Leyes de Kepler Movimiento de masas puntuales en las proximidades de la superficie terrestre Satélites. Velocidad orbital y velocidad de escape.

Transcripción

1 TEM : INTERCCIÓN GRVITTORI PRTE Genealización del concepto de tabajo a una fueza vaiable. Teoema del tabajo y la enegía cinética. Fuezas consevativas. Enegía potencial asociada a una fueza consevativa. Tabajo y difeencia de enegía potencial. Relación ente fueza consevativa y vaiación de enegía potencial. Enegía potencial en un punto Consevación de la enegía. Consevación de la enegía mecánica PRTE Descipción de una inteacción: cción a distancia y concepto de campo. Líneas de fueza. Ley de gavitación univesal. nálisis de las caacteísticas de la inteacción gavitatoia ente dos masas. Inteacción de un conjunto de masas: Pincipio de supeposición. Noción de campo gavitatoio: Intensidad del campo gavitatoio de una masa puntual. Campo gavitatoio teeste. Vaiación de "g" con la altua Campo gavitatoio de un conjunto de masas. Enegía potencial gavitatoia de una masa puntual en pesencia de ota. Noción de potencial gavitatoio. Supeficie equipotencial. Relación ente campo y potencial gavitatoio. PRTE 3 Leyes de Keple Movimiento de masas puntuales en las poximidades de la supeficie teeste Satélites. Velocidad obital y velocidad de escape. MPLICIÓN Ciculación de un vecto a lo lago de un camino c Flujo a tavés de una supeficie Flujo de la intensidad de campo a tavés de una supeficie ceada. Teoema de Gauss

2 GENERLIZCIÓN DEL CONCEPTO DE TRJO UN FUERZ VRILE Supongamos que queemos lleva un cuepo desde un punto hasta oto a lo lago de un deteminado camino: (ecueda que el móvil no tiene poqué movese según la esultante de la fueza que actúa sobe él poque puede tene algún tipo de esticción) Po definición, el tabajo ealizado po la fueza F paa desplazalo una longitud infinitesimal es el poducto escala de la fueza po el vecto desplazamiento: d tabajo elemental F vecto fueza d vecto desplazamiento dxi + dyj d F d El tabajo total paa lleva al cuepo desde el punto al po el camino c lo obtenemos mediante la integal definida ente esos puntos:,c F d,c En geneal, el tabajo ealizado po una fueza paa lleva un cuepo desde un punto hasta oto punto depende del camino que se siga. (Más adelante tataemos las fuezas consevativas, que son aquellas que ealizan el mismo tabajo paa lleva un cuepo desde un punto hasta oto sin impota el camino seguido.) Lo expesamos como:,c F d,c,c F d,c Caso paticula: Cuando la fueza es constante en módulo y diección. Si obsevas las figuas siguientes veás que paa desplazamientos gandes el módulo del vecto desplazamiento no coincide con el espacio ecoido sobe la tayectoia, peo paa un desplazamiento infinitesimal sí que son iguales:

3 s peo d ds sí que podemos pone d F d F d cosα F ds cosα si F y α son constantes podemos sacalas de la integal: F. cons tan te F cos α ds F cos α s s F. cons tan te ds F cos α F s cosα s [ s] F cos α (s s ) F s cos α s Ejemplo: Un niño tia de un camión de juguete aplicando una fueza de 0N mediante una cueda que foma un ángulo de 60º con la hoizontal. Calcula el tabajo que ealiza cuando lo aasta 0m. plicando la definición geneal de tabajo y teniendo en cuenta que F Fcos α i + Fsenα j y que en este caso como únicamente se desplaza a lo lago del eje X ( no vaía de coodenada Y con lo que siempe dy0) y el vecto desplazamiento nos quedaía d dxi + dyj dxi,c,c F d x 0 x 0 (Fcosα i + Fsenα j) dx i ecodando que i i y que i j 0 Como integamos especto a x, los límites de integación son desde x 0 hasta x 0 x 0 x 0 x 0 [ Fcos α x] 0 cos60 (0 0) 00Julios,c Fcos α dx x 0 Como en este caso la fueza es constante también podíamos habe aplicado la definición paticula de tabajo: F s cos α 0 0 cos60 00J Obseva que únicamente ealiza tabajo la componente de la fueza que lleva la diección del desplazamiento (F. cosα)

4 Ejemplo: Calcula el tabajo que hacemos paa levanta veticalmente, con velocidad constante, un cuepo de Kg hasta una altua de 3 metos. Calcula el tabajo ealizado po el peso y el tabajo ealizado po la fueza esultante. Fíjate bien que cuando en el enunciado dice levanta con velocidad constante eso es un dato muy impotante, poque, de acuedo con las leyes de Newton, quiee deci que la suma de las fuezas sobe el cuepo es nula. Po tanto, si el cuepo está sometido a la fueza pesomg, la fueza que debeemos hace paa subilo con velocidad constante debe tene el mismo módulo Fmg, la misma diección y sentido contaio. plicando la definición geneal de tabajo: Tendemos en cuenta que el movimiento es sobe el eje Y y que po tanto no vaía la coodenada X (dx0). El vecto desplazamiento nos quedaía d dxi + dyj dy j [ mg y] y 3 y 3 y 3 FFuezaF d mg j dy j mgdy,c y 0 y 0 y 0 0(3 0) FuezaF 60Julios Obseva que como ahoa hemos integado especto a dy, los límites de integación han sido desde y0 hasta y3. El tabajo que hace la fueza peso, siguiendo el mismo pocedimiento seía: Peso,c F Peso d y 3 y 0 mg ( j) dy j y 3 y 0 mgdy [ mg y] y 3 y 0 0(3 0) 60Julios El signo menos del tabajo se intepeta como que la fueza peo ealmente no haá nunca ese tabajo sino que haía el contaio. Como sabemos po expeiencia, el peso no sube de foma espontánea a los cuepos sino todo lo contaio. El tabajo total puede obtenese de dos fomas: Como suma de todos los tabajos ealizados po cada una de las fuezas ( 60) 0 TOTL Como el tabajo que hace la fueza esultante. Como FRe sul tan te 0 F d 0 Re sul tan te TOTL,c

