Movimientos planetarios

Transcripción

1 Movimientos planetaios Teoías geocénticas: La Tiea es el cento del Univeso Aistóteles ( a.c.). Esfeas concénticas. Ptolomeo ( d.c.). Dos movimientos: epiciclo y defeente Teoías heliocénticas: El Sol es el cento del Univeso Aistaco de Samos (s. III a.c.). Copénico ( d.c.). Confimación de la teoía heliocéntica. Galileo Galilei ( ). Publica obsevaciones ecogidas de la obsevación con un telescopio constuido po él. Johannes Keple ( ). Enuncia las leyes de los movimientos planetaios basándose en las obsevaciones de Tycho Bahe ( )

2 Leyes de Keple 1ª Ley. Todos los planetas desciben óbitas planas y elípticas teniendo al Sol en uno de sus focos.

3 Leyes de Keple 2ª Ley. Los segmentos que unen al Sol con los planetas (adiovectoes) baen áeas iguales en tiempos iguales. La velocidad aeola es constante

4 Leyes de Keple 3ª Ley. Los cuadados de los tiempos empleados po los planetas en descibi sus óbitas (peiodos) son diectamente popocionales a los cubos de los semiejes mayoes. 2 T =k a 3

5 Nuesto sistema sola Todos los planetas efectúan dos movimientos distintos: uno de otación y oto de taslación. Todos los planetas desciben óbitas planas alededo del Sol. Casi todas las óbitas planetaias están apoximadamente en el mismo plano. Todos los planetas se tasladan en el mismo sentido alededo del Sol. El eje de otación de la mayo pate de los planetas, salvo Uano y Plutón es pácticamente pependicula al plano obital. La mayoía de los satélites desciben óbitas en el plano ecuatoial de los planetas. Todos los planetas otan en sentido antihoaio, excepto Venus, Uano y Plutón.

6 Consecuencias de la consevación del momento angula Las La fueza que gobiena el movimiento de los planetas es cental. Las Lo óbitas de los planetas son planas. óbitas planetaias son estables. mismo podemos deci paa los movimientos de los satélites (natuales y atificiales) en tono a los planetas.

7 Demostación de la 2ª ley de Keple da t' t sen d d d da= d = d 2 2 La velocidad aeola es, po tanto: da 1 1 2d 1 L = d = = dt 2 2 dt 2m

8 Ley de gavitación univesal Debida a Isaac Newton, establece que dos cuepos cualesquiea se ataen con una fueza que es diectamente popocional al poducto de sus masas e invesamente popocional al cuadado de la distancia que los sepaa. M m F =G 2 G es la denominada constante de gavitación univesal y su valo en unidades S.I. es: G=6, N m2 kg 2

9 Ley de gavitación univesal Vectoialmente: M m F = G 2 u u = FM,m m u M M m F = G 3

10 Ley de gavitación univesal Paa un conjunto de masas, la esultante de las fuezas que actúan sobe una de ellas debido al esto, es la suma vectoial de todas ellas consideadas individualmente: 1 F2,1 2 F5,1 F3,1 F4, esult = F 2,1 F 3,1 F 4,1 F 5,1 = F i,1 F i=2

11 La constante de gavitación univesal, G R2T G= g MT Medida po Heny Cavendish con una balanza de tosión. Su valo aceptado hoy es 6, N m2/kg2. Con él se pudo calcula la masa de la Tiea.

12 Concepto de campo Cómo explica la acción a distancia? M. Faaday utiliza la idea de líneas de fueza que se extienden po el espacio paa explica las acciones ente imanes o coientes. J.C. Maxwell intoduce el concepto de campo basado en la idea de líneas de fueza, y calcula la velocidad a la que se popagan las inteacciones (electomagnéticas): la velocidad de la luz. Esto es extensible al campo gavitatoio. A. Einstein establece el concepto de campo en la gavitación como una defomación de la geometía espacio tiempo po el efecto masivo de los cuepos. La inteacción gavitatoia es una consecuencia de esta defomación.

13 Concepto de campo Acción a distancia Se equiee la existencia de, al menos dos cuepos. Un solo cuepo no genea acción alguna. El espacio es el maco absoluto e invaiable en el que sucede la inteacción. La inteacción es instantánea, de modo que las leyes newtonianas no se modifican Concepto de campo Se equiee la existencia de un solo cuepo paa oigina un campo. Son las distosiones de las popiedades asociadas al espacio tiempo las esponsables de la inteacción. Las inteacciones se popagan a la velocidad de la luz, lo que modifica aspectos esenciales de las leyes de Newton.

