I.E.S. Al-Ándalus. Dpto. de Física-Química. Física 2º Bachillerato. Tema 2. Int. Gravitatoria TEMA 2: INTERACCIÓN GRAVITATORIA

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1 I.E.. l-ándalus. Dpto. de Física-Química. Física º achilleato. Tema. Int. Gavitatoia TE : INTECCIÓN GVITTOI.1 Inteacción avitatoia; ley de avitación univesal. Campo y potencial avitatoios; eneía potencial avitatoia.. Teoema de Gauss. plicación al cálculo de campos avitatoios..4 Campo avitatoio teeste; satélites.1 INTECCIÓN GVITTOI; LEY DE GVITCIÓN UNIVEL Intoducción históica: La inteacción avitatoia es, de las cuato inteacciones fundamentales, la única conocida desde la antiüedad, si bien no fue explicada hasta finales del s. XVII. El hecho de que los cuepos caen a la Tiea ea consideado como alo natual, aunque no se ceía que el movimiento de la Luna o los Planetas tuviea aluna elación con la avedad. Las ideas sobe la avitación y la estuctua del univeso han ido evolucionando a lo lao de la histoia. Hacemos aquí un beve esumen de las ideas pincipales. ntiüedad: El conocimiento sobe el univeso está liado a ceencias y mitoloía. e plantea una distinción claa entee el Cielo (pefecto, la moada de los dioses) y la Tiea (impefecta, moada de los hombes). e cee que las Tiea es plana e inmóvil y que el univeso no alcanza más allá de unos pocos km sobe la supeficie. Gecia Clásica: Teoía Geocéntica: Tiea esféica, inmóvil en el cento del univeso. El ol y los planetas ian alededo. istóteles (s. IV a.c): Consolida la teoía eocéntica. Los Planetas siuen óbitas ciculaes. istaco de amos (s. III a.c): Popone que la Tiea ia alededo del ol. Es poco tenido en cuenta. Ptolomeo (s. II d.c): mplía el sistema. Geocéntico paa explica nuevas obsevaciones. Idea los epiciclos. Este sistema pevaleceá duante 100 años. Edad edia: e mantiene la teoía eocéntica. El sistema de Tolomeo se complica cada vez más paa pode explica las obsevaciones. Los atemáticos áabes mejoan la medida de la posición de estellas y planetas. Ed. odena: Copénico (154): Citica el eocentismo. Popone la Teoía Heliocéntica. Los planetas (incluida la Tiea) ian alededo del ol siuiendo óbitas ciculaes Galileo Galilei (s.xvii): Desaolla el telescopio. Descube los satélites de Júpite poya la teoía heliocéntica de Copénico. Es peseuido po sus ideas. Keple (s. XVII): asándose en obsevaciones de estudiosos anteioes, calcula las óbitas de los planetas, lleando a descibilas en tes leyes (conocidas como Leyes de Keple): 1ª: Los planetas, incluida la Tiea, ian alededo del ol, descibiendo óbitas elípticas, en las que el ol ocupa uno de los focos. ª: El vecto de posición del planeta bae áeas iuales en tiempos iuales. ª: El cociente ente el cuadado del peiodo de evolución y el cubo del adio medio de la óbita es una constante paa todos los planetas. T cte

2 I.E.. l-ándalus. Dpto. de Física-Química. Física º achilleato. Tema. Int. Gavitatoia - - Newton (1684): Explica y descibe la inteacción avitatoia, unificando la avedad teeste (caída de cuepos, movimientos paabólicos) y avedad celeste (movimiento de los planetas y satélites). La explicación de esto queda ecoida en la Ley de avitación univesal: "Ente dos cuepos cualesquiea, de masas y m, existe una atacción avitatoia mutua, que es diectamente popocional a sus masas e invesamente popocional al cuadado de la distancia que los sepaa." Esta ley queda ecoida en las siuientes expesiones En módulo F G m F m G u La constante G, denominada constante de avitación univesal, fue calculada po Cavendish en Tiene el valo de G 6, Nm /k Caacteísticas de la inteacción avitatoia: - Es debida a la masa de los cuepos, po lo que todos los cuepos mateiales sufián esta inteacción. - La fueza oiinada en esta inteacción es siempe atactiva. - Es una inteacción consevativa. - Es una inteacción cental. - Tiene alcance