5 plicando la definición paticula de tabajo: En este caso podemos esolve el ejecicio aplicando la definición paticula de tabajo paa fuezas constantes, ya que (paa puntos póximos a la supeficie teeste) podemos considea que el peso no vaía y tampoco la fueza que hemos de hace paa subilo con velocidad contante, ya que es igual al peso y de sentido opuesto) F s cosα Paa aplica esa expesión a la fueza F tendemos en cuenta que: el módulo de la fueza es igual al peso, es deci, F FuezaF mg, que el espacio que ecoe es s3m y que el ángulo que foma la fueza que hacemos y el desplazamiento es de 0º FFuezaF s cos α mg s cos α 0 3 cos0 60J FuezaF Paa aplica la expesión a la fueza peso tendemos en cuenta que, al igual que antes, el módulo del peso es F Peso mg, el espacio ecoido es s3m, peo ahoa (puesto que se mueve hacia aiba) el ángulo que foma el desplazamiento y la fueza peso es de 80º Peso F Peso s cos α mg s cos α 0 3 cos80 60J Obsevaciones: Muchos alumnos confunden los vectoes con su módulo. Especialmente cuando se tata de movimientos en una dimensión y se supimen los vectoes unitaios de los ejes sustituyéndolos solamente po su signo. Es deci que (como ocue en este caso donde el movimiento es solo en el eje Y) podemos escibi los vectoes como: F FuezaF mg j o simplemente +mg (con el + indicamos que lleva diección y sentido de j ) mg j o simplemente mg (con el indicamos que lleva diección y sentido de j ) F Peso Los módulos de los vectoes nunca tienen signo ya que el módulo solamente indica el valo. Entiende de una vez que el signo hace efeencia al sentido del vecto y no del módulo. hoa bién, las magnitudes escalaes sí que pueden tene signo como le ocue al tabajo. De acuedo a lo anteio, seía un dispaate escibi mg s cos α 0 3 cos80 Peso poque al pone mg estaíamos sustituyendo el módulo de la fueza po su expesión vectoial (aunque no le pongamos la j ). Po oto lado, el signo menos ya nos apaeceá como consecuencia de que cos80, peo si lo hiciéamos mal tendíamos dos signos menos y el tabajo final seía positivo, que seía como deci que la fueza peso es capaz de hace un tabajo y de subi un cuepo hasta una altua mayo.

6 Ejemplo: Un cuepo de 0 Kg se encuenta en la base de un plano inclinado 30º sobe la hoizontal, sin ozamiento. Un hombe tia de él y lo sube hasta una altua de,5 m. a) con qué fueza debe tia el hombe paa subilo con velocidad constante b) que tabajo ealiza c) si oto hombe lo sube veticalmente hasta la misma altua con la ayuda de una polea d) qué fueza y que tabajo ealizaía en este oto caso? a) Si el hombe sube el cuepo con velocidad constante quiee deci, de acuedo con la º ley de Newton, que la suma de las fuezas es ceo, po tanto: de la figua se deduce que paa que la suma de las fuezas sea ceo, el hombe debe ejece una fueza igual a la componente del peso que tiene la diección del plano: F mg senα 0 0 sen30 00New b) El espacio ecoido sobe el plano paa que ascienda,5m se calcula como:,5 sen 30 s 3 metos s El tabajo, aplicando la expesión paticula poque la fueza es constante: (Mucho cuidado de no confundite con el ángulo. quí α es el ángulo que foma la fueza F con el desplazamiento, que es 0º): F s cos α 00 3 cos0 300Julios c) El hombe que sube el cuepo con velocidad constante con la ayuda de una polea: plicando la segunda ley a todo el sistema F mg ma como vcte a0 F mg New Como vemos, al tatase de una polea es ideal y que la fueza que aplicamos no tiene masa, entonces se tansmite íntegamente: Fmg d) Como F es una fueza constante, aplicando la expesión paticula del tabajo que ealiza el hombe paa subi la masa,5 m tendemos: F s cos α 00,5 cos0 300Julios

7 Obseva que el tabajo que ealiza el hombe paa subi el cuepo con velocidad constante po el plano y po la vetical es exactamente el mismo, y eso es así poque no hay ozamiento, sin embago la fueza que debe ejece si lo sube po el plano es más pequeña. En el caso de que hubiese ozamiento el tabajo ealizado po el plano seía mayo que po la vetical, peo aún así la fueza que debe ejece sigue siendo meno, de ahí la utilidad de los planos. Ejemplo: Un niño tiene una pistola de juguete que funciona con un esote, como la que se indica en la figua. La constante de ecupeación del muelle es de 500 N/m Qué tabajo ealiza el niño cada vez que compime el esote 0 cm paa cagala? La fueza que debe hace el niño paa compimi el muelle, con velocidad constante, es exactamente igual a la fueza ecupeadoa del muelle peo en sentido contaio: F F Recupeadoa (Muelle) Defomadoa (Niño) k x o bien F k x i Re cupeadoa (Muelle) k x o bien F k x i Defomadoa (Niño) El signo menos de la fueza ecupeadoa se intepeta como que esa fueza se opone a la defomación. (Si, como en la figua, defomamos el esote hacia la pate positiva la fueza ecupeadoa apunta hacia la pate negativa y vicevesa.) En este caso la fueza que hace el niño no es constante puesto que depende de x, po tanto tendemos que utiliza obligatoiamente la definición geneal de tabajo. La fueza que hace el niño en foma de vecto es F Niño kx i y el vecto desplazamiento, como solo se desplaza a lo lago del eje X, nos quedaía d dxi + dyj dxi x 0, x 0, 0, F d kxi dxi kx dx kx 0 500(0, 0 ) N,Niño Niño x 0 x 0 Este tabajo que ha ealizado el niño al caga la pistola: kx queda almacenado en el esote (En foma de enegía potencial como veemos más adelante). l apeta el gatillo y deja libe el muelle actúa la fueza ecupeadoa k x i y de esta foma se FRe cupeadoa (Muelle) nos devuelve el tabajo que ealizamos al cagala. Compueba que el tabajo hecho po la fueza ecupeadoa paa lleva el muelle desde hasta es también 0Julios. 0Julios

