TEMA 13: EL ESPACIO MÉTRICO

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1 TEMA 3: EL ESACIO MÉTRICO. DISTANCIA ENTRE DOS UNTOS. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS 3. VECTOR NORMAL CARACTERÍSTICO O ASOCIADO AL LANO 4. ANGULO ENTRE DOS LANOS 5. ANGULO ENTRE RECTA Y LANO 6. DISTANCIA DE UN UNTO A UNA RECTA 7. DISTANCIA DE UN UNTO A UN LANO 8. DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS UE SE CRUZAN 9. ERENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS UE CRUZAN 0. LANOS BISECTORES DE UN DIEDRO. LANOS MEDIADORES. DISTANCIA ENTRE DOS UNTOS Sean y do punto del epacio fíico E p p p q q q entonce la ditancia ente eo 3,,, 3,, 3 punto e define como el módulo o longitud del vecto,,, d p q p q p q 3 3, d p q p q p q 3 3. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Se define el ángulo ente do ecta como el meno de lo ángulo que foman i e cotan y i e cuzan el meno de lo ángulo que foman una de ella con la poyección de la ota obe ella. Sean la ecta A, v y B, w, e define el coeno del ángulo que foman la do ecta como el valo aboluto del coeno del ángulo que foman u epectivo vectoe dieccionale: co, vw vw v3w3 α v v v w w w α

2 CONDICIÓN DE ERENDICULARIDAD ENTRE DOS RECTAS Si la ecta y on pependiculae tenemo que: v w v, w 90 y co 90 0 po tanto el poducto ecala v w 0 que en función de la componente e : v w v w v w Ejemplo: Calcula el ángulo que foman la ecta iguiente: w v x y 3 v, 3 z Luego el ángulo deteminado po la ecta y x y 3 w,, z viene dado po: vw vw v3w3 co, v v v w w w De donde: , acen 60º VECTOR NORMAL O CARACTERÍSTICO ASOCIADO AL LANO Sea el plano deteminado po,, u v, la ecuación de dicho plano e: x p y p z p v v v v v v v v v 0 x p y p z p w w3 w w3 w w w w w De donde eulta que lo coeficiente de x,y, z on peciamente la componente del vecto poducto vectoial de lo vectoe dieccionale del plano: e e e3 v v v v v v v w v v v3 e e e w w3 w w3 w w w w w 3 3 Ejemplo: Sea el plano 3x y z 7 0 n 3,, n v v3 v v3 v v,, w w w w w w 3 3

3 FORMA NORMAL DE LA ECUACIÓN DEL LANO Dado un plano con la ecuación cateiana, i dividimo la ecuación del plano po el módulo del vecto caacteítico eulta la ecuación en foma nomal de dicho plano cuyo coeficiente on lo coeno diectoe del vecto caacteítico y el valo aboluto del témino independiente de la ditancia del plano al oigen. En efecto, ea el plano de ecuación: Ax By Cz D 0 n A, B, C El módulo del vecto nomal e: n A B C Dividimo lo do miembo de la ecuación po dicho módulo eultando: A B C D x y z 0 A B C A B C A B C A B C co co co di tan cia del plano al oigen O DETERMINACION NORMAL DEL LANO Sea el plano que paa po el punto (p, p, p 3 ) y cuyo vecto nomal e n : n, Sea X(x, y, z) un punto genéico del plano, entonce e cumple que el vecto n X n X n X 0 Siendo : n A, B, C X x p, y p, z p Entonce el poducto ecala queda : 3 n X A x p B y p C z p 0 Ejecicio: Calcula la ecuación del plano cuya deteminación nomal e n,,, n,3,4 De foma diecta, la ecuación la podemo expea como: n X 0 x 3 y 4 z 0 x 3y 4z 3 0 Ota foma de obtene la ecuación del plano e, como n,3,4, lo coeficiente de x, y z, eían: x 3y 4z D 0 aa calcula el témino independiente, imponemo que pae po el punto A: 3 4 D 0 D 3 La ecuación del plano queda: x 3y 4z 3 0 Ejecicio: Calcula una ecta paalela a que paa po A,4, x z 0 x y z 0 Como no hace falta ólo el vecto dieccional de calculaemo el poducto vectoial de lo vectoe nomale de lo plano que definen a dicha ecta, pue como: X 3

