MAGNITUDES VECTORIALES:

Transcripción

1 Magnitudes ectoiales MAGNITUDES VECTORIALES: Índice 1 Magnitudes escalaes ectoiales Suma de ectoes libes Poducto de un escala po un ecto 3 Sistema de coodenadas ectoiales. Vectoes unitaios 3 Módulo de un ecto 4 Poducto escala de dos ectoes 4 Consecuencias del poducto escala de 5

2 MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Magnitudes ectoiales Las magnitudes escalaes quedan pefectamente definidas po un númeo las unidades coespondientes (e. tempeatua) Las magnitudes ectoiales pecisan además de un alo numéico (módulo), una diección, un sentido un punto de aplicación. La epesentación matemática de cualquie magnitud ectoial ecibe el nombe de ecto se puede defini como un segmento oientado en el que ha que distingui: - Módulo: longitud del segmento AB. - Diección: ecta que lo contiene (e). - Sentido: dado po el oden A B, (punta de flecha). - Punto de aplicación A. Se epesenta po AB o AB. El módulo poniendo el ecto ente baas AB. Diección Módulo Sentido Tipos de ectoes: Libes poducen el mismo efecto cuando (siendo su módulo sentido iguales) se desplazan paalelamente a si mismos. Deslizantes solo pueden aia su punto de aplicación a lo lago de su diección. Ligados o fios. SUMA DE VECTORES LIBRES. Gáficamente Se aplica la egla del paalelogamo. Se hacen coincidi los puntos de aplicación de ambos ectoes se constuen tazando paalelas po los etemos de cada ecto, un paalelogamo. El segmento, que une en a b R este oden, los puntos de aplicación con el étice opuesto del paalelogamo es el ecto esultante de la suma. a b También se puede obtene la suma haciendo coincidi el punto de c aplicación del segundo ecto con el etemo del pimeo uniendo el R de 5

3 Magnitudes ectoiales punto de aplicación del pimeo con el etemo del ecto paalelo al segundo. La esta o difeencia ente dos ectoes se puede e fácilmente que se obtiene uniendo el etemo del sustaendo con el etemo del minuendo pues: b + d = a a b d Es impotante e la aplicación que tiene esto a la descomposición de un ecto en sus componentes en diecciones adecuadas paa esole un poblema. Po eemplo el peso que actúa sobe la lentea del péndulo se puede descompone en una componente tangencial ota componente nomal a la taectoia. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR. Es oto ecto cua diección coincide con la del pime ecto, módulo iene multiplicado po el escala = ) su sentido es el del ecto si n > 0 el contaio si n < 0. ( n n SISTEMA DE COORDENADAS VECTORIALES. VECTORES UNITARIOS. En muchas ocasiones debemos efeinos siempe a unas coodenadas. En una palaba, estamos Y adoptando un sistema de efeencia. En este caso elegimos los ees XY que se cotan pependiculamente en el oigen de coodenadas. Cualquie punto del plano se define ahoa po un ecto de posición que, con punto de aplicación en el oigen, llega hasta el punto consideado. Sea ahoa el ecto de la figua. Como se e se puede descompone en tes ectoes cua suma sea igual a él: = + X Definiemos a continuación el ecto unitaio u en la diección de como un ecto que teniendo su misma diección sentido tiene po módulo la unidad. Recodando lo que se decía del poducto de un 1 escala po un ecto, se cumple: = u o lo que es lo mismo: u = Se definen los ectoes i, como los ectoes unitaios en la diección de los ees X e Y 3 de 5

4 Magnitudes ectoiales espectiamente con sentido diigido desde el oigen hacia la pate positia de estos ees. Po tanto el ecto = + = i + La suma de dos ectoes en función de sus componentes seá: Siendo p un escala: a = a i + a b = b i + b p = p + p a + b = ( a + b ) i + ( a + b) MODULO DE UN VECTOR Y En la figua se e que el módulo del ecto seá: = + (aplicando el teoema de Pitágoas). X Si los ángulos que foma el ecto con el ee X el ee Y son α β, = α, = β sustituendo en la ecuación anteio queda: = ( α + ) β de donde se deduce: α + β = 1 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES. El poducto escala de dos ectoes es un escala. Se define como: a b = a b α se lee ecto a multiplicado escalamente po b. El poducto escala de dos ectoes posee las siguientes popiedades: a Conmutatia: a b = b a α Distibutia: a ( b + c) = a b + a c b ( n a) b = n ( a b) Po oto lado la popia definición de poducto escala se deduce: i i = = 1 que i = i = 0 Y en función de las componentes de dos ectoes, su poducto escala seá: a b = a b + a b 4 de 5

5 Magnitudes ectoiales CONSECUENCIAS DEL PRODUCTO ESCALAR. 1. Dos ectoes cuo poducto escala es 0 son pependiculaes ( 90 = 0). Se puede calcula el ángulo que foman dos ectoes de la foma siguiente: a b α = ab 3. Paa calcula la poección de un ecto sobe una diección deteminada solo ha que calcula el poducto escala del ecto po el ecto unitaio en la diección mencionada antes. u = u α = α es deci la poección de sobe la ecta. 5 de 5