8 POTENCI Dos máquinas pueden ealiza el mismo tabajo, una en poco tiempo y la ota tadando más. Paa identifica a la mejo se define la potencia como el tabajo ealizado en la unidad de tiempo, así: d P dt teniendo en cuenta la definición de tabajo podemos enconta ota expesión análoga: Ejemplo P d dt F d F v dt Un moto eléctico se utiliza paa eleva un peso de 50Kg desde el suelo hasta una altua de 5m. Se emplea en la opeación un tiempo de 5 minutos. Si el moto consume 500 watios Cuánto vale la enegía pedida?. El tabajo que ealmente hace el moto es: moto P t 500 (5 60) 50000Julios El tabajo útil es el que ealmente hace falta paa subi los 50Kg a la altua de 5m: util F s mg s Julios El tabajo pedido, que se tansfomaá en calo es: El endimiento del moto seía: pedido moto util 87500Julios Re n dimiento util moto ,7%

9 TEOREM DEL TRJO Y L ENERCI CINÉTIC Si tenemos en cuenta la definición de tabajo, la segunda ley de Newton y que v d dt, podemos pone que: dv dv d F d m d m v dt dt dt teniendo en cuenta que dv y v son vectoes en la misma diección y sentido y que po tanto el coseno del ángulo que foman es : d m dv v m v dv,todas las fuezas mv dv mv mv mv,todas las fuezas Ec Ec Ec Lo que nos dice que el tabajo ealizado po la fueza F (esultante de todas las fuezas, incluida la de ozamiento si existe) paa lleva el cuepo desde un punto hasta oto es igual a la vaiación de enegía cinética ente esos puntos. Se conoce como teoema de las fuezas vivas. Ejemplo: Si dejamos cae un cuepo de Kg desde una altua de 5m Qué enegía cinética tendá al llega al suelo? Posiblemente la eacción de algún alumno sea calcula el valo de la velocidad al llega al suelo y luego aplica la fómula de la enegía cinética. Eso estaía bien, peo vamos a esolvelo aplicando el teoema de las fuezas vivas. Como el peso puede considease constante podemos aplica la definición paticula de tabajo. El tabajo ealizado, en este caso, po la fueza peso que tiene la misma diección y sentido del desplazamiento, es: F s cos α mg s cos julios plicando el teoema del tabajo y la enegía cinética y teniendo en cuenta que la enegía cinética en el punto (aiba) es nula poque pate del eposo, seía:,todas las fuezas Ec Ec Ec 00julios

10 Ejemplo: Un ciclista va a 5 m/s po una calle hoizontal. Cuando se le cuza una suega fena paa no pillala y se detiene en 5m. Cuánto vale el coeficiente de ozamiento? Si el ciclista se temina paando, quiee deci que toda su enegía cinética inicial se disipaá en ozamiento. De acuedo con el teoema del tabajo y la enegía cinética:,todas las fuezas Ec Sobe el ciclista hay tes fuezas: peso, nomal y F Roz. Como el peso y la eacción del plano se anulan, finalmente nos queda que la fueza esultante es igual a la fueza de ozamiento F Roz µ N mgµ. Como la F Roz es una fueza constante podemos aplica la definición paticula de tabajo: FRoz s cos80 mvf mvi mg mv i v gs i µ s ( ) µ 0, 5 Ejemplo: Un poyectil de 5g se mueve con una velocidad de 500m/s cuando choca con un saco de aena y se paa después de ecoe 0cm Qué tabajo ha ealizado la aena sobe el poyectil?. Suponiendo constante la fueza que ealiza este tabajo, cuánto vale? El ejecicio es exacto al anteio. plicando el teoema del tabajo y la enegía cinética concluiemos que el tabajo ealizado po la fueza que hace la aena (fueza de ozamiento de la bala con la aena) debe se igual a la enegía cinética que tenía la bala: F. aena,todas las fuezas Ec mvf mvi 0, Julios La fueza (de ozamiento) que disipa este tabajo es: F. aena 6875 Faena s cos80 F aena 68750New 0,0 ( )

11 FUERZS CONSERVTIVS En los ejemplos anteioes hemos visto como un cuepo que tiene enegía cinética es capaz de ealiza un tabajo. Supongamos ahoa que lanzamos una pieda hacia aiba con una deteminada velocidad inicial. Ya sabemos que, si despeciamos el ozamiento, la pieda al volve a la posición inicial tendá la misma velocidad (aunque de sentido opuesto). Quiee deci que tiene la misma enegía cinética inicial y final, y que po tanto el cuepo conseva su capacidad de hace tabajo. Las fuezas gavitatoias, po tanto, son consevativas. Siguiendo con el mismo ejemplo, si ahoa consideamos que hay ozamiento, la velocidad de la pieda al llega seá meno que la inicial, lo que quiee deci que su enegía cinética es meno y po tanto que el ozamiento es una fueza disipativa o no consevativa. En geneal el tabajo ealizado po una fueza F al lleva un cuepo del punto al depende del camino seguido. Decimos que una fueza es consevativa cuando el tabajo que ealiza paa lleva un cuepo desde un punto hasta oto es independiente del camino seguido y solamente depende de la posición de los puntos inicial y final. Po tanto si el tabajo lo hace una fueza consevativa podemos pone que:,c,c como al cambia los límites de integación la integal cambia de signo, podemos escibi: +,c +,c 0 o bien, como el camino no impota 0 también se escibe: F d 0 Quiee deci que el tabajo ealizado po una fueza consevativa a lo lago de una tayectoia ceada es nulo. Fíjate como en la segunda expesión no hemos indicado el camino seguido, puesto que al tatase de una fueza consevativa el tabajo es independiente de la tayectoia seguida. Resumiendo, podemos defini a las fuezas consevativas diciendo: quellas que al lleva un cuepo de un punto hasta oto, ealizan un tabajo que no depende el camino seguido:,c,c, sino que solamente de la posición de los puntos inicial y final. quellas que al ecoe una tayectoia ceada hacen un tabajo nulo: F d 0 (Quiee deci que el tabajo es nulo cuando paten de un punto y, siguiendo una tayectoia cualquiea, vuelven al mismo punto.) Son fuezas consevativas, obviamente las que cumplen con esas definiciones, peo a título indicativo diemos que son fuezas consevativas todas aquellas que no dependen del tiempo o de la velocidad, es deci, son consevativas las fuezas que sean constantes (a excepción de la de ozamiento) y también aquellas que dependen de una coodenada y actúan a lo lago de ella, como po ejemplo la fueza elástica de un esote.