4 u n u n e e e3 u n n 0,, 4 u,, 4,, 4 u n n La ecta que bucamo e paalela a, luego el vecto dieccional e el mimo, y como ha de paa po A eá de ecuación: x y 4 z 4 4. ANGULO ENTRE DOS LANOS Sean lo plano y Ax By Cz D 0 n A, B, C Ax By Cz D 0 n A, B, C XX El ángulo de lo do plano e el meno de lo ángulo que foman. El coeno de dicho ángulo viene dado po: co n n AA BB CC n n A B C A B C CONDICIÓN DE ERENDICULAR DE DOS LANOS Do plano y eán pependiculae cuando lo ean u epectivo vectoe nomale, entonce el poducto ecala de dicho vectoe nomale ha de e ceo, eto e: n n n n 0 CONDICIÓN DE ARALELISMO Do plano y eán paalelo cuando ean popocionale u epectivo vectoe nomale, eto e: D coincidente A B C n n D A B C D paalelo D 4

5 5. ANGULO ENTRE RECTA Y LANO Sean el plano y la ecta de ecuacione: Ax By Cz D 0 n A, B, C x av y a v vv, v, v z a3 v3 Se define el eno del ángulo que foman ecta y plano aí: en n v Av Bv Cv3 n v A B C v v v3 CONDICIÓN DE ARALELISMO DE RECTA Y LANO El plano y la ecta eán paalelo cuando el vecto dieccional de la ecta ea pependicula al vecto nomal del plano, entonce el poducto ecala de eto do vectoe tendá que e nulo: v v v n v n 0 Av Bv Cv 0 n 6. DISTANCIA DE UN UNTO A UNA RECTA La ditancia de un punto a una ecta e la que e mide obe la pependicula tazada po el punto a la ecta y viene dada po: d, upeficie del paalelogamo fomado po A y v h A v longitud de la bae v Siendo A un punto cualquiea de, y v el vecto dieccional de la ecta: d, v A x Ejemplo: ea la ecta de ecuacione y 3 y el punto =4,0,3 z 3 Calcula la ditancia de a. 5

6 unto cualquiea de : A, 3, Vecto dieccional de : v,, 3 Fomamo el vecto A 3, 3, e e e Calculamo el poducto vectoial A v 3 3 7, 5,3 Luego, la ditancia de a e: d, A v u v DISTANCIA DE UN UNTO A UN LANO Sea el plano Ax By Cz D 0 y ea el punto = p, p, p3, la ditancia del punto al plano e mide obe la pependicula tazada po el punto O al plano: d, d, d, A p B p C p D A B C DISTANCIA DEL LANO AL ORIGEN d Si 0,0,0 0, D A B C Ejemplo: Calcula la ditancia de un punto, d, al plano x y 5z 6 0 nu d, 8. DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS UE SE CRUZAN Sean do ecta A, v y B, w que e cuzan, queemo calcula la ditancia mínima ente dicha ecta, eta ditancia e mide obe la pependicula común. Conideando el paalepípedo fomado po lo vectoe AB, v, w e tiene que el volumen: Volúmen Supeficie h paalepipedo bae Volúmen AB, v, w paalepipedo h d, Supefície de la bae v w paalepipedo 6

7 Eto e, la altua del paalepípedo coincide con la ditancia mínima ente la ecta y. Ejemplo: Calcula la ditancia que hay ente la ecta: x 0 x 5 y y y 3 6 z 3 z Tenemo que: x 0 y A0,, v0,,3 z 3 x 5 y 3 6 B 5,3, w, 6,, z Fomamo el vecto AB 5,, e e e Calculamo el poducto vectoial: 0 3 7,6, 6 Aplicamo la fómula de la ditancia ente do ecta que e cuzan: d, d, v w AB, v, w poducto mixto de lo te vectoe módulo del poducto vectoial AB, v, w u v w

8 EL ROBLEMA DE LA ROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN UNTO SOBRE UN LANO Y UNTO SIMÉTRICO Ejecicio: Calcula el punto imético a uno dado epecto a un plano.. Calculamo la pependicula al plano po el punto. Hacemo la inteección de dicha ecta con el plano, obteniéndoe el pto M 3. Calculamo el punto imético teniendo en cuenta que M M Sea el plano 5 0,,, calcula el imético de epecto del plano. x y z y el punto M poyección otogonal M unto imético El vecto nomal del plano e n,, Calculamo pimeo la ecta pependicula al plano π y que paa po, el vecto dieccional de la ecta eá el nomal del plano: x, n y z Efectuamo la inteección del plano con la ecta paa obtene el punto M que e la poyección otogonal del punto obe el plano, utituimo la ecuacione paamética en la ecuación del plano: Con lo que el punto M e: 7 x M y M,, z 3 3 8

