza siempe a la misma velocidad? Qué tabajo ealiza la fueza de atacción gavitatoia a lo lago de una óbita completa? Razone las espuestas. a) Paa que la masa m 000 kg se encuente en equilibio debeá cumplise que: F 0 F + F 0 F F donde F y F son los valoes de las fuezas de atacción gavitatoia ente la masa m y las masas m y m (ve figua). Ahoa bien, la condición anteio sólo puede cumplise en un punto intemedio ente ambas masas, pues a la izquieda de m y a la deecha de m las fuezas (atactivas) gavitatoias tienen el mismo sentido, con lo que no podán anulase; así pues: F F m g mg Salvado Molina Bugos ([email protected])

4 ema.- Campo gavitatoio donde g y g son los campos gavitatoios que, espectivamente, cean las masas m y m (m 4m ) en el punto donde se encuenta la masa de 000 kg. Sustituyendo, nos queda: G m x G m ( x) m x 4 m ( x) omando la aíz cuadada en ambos miembos, nos queda: x x x 0 33 m Así pues, la masa de 000 kg se encontaía en equilibio a 0 33 m de la masa m. b) No. De acuedo con la ª ley de Keple, el vecto posición del planeta bae áeas iguales en intevalos de tiempo iguales (la velocidad aeola pemanece constante). Ello significa que la velocidad del planeta seá mayo en el peihelio (punto más cecano al Sol) que en el afelio (punto más lejano). Po ota pate, al se la fueza gavitatoia una fueza consevativa, el tabajo que ésta ealiza cuando un pla - neta descibe una tayectoia completa seá nulo, pues en tal caso coinciden las posiciones inicial y final del planeta (ecodemos que una fueza es consevativa cuando el tabajo que ealiza al desplaza un objeto no depende de la tayectoia del mismo, sino de las posiciones inicial y final). PROBLEMAS 6.- La nave espacial Luna Pospecto pemanece en óbita cicula alededo de la Luna a una altua de 00 km sobe su supeficie. Detemine: a) La velocidad de la nave y el peíodo de su movimiento. b) La velocidad de escape a la atacción luna desde esa óbita. M L kg; R L 470 km; G N m kg a) Paa detemina la velocidad (obital) de la nave tendemos en cuenta que la fueza centípeta que la mantiene en su óbita es ejecida po la fueza de atacción gavitatoia ente ella y la Luna: F c F g m v G M L m v G M L m s Paa halla el peiodo de la nave tendemos en cuenta que su movimiento es cicula unifome; así pues: π ω π v π( ) s 55 h v ω ω v b) La velocidad de escape a la atacción luna es la velocidad necesaia que hay que impimi a la nave paa que escape del campo gavitatoio luna (en el infinito); paa hallala aplicamos la ley de consevación de la enegía mecánica, teniendo en Depatamento de Física y Química IES Leopoldo Queipo (Melilla) 3

5 Cuestiones y poblemas esueltos de Física º Bachilleato Cuso cuenta que no existen fuezas no consevativas (ozamiento) y que dicha velocidad va disminuyendo confome la nave se aleja de la Luna: Δ E 0 E E 0 (E c + E p ) (E c + E p ) 0 m v e + G M m L 0 v e G M L Sustituyendo, nos queda v e m s Considee dos masas puntuales m 3 kg y m 6 kg situadas, espectivamente, en los puntos (3, 0) m y (-3, 0) m. a) Calcule el campo gavitatoio en el oigen de coodenadas. b) Qué tabajo hay que ealiza paa taslada una masa m 3 kg desde el punto (0, -4) m hasta el oigen de coodenadas? Intepete el signo del esultado obtenido. G N m kg a) De acuedo con el pincipio de supeposición, el campo gavitatoio total en el oigen de coodenadas es la suma (vectoial) de los campos gavitatoios ceados po cada masa po sepaado: g g + g El valo del campo gavitatoio ceado po m se calcula mediante: g G m N kg donde 3 m es la distancia ente m y el oigen de coodenadas. De acuedo con la figua, el vecto campo gavitatoio ceado po la masa m seá: g 0 i N kg El valo del campo gavitatoio ceado po m se calcula mediante: g G m N kg donde 3 m es la distancia ente m y el oigen de coodenadas. De acuedo con la figua, el vecto campo gavitatoio ceado po la masa m seá: g i N kg El campo gavitatoio total seá: g g + g 3 0 i N kg (diigido en el sentido negativo del eje X) b) El tabajo necesaio paa taslada la masa m del punto A (0, -4) hasta el punto B (0, 0) viene dado po: W - ΔE p - (E pb E pa ) - (mv B mv A ) - m (V B V A ) Salvado Molina Bugos ([email protected]) 4