infinito. cualquie distancia, los dos cuepos sufián la atacción avitatoia. - Disminuye con el cuadado de la distancia. CPO Y POTENCIL GVITTOIO; ENEGÍ POTENCIL GVITTOI..1 Campo avitatoio uponamos que, en una cieta eión del espacio, tenemos un cuepo con una cieta masa. Debido a esa popiedad, dicho cuepo inteaccionaá avitatoiamente con cualquie ota masa m que coloquemos en cualquie punto del espacio. Es deci, la masa modifica las popiedades del espacio, cea una nueva popiedad en el espacio, a la que llamaemos campo avitatoio. Cualquie masa m (masa de pueba) colocada en cualquie punto del espacio sufiá una fueza avitatoia F. Esta fueza dependeá de Las masas m y El punto del espacio en el que coloquemos m i calculamos la fueza que se ejeceía po cada unidad de masa (po cada kiloamo) que colocáamos en el punto del espacio que estudiamos; entonces obtendemos una manitud que no depende de la masa m que coloquemos en el punto, sino que únicamente depende del punto y de la masa que ha ceado el campo (). Esta manitud así obtenida se denomina Intensidad de Campo Gavitatoio Gavedad ( ), Campo Gavitatoio, o F F m m Unidades de : [] N/k ms - demás de la fueza ejecida po cada k, la avedad nos indica la aceleación con la que caeía el cuepo si lo soltáamos libemente en ese punto.

3 I.E.. l-ándalus. Dpto. de Física-Química. Física º achilleato. Tema. Int. Gavitatoia Eneía potencial avitatoia (Ep ) de una patícula de masa m en el inteio de un campo avitatoio: - Es la eneía que almacena un cuepo de masa m colocado en un punto del inteio del campo avitatoio. - También puede definise teniendo en cuenta que la fueza avitatoia es consevativa. La Ep seá la eneía potencial asociada a la fueza avitatoia. Es deci W Ep F d F Ep Esta eneía potencial, como es evidente, se mide en julios, y depende de la masa m colocada... Potencial avitatoio (V) en un punto del espacio: - Eneía po unidad de masa (po cada k) que almacenaía cualquie cuepo que colocáamos en dicho punto del espacio. Ep V Ep m V m El potencial V es una popiedad del espacio. Es independiente de la masa m que coloquemos en el punto. [V] J - También (con un azonamiento simila al de la eneía potencial) podemos defini el potencial como la función potencial asociada al campo avitatoio. V d Lo estudiado hasta ahoa es eneal, es válido paa cualquie campo que tenamos. pati de ahoa veemos casos paticulaes. Los esultados que obtendemos sólo se podán aplica en un poblema si estamos en ese caso paticula CPO CEDO PO DITINT DITIUCIONE DE :..4 Campo avitatoio ceado po una patícula de masa : uponamos una patícula de masa. Cea un campo avitatoio a su alededo. Cualquie ota patícula de masa m que coloquemos en un punto del espacio, sufiá una atacción o fueza avitatoia. La Fueza ente ambas patículas vendá dada po la ley de avitación Univesal de Newton: F m G u F m G ódulo debe se > 0 Campo avitatoio : F m G m/ u m/ G u G

4 I.E.. l-ándalus. Dpto. de Física-Química. Física º achilleato. Tema. Int. Gavitatoia Líneas de campo: epesentación fente a la distancia Eneía potencial avitatoia: Eneía almacenada po una patícula de masa m colocada a una cieta distancia de, debido a la acción de la fueza avitatoia. Patimos de la expesión eneal sí tendemos: Ep F d G m u G m G m + Ep Ep Ep W F d u G m 1 1 d G m Eleimos oien. Paa, Ep 0. Y la expesión queda Ep m G Como vemos, la Ep almacenada siempe seá neativa. Potencial avitatoio en un punto: Ep almacenada po unidad de masa Es una popiedad del espacio. V Ep m m/ G m/ V G..5 Campo avitatoio ceado po vaias masas puntuales: En este caso aplicamos el pincipio de supeposición (el efecto poducido po un conjunto de patículas puede calculase sumando los efectos de cada patícula po sepaado). sí v F e F1 + F + F Ep Ep 1 +Ep + Ep +... V V 1 + V + V +... Líneas de campo avitatoio eneado po dos masas puntuales.