14 Concepto de campo ceado po una patícula Campo es aquella egión del espacio cuyas popiedades son petubadas po la pesencia de una patícula. Un campo es definido mediante magnitudes que adquieen distintos valoes en cada punto del espacio y en el tiempo. Campos vectoiales, cuando las magnitudes son vectoes (campo gavitatoio, electomagnético,...) Campos escalaes, cuando las magnitudes son escalaes (tempeatuas, pesiones, altuas,...) La existencia de un campo se pone de manifiesto cuando se coloca en su inteio una patícula dotada de la popiedad necesaia paa inteactua con dicho campo (o con un apaato de medida que detecte dicho campo).

15 Intensidad del campo gavitatoio Intensidad del campo gavitatoio, o simplemente campo gavitatoio en un punto, g, es la magnitud que define el campo gavitatoio desde un punto de vista dinámico y puede considease como la fueza que actúa sobe la unidad de masa activa (testigo) colocada en dicho punto. F g= m M g = G 2 u Unidades: N/kg que es equivalente a m/s2 A cada punto del espacio alededo de M lo caacteizamos po un valo de g. Conocido el valo de g en cada punto, podemos pescindi de la masa que lo cea, puesto que sus efectos se sustituyen po los que poduce el campo. =m F g

16 Pincipio de supeposición de campos Si son vaias masas las que se encuentan en cieta egión del espacio, el campo total ceado po ellas en un deteminado punto seá la composición vectoial de los campos individuales ceados po cada una de ellas en ese punto: 1 2 P g 1 g 2 g n g 4 g = G i=1 mi 2 i u

17 Campo gavitatoio ceado po cuepos esféicos El campo gavitatoio oiginado po un cuepo esféico, de masa m en un punto exteio es el mismo que el que oiginaía dicha masa si estuviese concentada en el cento del cuepo; po lo que puede usase la misma expesión que paa una masa puntual: m g = G 2 u Ahoa bien, en el inteio de una coteza esféica es nulo; y en el inteio de una esfea sólida homogénea aumenta linealmente con la distancia al cento.

18 El campo gavitatoio teeste Aplicando lo anteio a la Tiea, se obtiene: g = G mt 2 T u = 9,8 u N/kg Donde u es un vecto unitaio de diección adial y sentido hacia el cento. Este es un valo medio, ya que su valo conceto en cada punto depende de la altitud (la Tiea no es una esfea lisa) y de la latitud (la otación alededo de su eje implica una aceleación centípeta, con lo que el valo de efectivo de g es ligeamente meno que el que tendía si la Tiea estuviea en esposo).

19 El campo gavitatoio desde un enfoque enegético La fueza gavitatoia es consevativa: El tabajo que ealiza sobe un cuepo cuando éste se taslada de un punto a oto solo depende de la posición de dichos puntos y no de la tayectoia seguida. El tabajo que ealiza a lo lago de una tayectoia ceada es nulo. Si solo actúan fuezas consevativas la enegía mecánica del cuepo se conseva. Po tanto podemos defini una enegía potencial (asociada a la posición) tal que: WF = E p = E p E p consevativa 0 f

20 Enegía potencial gavitatoia Calculemos el tabajo que ealiza la fueza gavitatoia cuando se taslada un cuepo de masa m desde un punto A hasta oto punto B en pesencia de ota masa M: 1 1 W = A F d = G M m A 2 d = G M m B B W = G M m 1 B = G M m A 1 1 = G M m A B 1 1 B A B A = GMm GM m = B A Como vemos el tabajo que ealiza la fueza gavitatoia es solo función de las posiciones inicial (A) y final (B); y no depende del camino.

21 Enegía potencial gavitatoia Como W = E p = E p E p compaando con la anteio: B A GMm GM m = E p E p B A B A Consideemos ahoa que el punto A es el infinito y el punto B es un punto abitaio cuya posición es. Es deci, estamos tasladando la masa desde un punto donde la inteacción gavitatoia es nula (y po tanto también la enegía potencial) hasta oto cuya posición es : GMm GM m = E p 0 B Con lo que la expesión de enegía potencial es: E p = G Mm

22 Enegía potencial paa un sistema de vaias masas La enegía potencial total del sistema es la suma llevada a cabo sobe todos los paes de patículas. m1 1,3 1,2 m3 2,3 m2 E p =E p E p 1,2 1,3 m1 m2 m1 m 3 m 2 m 3 E p = G 1,2 1,3 2,3 2,3

23 Potencial gavitatoio Potencial gavitatoio, V, en un punto es la enegía potencial que adquiiía la unidad de masa colocada en dicho punto: Ep M V = = G m P VP Unidades: J/kg El conjunto de valoes del potencial en función de la distancia constituye un campo escala, de esta foma el pincipio de supeposición de campos se educe a la suma algebaica de los valoes del potencial. m1 m 2 m 3 m 4 = G

24 Repesentación gáfica del campo gavitatoio Según la magnitud que utilicemos paa defini el campo: Líneas de fueza: tangentes en todos los puntos al vecto intensidad de campo (g), diección adial y sentido hacia la masa que cea el campo. Como en cada punto sólo hay un valo paa el campo gavitatoio, las líneas de fueza nunca se cuzan. El númeo de líneas que ataviesan la unidad de supeficie es popocional al valo del campo. Supeficies equipotenciales. Si unimos todos los puntos en tono a una masa que tienen el mismo valo de potencial tendemos una supeficie equipotencial. Son supeficies esféicas (paa cuepos esféicos). Son pependiculaes a las líneas de fueza.