12 Un tipo de fuezas consevativas muy impotantes son las fuezas centales, como es el caso de las gavitatoias y elécticas. (Fuezas centales son aquellas cuya diección pasa po un punto llamado cento de fuezas y su módulo depende de la distancia al cento de fuezas) Ejemplo: Calcula el tabajo que la fueza peso ealiza paa lleva un cuepo de Kg desde el punto hasta el siguiendo los dos caminos de la figua Lo pimeo de todo seá dibuja la fueza peso, que siempe vayamos po donde vayamos es la misma: tiene un módulo de Pmg0New y la diección vetical hacia abajo (en foma vectoial seía P 0 j ). El tabajo po cada camino (teniendo en cuenta que la fueza peso puede considease constante y podemos aplica la definición paticula de tabajo) es: po el camino seá igual al P + P P F. s. cosα cos90 0 P F. s. cosα cos80 60 J P + P 0 +( 60) 60 J Obseva que en el tamo de P el tabajo es nulo poque la fueza peso es pependicula al desplazamiento, mientas que en el tamo P el tabajo esulta negativo poque la fueza y el desplazamiento foman 80º. (El signo menos indica que la fueza Peso nunca ealizaá ese tabajo, sino el contaio) po el camino P F. s. cosα 0 5 cos6, 87 60J Donde hemos tenido en cuenta que el espacio, de acuedo con el teoema de Pitágoas, es s El ángulo que foma la fueza y el desplazamiento es 6,87º. Es igual a β+90, donde β actg 3/ 4 36,87º la misma conclusión llegaíamos si la tayectoia fuese cualquie ota, poque siempe podíamos descomponela en un tozo infinitesimal hoizontal (a tavés del cual el tabajo seía nulo poque P d ) y oto vetical (donde el tabajo elemental seía P dy j ).

13 ENERGÍ POTENCIL Imaginemos una maceta en lo alto de un balcón. Como consecuencia de su posición en un campo de fuezas consevativo como el gavitatoio, tiene una cieta enegía acumulada que puede conveti en tabajo en cualquie momento. Lo mismo podíamos deci paa el caso de un esote que se encuenta desplazado especto de su posición de equilibio, dado que las fuezas elásticas también son consevativas. Puesto que el tabajo ealizado po una fueza consevativa paa lleva un cuepo desde un punto hasta oto es independiente del camino seguido y solamente depende de la posición de los puntos, a esos puntos podemos asignale una enegía llamada potencial que es función de la posición. Po definición, el tabajo que hace una fueza consevativa paa lleva un cuepo desde un punto hasta oto es igual a menos la vaiación de enegía potencial ente esos puntos :,F.Consevativa Ep Ep Ep El signo menos indica que la fueza consevativa del campo hace tabajo espontáneo o eal (tabajo positivo) cuando desplaza el cuepo desde los puntos de mayo enegía potencial a los puntos con meno enegía potencial. Dicho de ota foma, cualquie cuepo sometido a la acción de una fueza consevativa se mueve espontáneamente desde los puntos de mayo enegía potencial a los puntos con meno enegía potencial. (Obseva que + cuando Ep > Ep ),F.Consev. Campo Popiedades de la enegía potencial:. Es una enegía que posee un cuepo debida a la posición que ocupa en un campo de fuezas consevativas, o dicho de ota foma, es una enegía que depende de la sepaación ente las patículas que inteaccionan.. De lo anteio se deduce que la Ep es una magnitud asociada a la inteacción ente dos cuepos. Quiee deci que una masa no tiene Ep a menos que esté ceca de ota masa como la tiea, es deci, que un cuepo, po el simple hecho de movese tiene asociada una enegía cinética, peo no tiene poqué tene enegía potencial 3. La expesión de la enegía potencial depende del tipo de fueza consevativa. Como demostaemos más adelante:,f.consevativa Campo Gavitatoio puntos póximos a la Tiea,F.Consevativa Campo Gavitatoio ente dos puntos cualquiea Ep Ep Ep Ep mg h M m G mg h M m G,F.Consevativa Campo Eléctico Ep Ep q q q q K K

14 ,F.Consevativa Fueza elástica esote Ep Ep Kx Kx 4. No tiene ningún sentido habla de enegía potencial en un punto o enegía potencial absoluta. De acuedo con su definición como el tabajo ealizado po la fueza consevativa paa lleva un cuepo de un punto hasta oto vemos claamente que solamente puede hablase de vaiación de enegía potencial ente dos puntos. 5. No obstante, puede definise enegía potencial absoluta asignando valo ceo a la enegía potencial de un punto cualquiea. La elección del punto cuya Ep0 es absolutamente abitaia. Nomalmente en el campo gavitatoio y el eléctico se suele asigna valo ceo a la Ep en el infinito (po la azón que ya veemos). En el caso de un esote se le asigna Ep0 a la enegía que tiene en la posición de equilibio. Ep Ep Ep F d,f.consevativa Si hacemos Ep 0 F.Consev Si a la enegía potencial del cuepo en el punto (o el ) le asignamos, po acuedo, el valo ceo, entonces podíamos habla de enegía potencial absoluta en el punto (o el ) aunque en ealidad sigue siendo una difeencia de enegía potencial ente el punto y el oto al que hemos asignado ceo. En los poblemas de mecánica es coiente asignale ceo a la enegía potencial en la supeficie de la tiea (aunque sea más iguoso asigna Ep 0 ). sí, la enegía potencial de un gato en lo alto de un balcón seía: Ep mgh como demostaemos más adelante. 6. En un campo de fuezas consevativas el tabajo que hacemos nosotos paa lleva, conta las fuezas del campo y sin aceleación, un cuepo desde un punto hasta oto no se piede, sino que queda acumulado en foma de enegía potencial. sí podemos deci que el tabajo que hacemos nosotos paa lleva un cuepo desde un punto hasta oto, conta las fuezas del campo y sin aceleación, es igual a la vaiación de enegía potencial ente esos puntos,nosotos Ep Ep Ep,F.Consev.Campo Es lógico que el tabajo que hacemos (en conta de la fueza consevativa paa lleva el cuepo sin aceleación desde un punto a oto) sea igual al que hace la fueza consevativa, peo con distinto signo, ya que paa que el cuepo se mueva sin aceleación la fueza que debemos hace debe se exactamente igual a la consevativa peo en sentido contaio. sí pues, el tabajo ealizado po nosotos paa defoma el muelle una distancia x queda almacenado en foma de enegía potencial elástica. Si soltamos el muelle él volveá a la posición de equilibio y ealizaá el mismo tabajo que hicimos paa defomalo. En otas palabas nos devuelve el tabajo que hicimos nosotos paa defomalo. (exactamente igual podíamos deci de la maceta en el balcón.)