9 Entonce, teniendo en cuenta que M M tenemo: 7 4 5,,,,,, 7 M El punto imético de epecto del plano π e,, EL ROBLEMA DE LA ROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN UNTO SOBRE UNA RECTA Y UNTO SIMÉTRICO Ejecicio: Obtene el imético de un punto epecto a una ecta ª Foma:. Calculamo la ecuación del plano pependicula a y que paa po el punto. Inteección de dicha ecta con el plano, e obtiene el pto M 3. Calculamo el punto imético teniendo en cuenta que M M x Sea el punto,, 4 y la ecta y 3 z Calcula el imético de epecto de la ecta. x y 3 v, 3, z Ecuación del plano pependicula a la ecta y que paa po el punto : M poyección otogonal unto imético M poyección otogonal n x y z, x 3y z 7 0 Ahoa, calculamo la inteección de la ecta con el plano: 9

10 x y 3 x 3y z 7 0 z Se obtiene aí la poyección otogonal del punto obe la ecta : 4 8 x M y 3 M,, z 7 7 Entonce, teniendo en cuenta que M M tenemo: 8 5 8,,,, 4, 7, M El punto imético de epecto de la ecta e,, ª Foma de obtene el punto M poyección otogonal de obe : x y 3 y,, 4 z Bucamo un punto M de la ecta tal que: M u M u 0 M, 3, M,3, 4,,4 u M u,3, 0,3, 4,3, De donde el punto M eá paa 7 M 0

11 4 8 x x y 3 M y z 4 8 z 7 7 Y el eto igual M M EL ROBLEMA DE LA ROYECCIÓN ORTOGONAL DE UNA RECTA SOBRE UN LANO Ejecicio: Halla la poyección de la ecta obe el plano x y z x y 3z 6 0 bucaemo la ecta poyección de la ecta obe el plano π como inteección de do plano: ecta " " poyección otogonal x y 3z 6 0 lo tenemo ya plano que contiene a y e pependicula al plano aa calcula el plano π vamo a hacelo po u deteminación nomal: Como u n n u n 5, 5, 5,, n n 3 e e e o tanto,,0, n n,, x y z D 0 y D luego x y z 0 La ecta poyección de la ecta obe el plano, e de ecuacione implícita: x y 3z 6 0 x y z 0

12 Ejecicio: Halla la poyección de la ecta obe el plano. xy3 x y 3z 6 0 y z Vamo a hacelo e bucando la ecta poyección como inteección de do plano: ; plano que contiene a y e pependicula al plano ; plano En éte cao, como no la dan como inteección de do plano, paa calcula el plano que contiene a y e pependicula al plano π lo haemo conideando el haz de plano de bae la ecta y tomaemo uno que ea pependicula a π: haz de plano de bae la ecta : x y3 0 H x y 3 y z 0 H x y z 3 0 y z 0 ueemo el plano del haz que ea pependicula al plano x y 3z 6 0, luego el poducto ecala de u epectivo vectoe nomale eá nulo: H H x y z 3 0 n,, x y 3z 6 0 n,, 3 n H n 0,,,, Luego ; x y z 3 0 x y z ; 4x y 0z 6 0 7x y 5z 3 0 La ecta poyección e: ; x y z ; x y 3z 6 0

13 9. ERENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS UE CRUZAN Sean do ecta A, v y B, w que e cuzan, queemo calcula la ecta que e apoya en cada una de ella y e a la vez pependicula a amba. ª FORMA: BUSCANDO LA ERENDICULAR COMÚN COMO INTERSECCIÓN DE DOS LANOS Se calcula un plano paalelo a la do ecta paando po el oigen O (po ejemplo).. Calculamo el plano que contiene a y que e pependicula al plano. Calculamo el plano que contiene a y que e pependicula al plano 3. La inteección de lo plano y eá la pependicula común a la ecta y. Eto e, la ecta p pependicula común a y viene dada po: ; plano que contiene a " " y e pependicula al plano p ; plano que contiene a " " y e pependicula al plano Ejemplo: Calcula la pependicula común a la do ecta iguiente: x x 0 3 y y y z 3 z 3 4 Tenemo que: x x 0 3 y A,,3 v,, y 3 z z 3 4 B 0,,3 w 3,, 4 Calculamo el plano paalelo a y y que paa po el oigen 3