5 I.E.. l-ándalus. Dpto. de Física-Química. Física º achilleato. Tema. Int. Gavitatoia Campo avitatoio ceado po una esfea en su exteio (como la Tiea o cualquie planeta): on válidos los esultados obtenidos paa masas puntuales. Lo demostaemos en el apatado siuiente. es la masa total de la esfea y la distancia al cento de la misma..7 Campo avitatoio constante (po ejemplo, el peso a nivel de la supeficie): cte En este caso sólo podemos usa los esultados eneales vistos al pincipio. F m Ep m V W F F d F V d. TEOE DE GU. PLICCIÓN L CÁLCULO DE CPO GVITTOIO..1 Vecto supeficie: La foma que tenemos en Física y en eometía de epesenta las supeficies mediante una manitud es usa el vecto supeficie ( s ). Este vecto tiene como caacteísticas: u diección es pependicula a la supeficie u módulo es iual al áea. El sentido puede eleise. Cuando una supeficie es ceada, nomalmente va hacia fuea de la misma. Cuando una supeficie no es plana, vemos que no existe un único vecto supeficie, ya que este va cambiando de diección. e pocede entonces a dividi la supeficie en tozos infinitamente pequeños, a cada uno de los cuales coesponde un vecto supeficie ds... Flujo del campo avitatoio ( Φ ): El concepto de flujo nos da una idea de la concentación de líneas de campo en una zona del espacio. Es ota foma de medi lo intenso que es el campo en ese sitio. uponamos una supeficie cualquiea dento del campo avitatoio. Habá líneas de campo que la atavesaán, otas no. El flujo nos va a indica si dicha supeficie es atavesada con más o menos intensidad po las líneas de campo. Esta manitud dependeá de: La intensidad del campo en la zona (el valo de ). El tamaño y foma de la supeficie La oientación ente la supeficie y el campo. Estas tes caacteísticas quedan ecoidas en la expesión que calcula el flujo que ataviesa una deteminada 1 supeficie. Φ ds unidades de flujo avitatoio [ Φ ] [ ] [ ] m s m m s

6 I.E.. l-ándalus. Dpto. de Física-Química. Física º achilleato. Tema. Int. Gavitatoia En el caso de que el campo avitatoio sea unifome (que tena el mismo valo en todos los puntos de la supeficie), puede sali fuea de la inteal, con lo que el flujo quedaá Φ ds cosα Ejemplo. Cálculo del flujo que ataviesa una supeficie esféica (la masa que cea el campo se encuenta en el cento de dicha supeficie). abemos la expesión del campo avitatoio ceado po una masa puntual. G u tiene diección adial y sentido hacia la patícula. En la fiua vemos que foma 180º con el vecto supeficie ds. sí, el flujo se calculaá: Φ ds ds cos 180º ds Como se mantiene constante en toda la supeficie, podemos sacalo fuea de la inteal G Φ ds ds 4 4 G π π (m -1 s - ).. Teoema de Gauss: El teoema de Gauss aplicado al campo avitatoio nos dice los siuiente: El flujo total que ataviesa una supeficie ceada en el inteio de un campo avitatoio es popocional a la masa enceada po dicha supeficie. Φ ds 4π G eún la expesión, vemos que el flujo no depende de la foma ni el tamaño de la supeficie, siempe que sea ceada y enciee la misma cantidad de masa. Cuestión: Qué ocue si la supeficie ceada no contiene en su inteio ninuna masa? El flujo de líneas de campo que ataviesa ambas supeficies ceadas es el mismo PLICCIONE: El teoema de Gauss pemite calcula la expesión del campo avitatoio ceado po alunas distibuciones de masa. Deben se cuepos que posean cieta simetía (esféica, cilíndica, plana), en los que podamos tene una idea de la diección que llevaán las líneas de campo en cada punto. El objetivo que se pesiue al aplica el teoema de Gauss es el de pode despeja de la fómula ds 4π G. Paa ello, paa que sala fuea de la inteal, es peciso que tena un valo constante en toda la supeficie y que además sea pependicula a la misma. sí: 4π G ds ds cos 180º ds 4 G π Donde es el valo de la supeficie (llamada supeficie aussiana) utilizada, y es la masa que queda enceada dento de la supeficie aussiana. Lo veemos en los casos que se exponen a continuación:

7 I.E.. l-ándalus. Dpto. de Física-Química. Física º achilleato. Tema. Int. Gavitatoia Cálculo de ceado po una esfea en su exteio: El cuepo que va a cea el campo tiene simetía esféica. abemos que las líneas de campo ián en diección adial y que el valo del campo dependeá exclusivamente de la distancia al cento de la esfea. La supeficie aussiana que andamos buscando debe se pependicula a las líneas de campo y mantene constante el valo de en todos sus puntos: es claamente una esfea de adio cualquiea (siempe mayo que el adio de la esfea). plicando el teoema de Gauss al campo que ataviesa dicha supeficie: ds ds cos180º ds 4π 4π G 4π G 4π G G de este modo, que es la expesión que habíamos visto anteiomente...5 Cálculo de ceado po una esfea en su inteio: La expesión que vamos a calcula ahoa es útil a la hoa de estudia cómo vaía el campo avitatoio en el inteio de la Tiea o de un planeta. Vamos a supone que la distibución de masa dento de la esfea es unifome (cosa que no siempe ocue, en un planeta la densidad es mayo en el cento, debido a la pesión). El cuepo tiene simetía esféica y las líneas de campo van a lleva, po tanto, diección adial. Como ocuía anteiomente, la supeficie aussiana que usaemos seá una esfea de adio (meno que, en este caso). plicamos el teoema de Gauss a esa esfea: ds ds cos180º ds 4π 4π G int 4π G 4π int G int hoa, la masa enceada po la esfea aussiana no es toda la masa del cuepo, sino sólo una pate. La calculamos: int V tot 4 ρ Vint int 4 π Vtot π G int G G Entonces Vemos que, en el inteio, disminuye confome pofundizamos, hasta hacese ceo en el cento de la esfea.

8 I.E.. l-ándalus. Dpto. de Física-Química. Física º achilleato. Tema. Int. Gavitatoia CPO GVITTOIO TEETE; TÉLITE..4.1 CPO GVITTOIO TEETE: Paa estudia el campo avitatoio ceado po la Tiea (o cualquie planeta) en su exteio, consideaemos al planeta como una esfea pefecta y homoénea, de masa y adio. De esta foma podemos aplica los esultados que ya tenemos sobe distibuciones esféicas de masa (que ya vimos que se compotaban como masas puntuales). sí, tanto el campo avitatoio como el potencial avitatoio en cualquie punto del exteio vendán dados po Paa la Tiea: k G V G 670 km ~ 6, m (adio medio) Paa > Campo avitatoio en la supeficie (avedad supeficial, 0 ) Este valo se obtendá teniendo en cuenta que, en la supeficie del planeta,. 0 G Paa la Tiea, obtenemos el valo de 0 9,8 ~ 10 ms - Este valo obtenido es, en teoía, la avedad justo al nivel del suelo, ya que el valo de disminuye confome nos alejamos del cento de la Tiea, aunque sea un solo meto. Vamos a ve cómo vaía especto a la altua desde el suelo ( h ). + h sí G ( + h) G ( + h) h Vemos que la avedad disminuye con la altua, peo podemos considea que se mantiene apoximadamente constante ( ~ 0 ) si el valo de h es mucho meno que el adio del planeta (h << ). Eneía potencial avitatoia en la supeficie teeste. elación ente las expesiones de Ep Hemos visto que la expesión de la eneía potencial avitatoia es Ep in embao, en el tema anteio usamos la expesión Ep m h m G Po qué son tan difeentes estas dos expesiones? on las dos iualmente válidas? La azón de la difeencia está en un hecho muy simple peo que puede pasa desapecibido: paa cada una se ha escoido un oien de potencial difeente. En la pimea expesión el oien se encuenta en el, y en la seunda expesión, el oien está escoido en la supeficie teeste. Podemos compoba que, si en el cálculo de la Ep, en lua de pone el oien en el infinito, lo colocamos en la supeficie, y hacemos una apoximación, obtendemos la seunda expesión. Ep Habíamos obtenido G m G m Escoiendo oien Ep F d + Ep Gm[ ] 1 1 ; Ep 0... Gm h ( + h)