25 Repesentación gáfica del campo gavitatoio Ceca de la supeficie

26 Relación ente intensidad de campo y potencial g d = dv ; dv g d cos = dv g cos = d El vecto campo tiene el sentido de los potenciales dececientes. Si el potencial pemanece constante en una diección, la componente del vecto campo gavitatoio en esa misma diección es igual a ceo. Las líneas de campo son pependiculaes a las supeficies equipotenciales, ya que la difeencia de potencial ente dos puntos de una supeficie equipotencial es igual a ceo y si g 0 entonces, cos = y po ello = 90º. Las supeficies equipotenciales no se pueden cota nunca; si lo hiciean, en el punto de cote había dos vectoes del campo gavitatoio, cada uno pependicula a cada una de las supeficies.

27 Movimiento de cuepos en un campo gavitatoio Ft F Fn

28 Movimiento de cuepos en un campo gavitatoio Cuánta enegía necesitaíamos tansfei a un cuepo paa que abandonase completamente el campo gavitatoio teeste? Esa enegía seía igual al tabajo que tendíamos que ealiza conta la fueza gavitatoia paa lleva el cuepo desde la supeficie teeste hasta el infinito (donde no había inteacción ente las masas): W = R T = G F d MT m RT Cualquie valo de enegía po debajo de éste haá que el cuepo no escape del campo gavitatoio de la Tiea, de ahí el nombe de enegía de amae o ligadua, pues po debajo de ese valo el cuepo queda ligado o amaado al campo gavitatoio teeste.

29 Movimiento de cuepos en un campo gavitatoio La enegía cinética que debemos comunica al cuepo de masa m paa que abandone el campo gavitatoio teeste tiene que se, como mínimo, igual a la enegía de amae: MT m Ec = G RT MTm 1 2 mv = G 2 RT v = 2G M T RT = 2 g 0 RT Esta velocidad se denomina velocidad de escape, y es la mínima necesaia paa que un cuepo salga del campo gavitatoio.

30 Enegía y óbitas A un cuepo sobe la supeficie de la Tiea se le tansfiee una enegía cinética paa que llegue hasta el infinito con velocidad nula (se quede allí). Así, aplicando el pincipio de consevación de la enegía mecánica: EM = EM Ec E p = Ec E p MT m 1 2 m v esc G = 0 2 RT Si un cuepo alcanza la denomina velocidad de escape su enegía seá ceo, y po tanto abandonaá el campo gavitatoio.

31 Enegía y óbitas Velocidad Enegía Ligadua al campo gavitatoio v = vesc E=0 Límite de ligadua. E>0 Desligado. Distancia infinita con velocidad. E<0 Ligado al campo. Descibe óbita ceada. v > vesc v < vesc

32 Enegía total de un cuepo en óbita cicula Un satélite obita po una tayectoia cicula alededo de la Tiea a una distancia de su cento. Su enegía potencial vale: Ep M T ms = G Como la óbita es cicula la fueza gavitatoia popociona la centípeta necesaia paa que el satélite gie en tono a la Tiea: F g =F c G M T ms 2 ms v 2 = MT v =G 2 Con lo que la enegía cinética del satélite seá: MT M T ms E c = ms v = m s G = G 2 2 2

33 Enegía total de un cuepo en óbita cicula Y la enegía total, Ec + Ep: M T ms M T ms M T ms G G = G 2 2 Enegía negativa, lo que demuesta que el satélite está ligado a la Tiea. Igualmente válido es paa una óbita elíptica.

34 Fomas de las óbitas EM Ec MT m E p = G Las óbitas coespondientes a una enegía negativa son ceadas (ciculaes o elípticas). Este es el caso de todos los cuepos del sistema sola, ligados al campo gavitatoio del Sol o de sus planetas.

35 Fomas de las óbitas EM Ec MT m E p = G Las tayectoias coespondientes a una engía total ceo son de foma paabólica.

36 EM Fomas de las óbitas Ec MT m E p = G Las tayectoias coespondientes a una enegía total positiva no despeciable son de foma hipebólica.