14 Vecto nomal del plano = poducto vectoial n w v e e e n w v 6, 0, 3,5, 3 4 Luego el plano eá 3x 5y z 0 (como paa po el oigen el témino independiente e 0). (en vedad, tan ólo no inteea el vecto nomal de dicho plano). Calculamo ahoa el plano que contiene a y e pependicula al plano (al e pependicula al plano podemo toma el vecto nomal del plano como uno de lo dieccionale del plano que bucamo y como ha de contene a la ecta el oto vecto dieccional eá el de má un punto A cualquiea de ) A,,3 x y z 3 A, n, v v,, 0 x 5y 8z 3 0 n 3,5, 3 5 Análogamente calculamo el plano que contiene a y e pependicula al plano (al e pependicula al plano podemo toma el vecto nomal del plano como uno de lo dieccionale del plano que bucamo y como ha de contene a la ecta el oto vecto dieccional eá el de má un punto B cualquiea de ) B0,,3 x 0 y z 3 B, n, w w3,, x 5y 8z ,5, 3 5 n Luego la ecta p pependicula común viene dada po u ecuacione implícita: ; plano que contiene a " " y e pependicula al plano x 5y 8z 3 0 p ; plano que contiene a " " y e pependicula al plano 9x 5y 8z 84 0 ª FORMA, CALCULANDO LOS UNTOS EN DONDE LA ERENDICULAR COMÚN CORTA A CADA UNA DE LAS RECTAS. Hay uno hecho aí en la página 7. 4

15 0. LANOS BISECTORES DE UN DIEDRO lano biecto: luga geomético de lo punto del epacio que equiditan do plano Ejemplo: Sean lo plano x y z 3 0 y x y z 0 Calcula lo plano biectoe: X x, y, z un punto cualquiea del plano Sea biecto, como el punto X equidita de lo plano y e veifica que:, d X, d X x y z 3 x y z x y z 3 x y z 3 3 x y z 3 x y z De donde tenemo lo plano biectoe iguiente: x y z 3 x y z b 3y z 4 0 x y z 3 x y z b 4x y 3z 0. LANOS MEDIADORES Dado un egmento de extemo A y B el plano mediado e el pependicula al egmento en u punto medio. lano Mediado A M B 5

16 EJERCICIOS VARIOS:. Halla la ecuación de la ecta que paa po el punto A 4,4, y cota pependiculamente a la ecta de ecuación: x y z ª FORMA: CALCULANDO REVIAMENTE LA ROYECCIÓN DE A SOBRE aa obtene la ecta vamo a calcula el punto que eía la poyección otogonal de A obe y aí la ecta quedaía deteminada po lo punto A y. aamo la ecta a u foma paamética paa ve cómo on la coodenada de lo punto que etán en : x x y z 3 y 3, 3, z 3 4 Bucamo un punto de la ecta tal que: A v A v 0, 3,3 4 A,3 6, 4 A 4,4, v,3, 4 A v 0 A,3, De donde el punto eá paa x x y 3 y z z La ecta que bucamo e la que une lo punto A y : A 4, 4, ,, A,,,36,30, 6, La ecta e : x 4 y 4 z 6 5 A 6

17 ª FORMA: BUSCANDO LA RECTA COMO INTERSECCIÓN DE DOS LANOS ; plano que contiene a " " y paa po el punto A ; plano pependicula a " " y paa po el punto A x y z 3 A 4,4, 3 4 A4,4, A, u, A u,3, 4 A A x 4 De modo que la ecta que bucamo viene dada po: ; 3x y 8 0 ; x 3y 4z 0. Sean lo punto A 3,, y,,0 x B y la ecta y z un punto de la ecta tal que el vecto AB y el B ean otogonale. Un punto de la ecta e de la foma,, Obtene Lo vectoe AB y B tienen que e otogonale luego u poducto ecala eá nulo: A 3,, AB,,,, B,,0,,3 4, 4,, 6,, 3, Luego 3 3 y 4 0 ; 3z 3 4y 6 3x x 48 3z 3 y z 9x 3y 4 0 3x y 8 0 A 4,4, An, n u,3, 4 pue Luego x 3y 4z D 0 y A 4, 4, 4 4 D 0 D x 3y 4z 0 B,,0 B,,,, AB B A 7