9 I.E.. l-ándalus. Dpto. de Física-Química. Física º achilleato. Tema. Int. Gavitatoia ealizamos la apoximación h << ; +h ~ Ep G m h G ~ m h m 0 h Hay que tene en cuenta que paa llea a la expesión Ep m 0 h, hemos tenido que supone que la altua a la que nos encontamos es muy pequeña compaada con el adio del planeta (unas 100 veces meno, al menos). Po tanto, la expesión sólo seá válida cuando se cumpla esta condición. Paa el caso de la Tiea, podemos considea que la avedad se mantiene constante hasta una altua de km..4. TÉLITE: Po satélite entendeemos cualquie cuepo (natual o atificial) que desciba óbitas alededo de un cuepo celeste. sí, la Luna, o el satélite Hispasat, son satélites de la Tiea, y la Tiea es satélite del ol. Keple compobó y Newton demostó que la óbita que descibe un satélite tiene foma elíptica. La distancia a la que se encuenta del cento del planeta no es constante, ni tampoco su velocidad. in embao sí hay dos manitudes que se mantendán constantes en toda la tayectoia: - u eneía mecánica E - u momento anula especto al planeta (su tendencia a mantene el movimiento de io) mv. L O La eneía que tendá el satélite en su óbita vendá dada po 1 E Ec + Ep mv Gm Esto hace que la posición y la velocidad del satélite en la óbita estén elacionadas. Paa una posición conceta, el satélite tendá una velocidad conceta. En los puntos más alejados de la óbita ( mayo), la Ep almacenada seá mayo, po lo que la Ec seá meno, y la velocidad también disminuiá. De la misma foma, al i acecándose al planeta, su Ep disminuiá, poduciendo un aumento de la Ec y, po tanto, de la velocidad. Los puntos de máximo acecamiento y máximo alejamiento del satélite al cuepo cental eciben nombes popios. Paa un satélite que obita alededo de la Tiea se habla de apoeo (alejamiento máximo) y peieo (dist. mínima). Paa el ol, las palabas usadas son afelio y peihelio. En ambos puntos la velocidad es pependicula al adio. emiejes y excenticidad de la óbita: Toda elipse viene caacteizada, además de po los focos, po dos distancias llamadas semiejes, a y b (en la fiua). Estas dos distancias siven paa calcula la excenticidad (e), manitud que nos indica el achatamiento de la elipse, es deci, cuánto se aleja la elipse de una cicunfeencia pefecta. a b e e < 1 a En una cicunfeencia, a b, con lo que e 0. Cuanto meno sea la excenticidad, más paecida es la óbita a una cicunfeencia. Paa el caso de los planetas alededo del ol, las excenticidades son muy pequeñas (la de la Tiea, po ejemplo, es de 0,017)

10 I.E.. l-ándalus. Dpto. de Física-Química. Física º achilleato. Tema. Int. Gavitatoia Hasta aquí lo que podemos estudia en este cuso sobe las tayectoias elípticas. Paa continua un estudio apoximado, haemos una simplificación azonable. En la mayoía de los casos la excenticidad (difeencia ente los semiejes mayo y meno) de la elipse es tan pequeña que podemos supone, en el estudio elemental que estamos ealizando, que se tata de una cicunfeencia. Es deci, consideaemos que un satélite descibe, alededo del planeta, un movimiento cicula unifome. Es deci, tanto el adio de la