9. NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR

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1 9. NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Recodemos que en la Unidad vimos que a un númeo complejo podemos expesalo en foma inómica z = a + i donde a, son númeos eales, que se epesenta gáficamente mediante un punto del plano de coodenadas (a, ). (a, ) En la unidad anteio estudiamos las funciones tigonométicas, ahoa aplicaemos esto paa expesa a los númeos complejos en foma pola, lo que nos posiilitaá otene mao infomación especto de ellos. Consideemos el númeo complejo z = + i. Si lo multiplicamos po un númeo eal mao que uno se poduce una dilatación (tamién llamada homotecia) en la diección de la ecta que contiene al vecto asociado al númeo complejo z. Po ejemplo, si multiplicamos z po podemos oseva dicho efecto compaando los gáficos que apaecen a continuación. z = + i z = 4 + i 0 x 0 4 x Po oto lado, si multiplicamos a z po un númeo eal ente 0 se poduce una contacción. Basta, po ejemplo, oseva lo que ocue cuando multiplicamos z po. z = + i 0 x ½ z = + ½i 0 x Qué ocuiá si multiplicamos ahoa a z po un númeo imaginaio puo? Po ejemplo, z. i = - + 4i. Compaando gáficamente los vectoes asociados a z al esultado de z. i vemos que este último es el esultado de dilata luego ota 90º en sentido antihoaio al vecto inicial. Página 57

2 Cuso de Apoo en Matemática z. i = - + 4i z = + i A continuación veemos cómo compoa esto fomalmente. Módulo de un númeo complejo Consideemos un númeo complejo z = a + i donde a, son númeos eales. Llamaemos módulo de z a la distancia ente el punto (a, ) el oigen 0. Al módulo del númeo complejo z lo denotaemos con z. Osevemos que... podemos halla el valo de z aplicando el Teoema de Pitágoas al tiángulo que se otiene a pati de la epesentación del númeo complejo z. Así, (a, ) z = a +. Agumento de un númeo complejo Consideemos un númeo complejo z = a + i donde a, son númeos eales. Si z es un númeo complejo no nulo, denominamos agumento de z al ángulo a que foma el semieje positivo de las ascisas la semiecta de oigen 0 que pasa po (a, ). Página 58

3 Osevemos que... podemos halla el valo del agumento del númeo complejo z usando lo visto en la unidad anteio de tigonometía. (a, ) Así, = ac tg a El númeo complejo no nulo z = a + i queda deteminado si indicamos su módulo su agumento. Foma pola de un númeo complejo Denominamos foma pola de un númeo complejo a la expesión z = (, a ) donde es el módulo de z a es un agumento de z. Osevemos que... de acuedo a lo visto en tigonometía, tg = tg ( + 60º) = tg ( +. 60º) = El agumento de un númeo complejo expesado en foma pola no es único. a + i + 60º Esto se dee al hecho que es lo mismo considea, ó + 60º, ó +. 60º, ó... Ejemplo: Expesaemos en foma pola los siguientes númeos complejos: + i a) z = + i = + = 0 = ac tg = 7º 54 Así, la foma pola de z = + i es 0 x z = ( 0, 7º 54 ) Página 59

4 Cuso de Apoo en Matemática ) z = - + i - + i = (-) + = = ac tg = 5º x (nota que está en el segundo cuadante) Recodemos que... los ángulos se miden en sentido antihoaio. Así, la foma pola de z = - + i es z = (, 5º ) c) z = 5 - i = 5 + (-) = x = ac tg - 5 = 8º 55 (nota que está en el cuato cuadante) i Así, la foma pola de z = 5 - i es z = ( 9, 8º 55 ) Osevemos que... las funciones seno coseno nos pemiten otene la foma inómica de un númeo complejo conociendo su foma pola. Si conocemos el módulo el agumento de un númeo complejo podemos calcula las componentes eal e imaginaia del númeo, de la siguiente manea: (a, ) a = cos, = sen Ejemplo: Expesemos en foma inómica los siguientes númeos complejos: Página 60

5 a) z = (5, 0º),5 a = 5 cos 0º = 5 = 5 sen 0º = 5 5 Así, la foma inómica de z = (5, 0º) es z = i ) z = (, 5º) a = cos 5º = - = - - = sen 5º = = Así, la foma inómica de z = (, 5º) es z = - + i Po ejemplo, al númeo complejo (, 5º) lo podemos escii como z = (cos 5º + i sen 5º). Osevemos que... si efectuamos los cálculos en esta última expesión otenemos z = - + i Cuando la foma pola de un númeo complejo z es (, a ), el númeo z se puede escii como z = (cos a + i sen a ), pues z = a + i = cos a + i sen a = (cos a + i sen a ) Po ello, encontaás muchas veces expesiones de la foma z = cis a, que es una foma aeviada de escii z = (cos a + i sen a ). A esta expesión se la conoce como foma tigonomética del númeo complejo z. Estamos ahoa en condiciones de poa que cuando multiplicamos, al comienzo de esta unidad, el númeo complejo z = + i po i, el esultado es un númeo complejo cuo módulo es el dole del módulo de z (dilatación) el vecto asociado a éste foma un ángulo de 90º con el vecto coespondiente a z. Página 6

6 Cuso de Apoo en Matemática La foma pola del númeo complejo z = + i es z = ( 5, 6º 54 ). Si denotamos con z al esultado de z. i, es deci, z = - + 4i, la foma pola de z es z = ( 0, 6º 54 ) = ( 5, 6º 54 ). Compaando la foma pola de z de z vemos de inmediato lo que queíamos poa. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ) Repesenta los siguientes númeos complejos a) z = i ) z = -7i c) z = + 4i d) z = i e) z = - f) z = - + i g) z = 4i h) z = ) Expesa en foma pola los siguientes númeos complejos a) z = 6 i ) z = i c) z = -4 d) z = - 7 i ) Expesa en foma inómica los siguientes númeos complejos a) z = (, 45º) ) z = (,5, 60º) c) z = (4, 0º) d) z =, 00º 4 4) Qué agumento tiene un númeo eal positivo?. Y un númeo eal negativo? 5) Calcula tes agumentos del númeo complejo + i. Auda Es útil que ecuas al gáfico de un númeo complejo su conjugado. 6) Cuáles son el módulo el agumento del conjugado de un númeo complejo z no nulo?. 7) Cuáles son el módulo el agumento del opuesto de un númeo complejo z no nulo?. 8) Expesa en foma inómica en foma pola el conjugado el opuesto de z = (5, 45º). 9) Cuál es el agumento del númeo complejo 8( - i) + 5 (- + i)? 0) Otene las dos aíces complejas de la ecuación de segundo gado x - x + 9 = 0, expesalas en foma pola. Cómo son ente sí? Se puede genealiza el esultado? ) La suma de dos númeos complejos conjugados es 8 la suma de sus módulos es 0. Cuáles son los númeos complejos en cuestión? Página 6

7 ) Calcula el inveso de los númeos complejos siguientes epesenta gáficamente los esultados: a) z = (, 60º) ) z = (, 90º) c) (, 5º) ) Saiendo que z = (, 60º), z = (, 5º) z = (6, 0º), calcula esultado en foma pola gafica). zz z (Nota: Expesa el Página 6