15 Hay que ecalca que los tabajos, aunque sean iguales en valo, son ealizados po fuezas distintas, así como que la fueza que hacemos nosotos no es consevativa: paa subi, sin aceleación, la maceta al balcón o compimi el esote, nosotos hemos de ealiza una fueza contaia al peso, o contaia a la fueza ecupeadoa en el caso del muelle. cuando soltamos la maceta, el tabajo lo ealiza ahoa la fueza consevativa: la fueza gavitatoia (el peso), o la fueza ecupeadoa en el caso del muelle. Quiee deci que ahoa el tabajo que hicimos y estaba acumulado en Ep nos lo devuelve el sistema. Imagina que paa lleva un cuepo desde un punto hasta oto nosotos hacemos un tabajo de 0 Julios (po ejemplo paa subi un cuepo hasta una deteminada altua), entonces, si en el punto tenía una enegía potencial x, en el punto tendá una enegía potencia x+0 : Recueda que aunque la fueza que hacemos nosotos paa lleva el cuepo sin aceleación sea igual en módulo a la fueza consevativa peso, no po eso la fueza que hacemos es consevativa. (Un Seat Panda puede i po una caetea a la misma velocidad que un Mecedes y no po eso el Panda es un Mecedes.)

16 Ejemplo: Demuesta que el tabajo ealizado po nosotos, conta las fuezas del campo y sin aceleación, queda almacenado en foma de enegía potencial y es igual al tabajo que nos devuelve la fueza consevativa. a) Paa las fuezas elásticas de un esote b) Paa el peso en las inmediaciones de la supeficie teeste. Ya hemos dicho que el tabajo paa lleva un cuepo de un punto hasta oto punto que hace la fueza consevativa y el que hacemos nosotos (paa llevalo sin aceleación) son iguales aunque de signo contaio. Eso es evidente ya que la fueza que debemos hace nosotos es exactamente igual a la consevativa peo en sentido contaio. Po oto lado, el tabajo que hace cualquie fueza (sea la que sea) paa lleva un cuepo de un punto hasta oto es igual y de signo contaio al que hace paa egesalo desde hasta po el mismo camino (o po cualquie oto camino si la fueza es consevativa). (Es una popiedad de las integales definidas: si cambiamos los límites de integación el esultado es el mismo cambiado de signo.) De acuedo con esto y con lo anteio tendemos que a) Caso del esote:,nosotos,f.consev. Campo Supongamos un esote como el de la figua, que sigue la ley de Hooke. Paa defomalo hemos de aplica una fueza exactamente igual a la fueza ecupeadoa del muelle y de sentido contaio, es deci que F nosotos kx i mientas que al soltalo quien tabaja es la fueza ecupeadoa elástica que vale F esote kx i. Po oto lado como el desplazamiento es según el eje X, el vecto desplazamiento seá: d dx i,nos Fnos d kx i dx i kx dx,esot Fesot d kx i dx i kx kx dx kx k ( x x ) k ( x x ) Como vemos el tabajo ealizado po el niño paa caga la pistola queda guadado en foma de EP y es igual al tabajo que la fueza elástica del esote hace paa llevalo de nuevo del punto al.

17 Podía peguntase poqué si hemos ecoido un ciclo completo el tabajo en el ciclo no es nulo? La espuesta es muy simple, poque los tabajos no están hechos po la misma fueza, ya que en el pime caso la hacemos nosotos y en el segundo el esote. b) Caso del campo gavitatoio, en puntos póximos a la supeficie teeste: Po ahoa nos limitaemos a demosta paa puntos póximos a la supeficie teeste (donde el valo de g podemos considealo constante) el tabajo ealizado po nosotos paa lleva una masa de un punto hasta oto queda acumulado en foma de Ep y es igual al tabajo que el campo gavitatoio hace paa llevalo de nuevo del punto al. Paa subi, sin aceleación, el cuepo desde al punto al tenemos que hace una fueza exactamente igual al peso y de sentido contaio, es deci que F nos mg j, mientas que paa i desde el punto al es la fueza del campo gavitatoio (el peso) la que lo lleva y po tato la que ealiza el tabajo F campo mg j. Po oto lado, en este caso como nos movemos sobe el eje Y, el vecto desplazamiento es: d dy j,nos Fnos d mg j dy j mg dy mgy mgh mgh mgh,campo Fcampo d mg j dy j mg dy mgy mgh mgh mgh Fíjate que en este ejemplo hemos llevado el cuepo desde el punto hasta el siguiendo la vetical, peo seía igual si hubiésemos seguido oto camino cualquiea: En efecto, el esultado seía exactamente el mismo. En este caso al movenos en dos dimensiones el vecto desplazamiento seía d dx i + dy j. l ealiza el poducto

18 escala de la fueza, tanto de la que hacemos nosotos que tiene diección j como de la que hace el campo, que tiene diección j po el vecto desplazamiento nos quedaía lo mismo, ya que como sabemos i j 0 poque son vectoes pependiculaes y el coseno de 90º es nulo. Ejemplo: Un cuepo de 0 Kg se encuenta en la base de un plano inclinado 30º sobe la hoizontal, sin ozamiento. Un hombe tia de él y lo sube hasta una altua de,5 m. a) con qué fueza debe tia el hombe paa subilo con velocidad constante b) que tabajo ealiza Ya esolvimos este mismo ejemplo mas aiba po métodos dinámicos, ahoa lo esolveemos teniendo en cuenta que el tabajo que hace el hombe paa lleva el cuepo desde el punto hasta el es igual a la difeencia de enegía potencial. demás si consideamos el nivel ceo de enegía potencial en el punto mas bajo, el, entonces:,nosotos Ep Ep Ep mgh 0 0,5 300Julios Ejemplo: Calcula la vaiación de enegía potencial que expeimenta un cuepo de 70Kg, cuando lo tasladamos desde el punto (,) hasta oto (5,0). y 0 Ep,nosotos Fnosotos d mg j (dxi + dyj) mg y y 70 0 (0 ) 5600J Evidentemente, podíamos habeesuelto como Ep mgh mgh Si tomamos nivel ceo de Ep en y0 tendemos Ep mgh mgh mg0 mg 5600J Si tomamos nivel ceo de Ep en y (que es el punto más bajo) Ep mgh mgh mg8 Como puedes ve el esultado es independiente del nivel ceo de Ep poque la enegía potencial es un escala y se tata de esta la Ep que hay en dos puntos. 5600J