óbita como la velocidad se mantendán constantes en toda la tayectoia. Velocidad obital: ( v ob ) Es la velocidad que lleva el satélite en su óbita. Paa calculala, tendemos en cuenta que la única fueza que actúa sobe el satélite es la avitatoia. También, al tatase de un movimiento cicula, sólo tendá aceleación nomal. plicando la seunda ley de Newton: Iualando ambas expesiones: G m/ v m/ / / v Obsevamos que, a cada óbita coesponde una velocidad deteminada. ob G F m a n F v m m G Peiodo de evolución ( T ): Tiempo que tada el satélite en descibi una óbita completa (en da una vuelta). Dado que se tata de un movimiento unifome, podemos calcula este tiempo dividiendo la distancia ecoida (una vuelta π ) ente la velocidad que lleva (v ob ). sí d π π T T vob G G De este esultado podemos extae una impotante consecuencia: Elevando al cuadado y despejando... 4π T 4π T cte G G Obtenemos la expesión de la ª ley de Keple. plicación: atélites eoestacionaios: Este tipo de satélites atificiales son muy usados, sobe todo en telecomunicaciones (TV, adio "vía satélite"). e denominan así poque siempe se encuentan sobe el mismo punto de la supeficie teeste. Lóicamente no están quietos (se caeían), sino que se mueven al mismo itmo que la Tiea, descibiendo una vuelta en un día. sí, su T 4 h s. apox. Teniendo en cuenta la expesión anteio, a un peiodo de evolución deteminado le coesponde una distancia deteminada del cento de la Tiea. Paa el caso de estos satélites eoestacionaios, la distancia esulta se de unos 400 km, o sea, desciben óbitas a 6000 km de altua sobe la supeficie teeste, una distancia muy ande compaada con la altua que alcanzan los llamados satélites de óbita baja, ente 400 y 800 km sobe la supeficie.

11 I.E.. l-ándalus. Dpto. de Física-Química. Física º achilleato. Tema. Int. Gavitatoia Velocidad de escape: ( v e ) e define como la velocidad a la que había que lanza un cuepo desde la supeficie del planeta paa que escapaa de su atacción avitatoia, alejándose indefinidamente. En este cálculo se despecia el ozamiento con la atmósfea. En pime lua tenemos en cuenta que, al no tene en cuenta el ozamiento, la única fueza que va a actua sobe el movimiento del cohete seá la avitatoia, que es consevativa. Po lo tanto, la eneía mecánica del cohete se mantendá constante. Datos:, : masa y adio del planeta m: masa del poyectil istemas de efeencia: mediemos las distancias desde el cento del planeta. El oien de eneía potencial avitatoia lo colocamos a una distancia infinita del cento planetaio, po lo que la G m expesión usada paa la Ep seá Ep v 0 v v e Consideaemos dos situaciones: Inicial: Lanzamiento del cohete desde la supeficie teeste con velocidad v e. G m 1 1 mve Ec E 1 Ec + Ep 1 Ep 1 G m mve E Final: el cohete se aleja indefinidamente. En el límite cuando la distancia tiende a infinito, la velocidad (y la Ec) tiende a ceo, al iual que la eneía potencial, ya que el oien de Ep está colocado en el infinito. lim lim E E ( Ec + Ep ) 0 plicando la consevación de la eneía mecánica: 1 G m 1 G m/ G 1 E 1 mve 0 mv / e ve G v e Puesto en función de la avedad en supeficie v e 0 Nótese que la velocidad de escape desde la supeficie de un planeta sólo depende de las caacteísticas (masa, tamaño) del planeta. No impota la masa del poyectil. (Evidentemente, paa acelea un poyectil de más masa hasta esa velocidad se necesitaá un mayo esfuezo, peo eso es ota cuestión) También puede hablase de velocidad de escape desde una cieta altua h sobe la supeficie. El concepto es el mismo, solo que en lua de pondemos +h.