18 Luego el punto e obtiene paa 3 x x 3 4 y y,, z 4 z Halla la mínima ditancia ente la ecta: x x y z 3 y 3 z 3 Y halla también la ecuación de la ecta pependicula común. La mínima ditancia viene dada po: d, AB, v, w v w x y z 3 A,0,3 v,, x y z 3 3 B w AB,,0,,3 3,, Calculamo el poducto mixto (en valo aboluto) 0 AB, v, w 8 3 Calculamo el módulo del poducto vectoial: e e e v w, 0, 7 v w De donde la ditancia mínima viene dada po: d, AB, v, w u v w t v w 8

19 Vamo ahoa a obtene la ecuación de la pependicula común, podemo bucala como inteección de do plano egún vimo en un ejecicio anteio o bien po punto genéico que lo haemo ahoa: aamo la ecta a u foma paamética: x x 3 x y z 3 y y 3 z 3 z 3 La ecta pependicula común, vendía deteminada po: t, ut ut v w En donde y on lo punto en donde la pependicula común cotaía a la ecta y epectivamente. El vecto dieccional de la pependicula común e obtendía en cualquie momento haciendo el poducto vectoial de lo dieccionale de y, o bien, dado que vamo a calcula lo punto y tomaíamo el vecto como dieccional (aunque i pefeimo hacemo dede el pincipio ut v w y ya lo tenemo). u v w, 0, 7 u, 0, 7 t e e e 3 Vamo a obtene lo punto en donde la pependicula común cota a cada una de la ecta y. Entonce, un punto genéico de cada una de ella eá de la foma:,,3 3,,3 Conideamo el vecto,,3 3,, 3,,3 Bucamo lo valoe de lo paámeto y de foma que: v v 0 w w 0 v,, w 3,, 3,, Entonce e obtienen la iguiente ecuacione: v w t 9

20 La ecta que bucamo e la que une lo punto y o bien: t, t, u t ,,3,,3,, ,,3 3,,3,, qué punto má feo! Compobemo ( aunque no haía falta), que u t 3,, ,, ,,,, 6, 80, 56, 0, x y z La ecta e : t Demota que lo punto A,, B,3, C 0,5,3,4,3 lo vétice conecutivo de un ectángulo. D D on C A B imeo compobamo que lo 4 punto on coplanaio calculando la ecuación del plano que contiene a te de ello y compobando que el punto que queda también petenece al plano: A, AB, AC A B,, A,, AB,,0 AC,3,,3, C 0,5,3 La ecuación del plano e: 0

21 x y 4z 0 x y z A, AB, AC 0 0 x 3z 3 z y Compobamo i el punto D,4,3 petenece al plano: D, 4,3 x y 4z D Fomamo lo vectoe AB, BC, CD, AD : A,, B,3, C 0,5,3 D, 4,3 AB,,0 BC,, CD,,0 AD,, Se tiene que : AB CD BC AD AB BC AB BC BC CD BC CD 0 0 x y Sea la ecta y lo punto,0, x 3y z 7 0 calcula un punto de la ecta que equidite de lo punto y. ª FORMA: aamo la ecta a u ecuacione paamética: y,, x y 5 0 x y 5 3 x 3y z 7 0 x 3y z z z 7 z8 x 4 z 5 z 7 z 7 5 z y z C

22 x 4 y C C 4,, z Deteminamo el punto C de la ecta con la condición de que eté a igual ditancia de d C, d C, que de B:, 0,,, C 4,, 6, C 4 d C 4 4, C 4 d C Luego el punto C de que bucamo e: x 4 9 y C C 4,,,, z

23 ª FORMA: dado que viene dada po u ecuacione implícita, también podíamo habelo hecho aí: Sea C(x, y, z) el punto de que bucamo, luego, de momento, veifica la ecuacione x y 5 0 de, eto e x 3y z 7 0 Como ademá, C tiene que equidita de y eá: d(, C) = d(c, ), 0,,,,,, d C, C x y z d C x y z x y z x y z x y z x x y z z x 4 4x y y z z x z 6 4x y z x y 4z 4 x y z Luego C eá la olución del itema 9 y no aldía C,, x y 5 0 x 3y z 7 0 x y z que lo eolvemo po GAUSS 3