UNIDAD 7 Problemas métricos

Transcripción

1 Pág. 1 e x = l x = 11 9l 1 1 : y = + l : y = l z = 7 + l z = 7 7l a) Halla las istancias ente los puntos e cote e 1 y con π: x y + z 4 = 0. b) Halla el ángulo e 1 con. c) Halla el ángulo e 1 con π. a) Veamos pimeamente que 1 y se cotan con π, es eci, que no son pepeniculaes al vecto nomal a π. (4,, ) (,, ) = 7? 0 ò 1 cota a π ( 9,, 7) (,, ) = 14? 0 ò cota a π Hallamos ahoa los puntos e cote e 1 y con π. Paa ello, en caa caso sustituimos las cooenaas el punto genéico e la ecta en la ecuación el plano: 1 con π: (11 + 4l) ( + l) + (7 + l) 4 = 0 Opeano se obtiene l =. Po tanto, el punto e cote es P (, 1, 1). con π: (11 9l) ( l) + (7 7l) 4 = 0 Opeano se obtiene l = 1. Po tanto, el punto e cote es Q (, 0, 0). La istancia ente los os puntos es: ist (P, Q) = ( ) + (1 0) + (1 0) = b) Las ectas 1 y se cotan, evientemente, en el punto (11,, 7). Veamos su ángulo: 4 ( 9) + ( ) + ( 7) 67 cos ( 1, ) = = = 0, , = ' '' 4 + ( ) + 7 c) cos (90 ( π, 1 )) = = = 0, ( π, 1 ) = 77 49' 7'' ( π, 1 ) = 1 10' ''

2 Pág. e a: x + y 7z + 4 = 0 b: x y + z 4 = 0 g: x + y 7z + 49 = 0 Calcula la istancia ente a y b y ente a y g. Los planos a y b se cotan, ya que sus coeficientes no son popocionales. Po lo tanto, la istancia ente a y b es 0. Los planos a y g son paalelos, puesto que sus coeficientes son popocionales. Po tanto, la istancia ente ellos es la istancia e un punto cualquiea e uno e ellos al oto. P (, 0, 0) es un punto e a. Po tanto: ( ) ist (a, g) = ist (P, g) = = = Calcula m paa que ist (P, Q) =, sieno P(, 1, 11) y Q(7, 1, m). ist (P, Q) = (7 ) + ( 1 + 1) +(m 11) = 4 +(m 11) = Hay os soluciones: m = 14 y m = x 4 y 4 Halla la istancia e P(1, 4, ) a la ecta: : = = (Ojo con el numeao e la seguna facción). La ecta se puee expesa como: z + 1 x y = = 1 z + 1 En la seguna facción hemos iviio numeao y enominao ente paa que el coeficiente e y sea 1. El vecto iecto e es = (, 1, ). Hallamos el vecto PQ, sieno Q (,, 1) un punto e la ecta. PQ = (1, 6, 4) PQ Ò ( 1) 4 1 ist (P, ) = = = =

3 Pág. e Calcula la istancia ente las ectas siguientes: x = + l x y + z + 4 = 0 : y = l s: x + z = 0 z = 4 + l Expesamos la ecta s en ecuaciones paaméticas paa que sea fácil toma un punto, P, y un vecto iecto,, e icha ecta. Hacemos z = l y espejamos: s x = l s: y = 4 l P (0, 4, 0) é s s (,, 1) z = l Q y son, espectivamente, un punto y un vecto iecto e la ecta : Q (,, 4) é (, 1, 1) Hallamos el vecto PQ = (, 1, 4) ist (, s) = [, s, PQ] Ò s [, s, PQ] 1 1 = 1 = Ò s = 4,, 1 = = ist (, s) = = = Halla las ecuaciones e la ecta que cota pepeniculamente a y s. Las ectas y s se cuzan. x = + l x = : y = + l s: y = 6 + 4l z = + l Po se la ecta buscaa, t, pepenicula a y a s, su vecto iecto es: t = Ò s = (1,, 0) Ò (0, 4, 1) = (, 1, 4) Vamos a efini la ecta t como intesección e os planos: Plano a: contiene a y a t. El vecto nomal al plano seá: t Ò = (, 1, 4) Ò (1,, 0) = ( 0, 4, 6) // ( 10,, 1) Como contiene a, pasa po el punto (,, 0). Po tanto: a: 10(x +)+(y +)+1z = 0 a: 10x +y +1z 6 = 0

4 Pág. 4 e Plano b: contiene a s y a t. El vecto nomal al plano seá: t Ò s = (, 1, 4) Ò (0, 4, 1) = ( 17,, 0) Como contiene a s, pasa po el punto (, 6, ). Po tanto: b: 17(x ) (y + 6) + 0(z ) = 0 b: 17x y +0z 19 = 0 Po tanto, la ecta t es: En paaméticas: 10x + y + 1z 6 = 0 17x y + 0z 19 = 0 x = + l t: y = l z = 4l 7 a) Halla el áea el tiángulo eteminao po los puntos e cote el plano x + y + z 6 = 0 con los tes ejes cooenaos. b) Halla el volumen e la piámie eteminaa po esos tes puntos y el oigen e cooenaas. a) Hallamos los puntos e cote el plano con los ejes cooenaos: y = 0 Eje X: x 6 = 0 x = ; P (, 0, 0) x = 0 Eje Y: y 6 = 0 y = 6; Q (0, 6, 0) x = 0 Eje Z: y = 0 z 6 = 0 z = ; R(0, 0, ) El áea el tiángulo e vétices P, Q y R es la mita el áea el paalelogamo fomao po los vectoes PQ y PR. PQ Ò PR (, 6, 0) Ò (, 0, ) (1, 6, 1) A TRIÁNGULO = = = = = 14 u

5 Pág. e Áea tiángulo altua b) V TETRAEDRO = La altua es la istancia el oigen e cooenaas al plano. 6 6 altua = = u V TETRAEDRO = = 6u Ota foma: v La piámie es la sexta pate el otoeo e aistas, y 6. u 1 V = 6 = 6 u 6 w a) Halla el cento y el aio e esta esfea: S: x + y + z 4x + z 0 = 0 b) Calcula el aio e la cicunfeencia que etemina el plano x 4z + = 0 al cota a S. a) Completamos cuaaos en la ecuación e la esfea: (x ) + y +(z +1) = Po tanto, el aio es, y el cento, C (, 0, 1). b) Hallamos la istancia el cento e la esfea al plano π: x 4z + = 0: 4( 1) + 1 ist (C, π) = = = u +4 C Po Pitágoas: = = 4 u