12 I.E.. l-ándalus. Dpto. de Física-Química. Física º achilleato. Tema. Int. Gavitatoia POLE TE : INTECCIÓN GVITTOI: 1. La tabla adjunta elaciona el peiodo T y el adio de las óbitas de cinco satélites que ian alededo del mismo asto: T (años) 0,44 1,61,88 7,89 ( 10 5 km) 0,88,08,74 6,00 a) osta si se cumple la tecea ley de Keple. Cuál es el valo de la constante? b) e descube un quinto satélite, cuyo peiodo de evolución es 6,0 años. Calcula el adio de su óbita.. Una masa de 8 k está situada en el oien. Calcula: a) Intensidad del campo avitatoio y potencial avitatoio en el punto (,1) m. b) Fueza con que ataeía a una masa m de k, y eneía almacenada po dicha masa. c) Tabajo ealizado po la fueza avitatoia al taslada la masa m desde el punto (,1) m al punto (1,1) m. Dos masas de 5 k se encuentan en los puntos (0,)m y (,0) m. Calcula: a) Intensidad de campo avitatoio y potencial avitatoio en el oien. b) Tabajo ealizado po la fueza avitatoia al taslada una masa de 1 k desde el infinito hasta el oien. 4.- a) En qué punto se equiliban las atacciones que ejecen la Luna y La Tiea sobe un cuepo de masa m? (Datos: distancia del cento de la Tiea al cento de la Luna km; T / L 81) b) i en dicho punto la atacción avitatoia que sufe la masa m es nula, podemos deci también que su eneía potencial también es nula? azona. 5.- Un objeto que pesa 70 kp en la supeficie de la Tiea, se encuenta en la supeficie de un planeta cuyo adio es el doble del teeste y cuya masa es ocho veces la de la Tiea. Calcula: a) Peso del objeto en dicho lua b) Tiempo que tada en cae desde una altua de 0 m hasta la supeficie del planeta, si lo dejamos cae con v Calcula: a)ltua sobe la supeficie teeste en la que el valo de se ha educido a la mitad b)potencial avitatoio teeste en un punto situado a 670 km de distancia de la Tiea. (Datos: asa de la Tiea k ; T 670 km.) 7.- Un cuepo se lanza veticalmente hacia aiba con una velocidad de 1000 m s -1. Calcula: a) ltua máxima que alcanzaá b) epeti lo anteio despeciando la vaiación de con la altua. Compaa ambos esultados. 8.- Calcula la velocidad de escape paa un cuepo situado en : a) La supeficie teeste b) 000 km sobe la supeficie 9.- Un satélite atificial descibe una óbita cicula a una altua iual a tes adios teestes sobe la supeficie de la Tiea. Calcula: a) Velocidad obital del satélite b) celeación del satélite 10.- a) Cuál seá la altua que alcanzaá un poyectil que se lanza veticalmente desde el ol a 70 km/h.? b) Cuántas veces es mayo el peso de un cuepo en el ol que en la Tiea? ( OL / TIE 4440 ; / T 108 ; T 670 km) 11.- i la avedad en la supeficie luna es apoximadamente 1/6 de la teeste, calcula la velocidad de escape de la Luna En qué medida impota la diección de la velocidad? (dato LUN 1740 km) 1.- El planeta ate tiene un adio 0,5 T. u satélite Fobos descibe una óbita casi cicula de adio iual a,77 veces, en un tiempo de 7 h 9' 14". Calcula el valo de en la supeficie de ate. (dato: T 670 km) 1.- Calcula la aceleación especto al ol de la Tiea si el adio de la óbita es 1, km de adio. Deduci la masa del ol (datos T k ; T 670 km)

13 I.E.. l-ándalus. Dpto. de Física-Química. Física º achilleato. Tema. Int. Gavitatoia Calcula: a) Tabajo que hay que ealiza paa taslada un cuepo de 0 k desde la supeficie teeste hasta una altua iual al adio de la Tiea. ( T k ; T 670 km) b) Velocidad a la que había que lanzalo paa que alcanzaa dicha altua 15. Un satélite de comunicaciones está situado en óbita eoestacionaia cicula en tono al ecuado teeste. Calcule: a)adio de la tayectoia, aceleación tanencial del satélite y tabajo ealizado po la fueza avitatoia duante un semipeiodo; b) campo avitatoio y aceleación de la avedad en cualquie punto de la óbita. (G 6, Nm k - T 5, k) 16. Un satélite descibe una óbita cicula de adio T en