19 FORM GENERL DEL PRINCIPIO DE CONSERVCIÓN DE L ENERGI De acuedo con el teoema del tabajo y la enegía cinética, el tabajo ealizado po la fueza esultante de todas las fuezas (sean consevativas o no) paa lleva el cuepo desde un punto hasta oto es igual a la vaiación de enegía cinética ente esos puntos:,todas las fuezas Ec o bien podíamos escibilo como:,campo F.Consevativas + F.NoConsevat Ec Po oto lado, como po definición, el tabajo que hacen las fuezas consevativas paa lleva un cuepo desde un punto hasta oto es igual a menos la vaiación de enegía potencial ente esos puntos, podemos pone que sí que estando nos queda que,campo F.Consevativas Ep o bien que: Ec + Ep F.NoConsevat Ec Ec + Ep + Ep + F.NoConsevat Eso quiee deci que la enegía mecánica al final puede se mayo o meno que la inicial. Todo depende del signo del tabajo de las fuezas no consevativas, es deci del sentido de las fuezas no consevativas: En el caso más fecuente de que se tate de las fuezas de ozamiento la enegía al final siempe seá meno que la inicial, puesto que la fueza de ozamiento tiene sentido contaio al desplazamiento y en consecuencia el tabajo que ealiza siempe es negativo (al lleva sentido contaio al desplazamiento el poducto escala d esulta negativo i i ). F Roz Ec + Ep + Ec + Ep Roz En el caso de que sobe el cuepo actúe una fueza no consevativa en la diección del desplazamiento la enegía mecánica al final es mayo que la inicial. Es el caso de cuando un coche sube aceleando po una cuesta. El tabajo ealizado po el moto del coche es esponsable que el aiba tenga más enegía que al pincipio. Ec + Ep + Ec + Ep Si obsevas bien la expesión Moto Ec + Ep F.NoConsevat veás que aiba de la cuesta el coche tiene mayo enegía tanto si sube con velocidad constante como si aumenta de velocidad mientas sube. Lógico, ya que en ambos casos el moto debe ealiza tabajo. Si sube, con velocidad constante, (paa que ΣF0 el moto debe ejece la fueza necesaia paa compensa a la componente del peso en

20 diección de la cuesta) tendemos que el tabajo del moto se invitió en aumenta la enegía potencial del coche Ep. Si sube, F.NoConsevat aumentando de velocidad, tendemos que el tabajo del moto se invitió en aumenta la enegía potencial del coche y en aumenta su enegía cinética: Ec + Ep F.NoConsevat Pincipio de consevación de la enegía mecánica Es una paticulaización del pincipio geneal de consevación de la enegía, que dice, que si sobe un cuepo solamente actúan fuezas consevativas entonces se conseva la enegía mecánica. Resulta evidente, ya que si todas las fuezas son consevativas 0 F.NoConsevat Ec + Ep 0 o lo que es igual: Ec + Ep Ec + Ep E const Nos dice que Si todas las fuezas que actúan sobe la patícula son consevativas, la suma de la enegía cinética y potencial es igual paa cualquie punto. la suma de Ec y Ep se le llama enegía mecánica. Este teoema que viene a deci que la Ec y Ep pueden vaia de unos puntos a otos, peo que su suma (la enegía mecánica) pemanece constante, dicho de ota foma, como Ec + Ep 0 si aumenta la enegía cinética ( Ec ) eso implica que disminuya la potencial ( Ep ), como ocue cuando un cuepo cae en caída libe o desliza po un plano inclinado sin ozamiento. Ejemplo: Una niña se tia po un tobogán desde una altua de metos. a) Con qué velocidad llegaía abajo si despeciamos el ozamiento? b) Con qué velocidad llegaía abajo suponiendo que el coeficiente de ozamiento es 0,5.?

21 a) Teniendo en cuenta que no hay ozamiento y el esto de las fuezas son consevativas, podemos aplica el teoema de consevación de la enegía mecánica. La enegía potencial que la niña tiene aiba se tansfomaá en cinética cuando llegue abajo. Es deci, de acuedo con la consevación de la enegía mecánica Ec + Ep 0 la disminución de enegía potencial ( Ep ) debe se exactamente igual al aumento de su enegía cinética ( Ec ) Ec + Ep Ec + Ep mgh + mv mgh + mv v g h 0 4,47m / s Como vemos, al no habeozamientos el esultado es el mismo que si la niña cayea en caída libe desde esa altua. Lógico poque al tatase de fuezas consevativas el tabajo que ealizan al lleva el cuepo de un punto a oto es independiente del camino seguido. b) Cuando hay ozamiento (que una fueza no consevativa) ya no se conseva la enegía mecánica, peo sí que se conseva la enegía total. Como la fueza de ozamiento es constante, su tabajo podemos obtenelo como con la expesión paticula: F s cosα (mgcos30 µ ) s cos80 F.NoConsevat F.Rozamiento Roz Ec Ec + Ep + Ep + F.NoConsevat mgh + (mgcos30 µ ) s cos80 mv v,3m / s Como vemos, de acuedo con la consevación de la enegía total Ec + Ep F.NoConsevat la disminución de enegía potencial ( Ep ) se emplea en pate en aumenta la enegía cinética ( Ec ) y ota pate se piede en ozamiento tansfomándose en calo.