6 ema.- Campo gavitatoio Paa halla el potencial gavitatoio en los puntos A y B volvemos a aplica el pincipio de supeposición; así, el potencial gavitatoio (total) en el punto A es geneado po m y m : V A G m G m A A 5 5 J/ kg donde A 5 m es la distancia ente la masa m y el punto A, y A 5 m es la distancia ente m y el punto A (ve figua a la deecha). El potencial gavitatoio (total) en el punto B seá: V B G m G m B B J / kg donde B 3 m es la distancia ente la masa m y el punto B, y B 3 m es la distancia ente m y el punto B. Sustituyendo en la expesión del tabajo, nos queda: W - 3 ( ) J El signo positivo del tabajo nos indica que el movimiento de la masa m desde A hacia B es espontáneo (obseva que la masa se mueve de mayo a meno potencial). 8.- La masa del Sol es veces mayo que la de la iea, y su adio, 08 veces mayo que el te - este. a) Cuántas veces es mayo el peso de un cuepo en la supeficie del Sol que en la de la iea? b) Cuál seía la altua máxima alcanzada po un poyectil que se lanzase veticalmente hacia aiba, desde la supeficie sola, con una velocidad de 0 m s -? g 0 m s - a) Paa sabe cómo están elacionados los pesos del cuepo en las supeficies del Sol y de la iea debemos calcula el cociente ente ambos: P S P mg S m g G M S R s G M R M 08 R M R 7 8 Po tanto, el peso de un cuepo en la supeficie sola es 7 8 veces mayo que su peso en la supeficie teeste. b) Como la velocidad de lanzamiento del objeto es pequeña, podemos utiliza la expesión mgh paa la ene - gía potencial gavitatoia; consideando que no existe ozamiento, se consevaá la enegía mecánica: Δ E 0 E E 0 (E c + E p ) (E c + E p ) 0 mg S h m v 0 h v Ahoa bien, el campo gavitatoio (o gavedad) en la supeficie del Sol seá: g S Depatamento de Física y Química IES Leopoldo Queipo (Melilla) 5

7 Cuestiones y poblemas esueltos de Física º Bachilleato Cuso Sustituyendo, nos queda: g S G M S R S G M 08 R g 78 6 m s h v 0 g S m 9.- Dos masas puntuales m kg y m kg están sepaadas m. a) A qué distancia de m, en un punto situado ente m y m, se anula el campo gavitatoio total ceado po ambas masas? b) Calcule el tabajo necesaio paa taslada una masa m 3 kg desde el infinito hasta el punto medio ente ambas masas. Intepete el signo del esultado obtenido. G N m kg a) De acuedo con la figua, el campo gavitatoio total sólo puede anulase en un punto situado ente las dos masas, pues en tal caso los campos que cean m y m tienen la misma diección y sentido contaio; de acuedo con el pincipio de supeposición, debeá cumplise que: g g + g 0 g g Sustituyendo las expesiones de g y g e igualando, nos queda: G m x G m ( x) x ( x) omando la aíz cuadada en ambos miembos, nos queda: x x x 0 4 m + b) El tabajo necesaio paa taslada desde el infinito (punto A) hasta el punto B(0, 0) m una masa m 3 kg se calcula de la manea siguiente: W - ΔE p - (E pb E pa ) - (mv B mv A ) - m (V B V A ) Paa halla el potencial gavitatoio en los puntos A y B volvemos a aplica el pincipio de supeposición; así, el potencial gavitatoio (total) en el punto A seá: V A G m A G m A 0 puesto que el punto A se encuenta a una distancia muy gande de m y de m. El potencial gavitatoio (total) en el punto B seá: V B G m G m B B J/ kg Salvado Molina Bugos ([email protected]) 6

8 ema.- Campo gavitatoio donde B 0 5 m es la distancia ente la masa m y el punto B, y B 0 5 m es la distancia ente m y el punto B. Sustituyendo en la expesión del tabajo, nos queda: W - 3 ( ) 0-9 J El signo positivo del tabajo nos indica que el movimiento de la masa m desde A hacia B es espontáneo (la masa se mueve de mayo a meno potencial). 0.- Un satélite atificial de 400 kg gia en una óbita cicula a una altua h sobe la supeficie tees - te. A dicha altua el valo de la gavedad es la tecea pate del valo en la supeficie de la iea. a) Explique si hay que ealiza tabajo paa mantene el satélite en óbita y calcule su enegía mecánica. b) Detemine el peíodo de la óbita. g 0 m s - ; R m a) La fueza que mantiene al satélite en su óbita es la fueza centípeta, la cual existe gacias a la atacción gavitatoia ente la iea y el satélite. Dicha fueza es pependicula al sentido del movimiento del satélite (obseva el dibujo a la deecha), po lo que el tabajo ealizado po la misma seá: W F C Δ cos α F C Δ cos 90º 0 Así pues, no hay que ealiza tabajo paa mantene al satélite en su óbita (la cual se tata, al se cicula, de una supeficie equipotencial). Recoda, además, que duante su tayectoia el satélite está pemanentemente cayendo sobe la iea. La enegía mecánica del satélite en su óbita se calcula de la manea siguiente: E E c + E p m v G M m Ahoa bien, hemos dicho que la fueza centípeta que mantiene al satélite en su óbita es ejecida po la fueza de atacción gavitatoia ente él y la iea: F c F g m v G M m Sustituyendo en la expesión anteio, nos queda: v G M E G M m G M m G M m R R mg R ( ) h Paa calcula h tendemos en cuenta que a la altua a la que se encuenta la gavedad es igual a la tecea pate de su valo en la supeficie teeste: g G M (R + h) g 3 G M (R + h) R R omando la aíz cuadada en ambos miembos, nos queda: g R (R + h) 3 R (R + h) Depatamento de Física y Química IES Leopoldo Queipo (Melilla) 7

9 Cuestiones y poblemas esueltos de Física º Bachilleato Cuso R R + h h ( 3 )R m Sustituyendo en la expesión de la enegía mecánica, obtenemos: E ( ) J b) Paa calcula el peiodo de la óbita tendemos en cuenta que su movimiento es cicula unifome; así pues: π ω v ω ω v π v π G M π 3 G M π (R + h) 3 G M R R π (R + h) 3 g R Sustituyendo, nos queda: s 3 8 hoas Salvado Molina Bugos ([email protected]) 8