tono a la Tiea.. a) Detemine su velocidad obital. b) i el satélite pesa 5000 N en la supeficie teeste, cuál seá su peso en la óbita? Explique las fuezas que actúan sobe el satélite. ( T 6400 km ; T k ; G 6, Nm k - ) 17. Un satélite descibe una óbita en tono a la Tiea con un peiodo de evolución iual al teeste. a) Explique cuántas óbitas son posibles y calcule su adio. b) Detemine la elación ente la velocidad de escape en un punto de la supeficie teeste y la velocidad obital del satélite. ( T 6400 km ; T 10 m s - ; G 6, Nm k - ) 18. i con un cañón suficientemente potente se lanzaa hacia la Luna un poyectil. a) En qué punto de la tayectoia hacia la Luna la aceleación del poyectil seía nula? b) Qué velocidad mínima inicial debeía posee paa llea a ese punto? Cómo se moveía a pati de esa posición? ( T 6400 km ; T k ; G 6, Nm k - ; L 1600 km ; L 7 10 k ; d T-L, m ) 19. La masa de la Luna es 0,01 veces la de la Tiea y su adio es 0,5 veces el adio teeste. Un cuepo, cuyo peso en la Tiea es de 800 N, cae desde una altua de 50m sobe la supeficie luna. a) Detemine la masa del cuepo y su peso en la Luna. b) ealice el balance eneético en el movimiento de caída y calcule la velocidad con que el cuepo llea a la supeficie. 0. dadas las siuientes distibuciones de masa (todas de 10 k), calcula paa cada caso campo y potencial avitatoios en el punto a, así como el tabajo necesaio paa lleva la unidad de masa desde el punto al. en el infinito CUETIONE TEÓIC: 1. a) i el ceo de eneía potencial avitatoia de una patícula de masa m se sitúa en la supeficie de la Tiea, cuál es el valo de la eneía potencial de la patícula cuando ésta se encuenta a una distancia infinita de la Tiea? b) Puede se neativo el tabajo ealizado po una fueza avitatoia?, Puede se neativa la eneía potencial avitatoia?. En una eión del espacio existe un campo avitatoio unifome de intensidad, epesentado en la fiua po sus líneas de campo. a) azone el valo del tabajo que se ealiza al taslada la unidad de masa desde el punto al y desde el al C. b) nalice las analoías y difeencias ente el campo descito y el campo avitatoio teeste.

14 I.E.. l-ándalus. Dpto. de Física-Química. Física º achilleato. Tema. Int. Gavitatoia a) Explique el concepto de velocidad de escape y deduzca azonadamente su expesión. b) Qué ocuiía en la ealidad si lanzamos un cohete desde la supeficie de la Tiea con una velocidad iual a la velocidad de escape? 4. a) Esciba la ley de Gavitación Univesal y explique su sinificado físico. b) eún la ley de Gavitación, la fueza que ejece la Tiea sobe un cuepo es popocional a la masa de éste, po qué no caen más depisa los cuepos con mayo masa? 5. ean y dos puntos de la óbita elíptica de un cometa alededo del ol, estando más alejado del ol que. a) Haa un análisis eneético del movimiento del cometa y compae los valoes de las eneías cinética y potencial en y en. b) En cuál de los puntos o es mayo el módulo de la velocidad? y el de la aceleación? 6. e suele deci que la eneía potencial avitatoia de un cuepo de masa m situado a una altua h viene dada po Ep m h. a) Es coecta dicha afimación? Po qué? b) En qué condiciones es válida dicha fómula? OLUCIONE LO POLE 1. a), años /km ; b) 5, km. a) - 9, i - 4, j j N/k ; V -, J/k b) F - 1, i - 9, j N; Ep -4, J ; c), J. a) 8, i + 8, j N/k ; V -, J/k b), J 4. a), m de la Tiea ; b) No 5. a) 17 N ; b) 1,4 s 6. a) 0,41 T ; -, J/k 7. a) 51 km ; b) 50 km 8. a) 11, km/s ; b) 9,8 km/s 9. a) 96 m/s ; b) 0,616 m/s 10. a) 7 m ; b) 7,8 veces mayo 11. a),4 m/s 1. a),7 m/s 1. a 5, m s - ; 10 0 k 14. a) W ext - W 6, J ; b) 796 m/s 15. a) 400 km ; a t 0 m/s ; W 0 J ; b) 0, m s a) a) 559 m/s ; b) 150 N 17. a) Hay una sola óbita posible (una sola distancia), 400 km ; b) v esc,6 v ob 18. a), m de la Tiea ; b) 11,06 km/s 19. a) m 80 k ; P L 18 N