22 Ejemplo: Con qué velocidad hemos de lanza una pieda paa que llegue hasta una altua h? Vamos a esolve este sencillo ejecicio, con todo cuidado, paa epaa en la foma de aplica el pincipio de consevación de la enegía. Pesta atención poque es bastante sutil. º Lo habitual es supone que ya le hemos comunicado a la pieda la velocidad necesaia, v o. En este caso la pieda tendía una Ec y comenzaía a subi: El aumento de enegía potencial ( Ep ) se consigue a costa de disminui enegía cinética ( Ec ) Si despeciamos el ozamiento conta el aie se consevaía la enegía mecánica poque la única fueza sobe la pieda es el peso, que es consevativa: Ec + Ep 0 Ec Suelo + EpSuelo Ec h + Ep h o m v mg h de donde v o g h. Supongamos ahoa que estamos en el instante inmediatamente anteio: Cuando la pieda aun estaba paada sobe el suelo. Si no hacemos nada po ella, paada seguiía. Paa que la pieda comience a subi debemos comunicale una enegía mediante una fueza que hacemos nosotos y que NO es consevativa. Po tanto, ente el momento en que la pieda está paada y el que está a una altua h, no se conseva la enegía mecánica, aunque sí se conseva la enegía total: Ec + Ep Ec Suelo + EpSuelo + Ec h + Ep h F.NoConsevat F.NoConsevat Si el tabajo ealizado po la fueza no consevativa se lo comunicamos en foma de F.NoConsevat enegía cinética, tendemos que: m v que le popina Ep h la FNCons de donde v que le popina la FNCons g h

23 Ejemplo: Cuando sobe un muelle helicoidal, situado veticalmente sobe una mesa, colocamos una masa de Kg, éste se compime cm. Calcula la defomación que expeimentaía el muelle si le dejamos cae la misma masa desde una altua de m. Con el pime dato y aplicando la ley de Hooke calculaemos la constante de ecupeación del muelle. (teniendo en cuenta que le fueza que defoma al muelle es el peso de la masa): mg 0 F kx k 500N / m x 0,0 alance de enegías: Punto : toda la enegía es potencial gavitatoia (Ec0 poque está paado y la Ep elástica 0 poque el muelle está elajado). Tamo : a medida que desciende Ep gavitat, Ec y Ep elástica 0 poque el muelle sigue igual. Punto : casi toda la enegía inicial se ha tansfomado en Ec peo aun le queda un poco de Ep gavitat (mgh Ec +mgh y ). Tamo C: al choca con el muelle comienza a compimilo acumulándose toda la enegía que tiene en potencial elástica: Ep gavitat, Ec y Ep elástica. Punto C: toda su enegía es potencial elástica (Ec0 poque está paado y la Ep gavitat 0 poque ha llegado al nivel ceo de Ep gavitatoia.) plicaemos el pincipio de consevación ente el punto y C, poque de esta foma toda la enegía potencial gavitatoia se tansfoma en enegía potencial elástica: Ec + Ep gavitat + Ep elástica 0 Ec + Ep + Ep Ec + Ep + Ep gavit, elast, C gavit,c elast,c mg ( mgh ky + y) ky y 0,m Ejemplo: Un bloque de 3Kg, que pate del eposo, desliza 7,6m hacia abajo po un plano inclinado 0º sobe la hoizontal y continua ecoiendo,75m po un plano hoizontal, hasta que choca con un esote y finalmente se detiene después de compimilo 5cm, como se muesta en la figua. Calcula la constante elástica del muelle sabiendo que el coeficiente de ozamiento es 0,. Si tenemos en cuenta que la enegía potencial que el bloque tiene aiba, punto (), menos la que piede en ozamientos debe se igual a la enegía potencial elástica del esote al final (D)

24 plicando la consevación de la enegía ente la posición inicial y final tenemos que: Ec Ec + Ep + Ep + Epgavit, + Epelast, + F.NoConsevat D gavit,d mgh + ( µ mg cos 0 s cos80 + µ mg s cos80) 3 0,6 K 576 N / m Kx elast,d [ 3 0cos 0 0, 7, , (,75 + 0,5) ] K 0,5 E.S0 a) Enegía potencial asociada a una fueza consevativa. b) Una patícula se desplaza bajo la acción de una fueza consevativa. umenta o disminuye su enegía potencial? Y su enegía cinética? Razone las espuestas. a) Teoía b) Cualquie patícula bajo la acción de una fueza consevativa se mueve espontáneamente hacia donde la enegía potencial es meno, ya que po definición Ep Ep Ep. (Eso pecisamente es lo que indica el signo menos),f.consevativa De acuedo con el pincipio de consevación de la enegía mecánica, Ec + Ep 0, la disminución de enegía potencial exige que aumente la enegía cinética. Es lo que ocue cuando cae una pieda: La pieda se mueve bajo la acción de la fueza consevativa peso hacia donde disminuya su enegía potencial (Ep <Ep ) y al hacelo aumenta su enegía cinética (Ec >Ec ) E6.S0 a) Consevación de la enegía mecánica. b) Se lanza hacia aiba po un plano inclinado un bloque con una velocidad v 0. Razone cómo vaían su enegía cinética, su enegía potencial y su enegía mecánica cuando el cuepo sube y, después, baja hasta la posición de patida. Considee los casos: i) que no haya ozamiento; ii) que lo haya. a) Teoía b) Si no hay ozamiento se consevaá la enegía mecánica, Ec + Ep 0. Si el bloque sube po el plano aumentaá su enegía potencial gavitatoia y la consevación de la enegía mecánica exige que disminuya en la misma cantidad la enegía cinética.

25 (Ello explica que a medida que asciende el bloque vaya disminuyendo de velocidad hasta paase, en cuyo momento toda la enegía cinética inicial se habá tansfomado en potencial) Cuando hay ozamiento ya no se conseva la enegía mecánica, aunque sí la enegía total, Ec + Ep. hoa la disminución de Ec se inviete en pate en F.NoConsevat tabajo conta la fueza de ozamiento (F. No.Consev es negativo) y el esto en aumenta la enegía potencial. Natualmente, como ahoa solamente una pate de la enegía cinética se emplea en aumenta la enegía potencial el bloque subiía hasta una altua meno que cuando no había ozamiento y la totalidad de la Ec se convetía en Ep. E5.S0 Un bloque de 00 kg asciende con velocidad constante po un plano inclinado 30º especto a la hoizontal bajo la acción de una fueza paalela a dicho plano. El coeficiente de ozamiento ente el bloque y el plano es 0,. a) Dibuje en un esquema las fuezas que actúan sobe el bloque y explique las tansfomaciones enegéticas que tienen luga duante su deslizamiento. b) Calcule el valo de la fueza que poduce el desplazamiento del bloque y el aumento de su enegía potencial en un desplazamiento de 0 m. g 0 m s a) Si el bloque asciende con velocidad constante quiee deci, de acuedo con la ª ley de Newton, que la fueza esultante sobe el bloque es nula. Sobe el bloque hay 4 fuezas: el peso, la eacción del plano, la fueza de ozamiento y la fueza F paalela al plano (que es la que debe compensa a la fueza de ozamiento y a la componente del peso en diección del plano paa que el bloque se mueva con velocidad constante). Respecto de un SR con el eje X paalelo al plano, las fuezas en foma de vecto seían: P mgsem30i mg cos30 j 000i 73 j N mg cos30 j + 73 j F Roz mg cos30 µ i 73, i F F F Σ F F 73,i Como v constante Σ F F 73, i 0 F 73, i

26 Tansfomaciones enegéticas: Puesto que hay ozamiento no se conseva la enegía mecánica, aunque sí la enegía total, Ec + Ep. Como la velocidad es F.NoConsevat constante Ec0, el aumento de enegía potencial se debe íntegamente al tabajo ealizado po la fuezas no consevativas, es deci al tabajo ealizado po la fueza F y al la F Roz. Puesto que el tabajo que hace la F Roz es negativo, la fueza F debe ealiza el tabajo necesaio paa aumenta la Ep y paa compensa el que se piede en ozamiento. b) La fueza F paalela al plano, paa que suba con velocidad constante, es F 73, i El aumento de enegía potencial paa un desplazamiento de 0m, o lo que es igual paa un ascenso de h0.sem300 m, podemos calculalo de tes fomas: * plicando diectamente la ecuación de la enegía potencial gavitatoia. Tomando nivel ceo de enegía potencial en el punto más bajo del plano: Ep Ep Ep mgh mgh J * plicando la consevación de la enegía: Ec + Ep En este caso las F.NoConsevat fuezas no consevativas son la fueza de ozamiento y la que hacemos paalela al plano: Ec + Ep,F.Rozamiento +,F Ec + Ep FRoz s cos80 + F s cos0 Ec + Ep 73, 0 ( ) J Obseva, una vez más, que al utiliza la expesión paticula del tabajo paa fuezas constantes, al sustitui el valo de las fuezas escibimos su módulo, po eso al sustitui la fueza de ozamiento no se puso el signo menos que tiene en su foma vectoial. * plicando la definición de enegía potencial: el tabajo que una fueza consevativa paa lleva un cuepo desde un punto hasta oto es igual a menos la vaiación de enegía potencial ente esos puntos :,F.Consevativa Ep Teniendo en cuenta que en este caso la fueza consevativa es el peso: P 000i 73 j y que solamente la componente Px ealiza tabajo (poque la componente Py es pependicula al desplazamiento), tenemos que:,f.consevativa Ep P x s cos80 Ep (La componente x del peso foma 80º con el desplazam.) ( ) Ep Ep 0000 J Po supuesto, también podíamos utiliza paa el peso su módulo total, es deci, Pmg, peo en tal caso tendíamos que tene en cuenta que el ángulo que foma el peso con el desplazamiento es de 40º (obseva la figua). P s cos 40 Ep (El peso foma 40º con el desplazamiento) ( 0,5) Ep Ep 0000 J

27 l mismo esultado llegaíamos si calculamos el tabajo que hace el peso aplicando la definición geneal de tabajo:,f.consevati,peso va Ep ( 000i 73 j) dx i x 0 x 0 000dx 0000 Ep E4.S0 Un bloque de kg se encuenta situado en la pate supeio de un plano inclinado ugoso de 5 m de altua. l libea el bloque, se desliza po el plano inclinado llegando al suelo con una velocidad de 6 m s. a) nalice las tansfomaciones enegéticas que tienen luga duante el deslizamiento y epesente gáficamente las fuezas que actúan sobe el bloque. b) Detemine los tabajos ealizados po la fueza gavitatoia y po la fueza de ozamiento. g 0 m s a) Tansfomaciones enegéticas: Puesto que hay ozamiento no se conseva la enegía mecánica, aunque sí la enegía total, Ec + Ep. l descende disminuye la F.NoConsevat enegía potencial gavitatoia y esa disminución se emplea en aumenta su enegía cinética y en tabajo en ozamiento (ten en cuenta que siempe el tabajo que hace la fueza de ozamiento es negativo y po tanto en la expesión anteio seía como Ec + Ep + 0 ),F. Roz b) Teniendo en cuenta que Ec + Ep y si tomamos nivel ceo de enegía F.NoConsevat potencial en el punto, po se el más bajo, podemos pone que: Ec Ec + Ep + Ep + F.NoConsevat mgh + mv F.NoConsevat F.NoConsevat F.NoConsevat 64 J, lógico ya que en este caso la fueza no consevativa es la de ozamiento y su tabajo siempe es negativo poque dicha fueza siempe tiene sentido contaio al desplazamiento, y en consecuencia foman ángulo de 80º.

28 Seguamente ahoa veás con mayo claidad las tansfomaciones enegéticas que tienen luga, ya que de la ecuación se deduce claamente que la enegía inicial (00 J, toda potencial) se ha tansfomado en cinética (36 J) y en tabajo en ozamiento ( 64 J) El tabajo ealizado po la fueza peso es de +00 Julios, ya que la fueza peso es la única fueza consevativa y po definición de vaiación de enegía potencial tenemos que Ep ( 00) 00 J,F.Consevativa,F. Peso + (ten en cuenta que Ep Ep Ep J) También podíamos calcula el tabajo ealizado po la fueza peso aplicando la definición de tabajo paticulaizada paa fuezas constantes, y teniendo en cuenta que solamente ealiza tabajo la componente del peso que tiene la diección del desplazamiento, es deci la componente Px mgsenα. 5,Peso Px s cos 0 mgsenα cos0 + 00J senα Sin embago calcula el tabajo pedido en ozamiento utilizando la definición de tabajo,f.roz FRoz s cos80 es bastante más laboioso que como lo hemos esuelto aplicando la consevación de la enegía, poque nos obliga a calcula el valo de la F Roz utilizando métodos dinámicos. La fueza de ozamiento tendíamos que obtenela aplicando la segunda ley de Newton y las ecuaciones del movimiento ectilíneo y unifome: mgsen F Roz ma v a t s a t F Roz,8senα 5 s sen α hoa ya podemos sustitui y tendemos: 5,F.Roz FRoz s cos80,8senα cos80 64J senα