Posiciones relativas entre rectas y planos

Transcripción

1 Maemáicas II Geomeía del espacio Posiciones elaivas ene ecas planos Obsevación: La maoía de los poblemas esuelos a coninuación se han popueso en los eámenes de Selecividad.. Discui según los valoes del paámeo eal λ la posición elaiva de los planos: π : λ π : (λ ) (λ ) λ π : (λ ) (λ 6) λ Paa deemina la posición elaiva de esos es planos ha que esudia el sisema que deeminan: λ ( λ ) ( λ ) λ. ( λ ) ( λ 6) λ Cuando ese sisema sea compaible deeminado los planos se coan en un único puno; si es compaible indeeminado los planos ienen, al menos, una eca en común; si es incompaible, los es planos no ienen ningún puno en común. Vamos a esudia su compaibilidad. Paa ello consideamos las maices A M, siendo A la mai de coeficienes M la mai ampliada. λ A λ λ λ M ( λ ) ( λ 6) λ El deeminane de A, A ( λ )( λ 6 λ ) ( λ )( λ 8) Con eso: Si λ 8/ el (A) (M). En ese caso el sisema es compaible deeminado, los es planos se coaán en un único puno, cuas coodenadas vendán dadas po la solución del sisema. Si λ se iene: A M 6 8 En ango de A es, pues A ; peo el ango de M es, pues Po ano, si λ el sisema seá incompaible los planos no endán ningún puno en común. Obsevando los vecoes nomales de π π se ve que ambos planos son paalelos. 8/ Si λ 8/ se endá: A / / / M / / 8 / José Maía Maíne Mediano

2 Maemáicas II Geomeía del espacio En ango de A sigue siendo, pues A. El ango de M es, pues el meno / / / / 8 / /. Po ano, si λ 8/ el sisema sigue siendo incompaible 7 8/ los planos no endán ningún puno en común. En ese caso, como los vecoes nomales de π π son popocionales, dichos planos son paalelos.. a) En qué posición elaiva pueden esa es planos en el espacio que no ienen ningún puno en común? b) Deemine la posición elaiva de los planos: π:, σ: ρ: 6 a) Pueden se paalelos, dos de ellos o los es; ambién pueden esa como las caas de un pisma iangula. a) Ha que esudia la compaibilidad del sisema asociado. 6 Fomamos la mai de coeficienes la ampliada: A M 6 Como A el meno M, 6 se iene que (A) (M). En consecuencia, el sisema no iene solución; o lo que es lo mismo, los es planos no ienen ningún puno en común. 6 José Maía Maíne Mediano

3 Maemáicas II Geomeía del espacio. Dados los planos π : 5, π : la eca :, se pide: a) Deemina aonadamene la posición elaiva de la eca la eca s inesección de los planos π π. b) Obene aonadamene la ecuación del plano que coniene a la eca s aneio es paalela a. a) Las ecuaciones paaméicas de la eca s vienen dadas po la solución del sisema: 5 5 Sumando ambas ecuaciones se iene: Resándolas se iene: 8. Haciendo obenemos las ecuaciones: s : La posición elaiva de las ecas s se deemina esudiando la dependencia lineal de los vecoes: v (,, ), v s (,, ) RS (,, ) (,, ) (,, ) donde R es un puno de S un puno de s. Como, los vecoes son linealmene independienes. En consecuencia, las ecas s se cuan. b) El plano pedido vendá deeminado po la eca s po el veco v (,, ). Su ecuación seá: h π : h h π: 8 6 José Maía Maíne Mediano

4 Maemáicas II Geomeía del espacio José Maía Maíne Mediano. Sea m un númeo eal sean π la eca el plano dados especivamene po m m m, π. a) Esúdiese la posición elaiva de π en función del valo de m. b) Paa el valo m, hállese la ecuación del plano que pasa po el puno de coe de π es pependicula a la eca. a) Ha que discui el sisema fomado po las dos ecuaciones de la eca la del plano: m m m El deeminane de la mai de coeficienes es m m A. Po ano: si m, su valo es disino de el ango de la mai de coeficienes es el sisema es compaible deeminado el plano la eca se coan en un único puno. si m, se iene un sisema homogéneo,, con infinias soluciones, pues el ango de la mai de coeficienes es la eca esá conenida en el plano. b) Si m, se iene el sisema. Po la egla de Came: A ; A ; 6 A Po ano, el puno de coe es P (,, ) El plano pedido, po se pependicula a la eca, iene como veco nomal (,, ). Luego, po pasa po P, endá como ecuación: ( ) ( ) ( ).

5 Maemáicas II Geomeía del espacio 5 5. Compoba que las ecas : (,, ) (,, ) a(,, ) s: (,, ) (7,, ) b(,, ) se coan en un puno. Encona ambién la ecuación geneal del plano que deeminan. Las ecas se coaán si los vecoes v (,, ), v s (,, ) RS son linealmene dependienes, siendo R un puno de S un puno de s. Tomamos R (,, ) S (7,, ) RS (, 5, ). Como, 5 los vecoes son linealmene dependienes. Luego, las ecas se coan. El puno de coe se obiene esolviendo el sisema a 7 b a b (sisema que se obiene igualando las coodenadas de una oa a eca). Su solución es a b. Luego, el puno de coe es: P (,, ) Las ecuaciones del plano que deeminan son: a b a b 5. a 6. Deemina paa qué valo del paámeo a el plano π: a a es paalelo a la eca a : a a El veco nomal al plano v π (a,, ) debe se pependicula al de diección de la eca, v (, a, ) (a,, ) (a, a, a ). Po ano: v v (a,, ) (a, a, a ) a a. π José Maía Maíne Mediano

6 Maemáicas II Geomeía del espacio 6 7. Una eca pasa po el puno (,, ) es paalela a los planos,. Halla sus ecuaciones. Si la eca es paalela a los planos, debe se pependicula a los vecoes diecoes de ambos planos: v π (,, ) v π (,, ). Po ano, su diección vendá dada po el poduco vecoial de esos vecoes: v π v π u u u v π π v (,, ) Como debe pasa po el puno (,, ), las ecuaciones paaméicas de la eca pedida son: 8. Sea la eca inesección de los planos a) Deemina el plano π que coniene a la eca que pasa po el oigen de coodenadas. b) Escibi la ecuación de la eca pependicula a π que pasa po el puno (,, ). a) El ha de planos deeminado po es m( ) Si se quiee el plano que pasa po el oigen: m m. Luego, el plano π seá: π: ( ) 5 5 b) El veco de diección de la eca s pependicula a π es el nomal del plano: v s vπ. Su ecuación es: 5 s : 5 José Maía Maíne Mediano

7 Maemáicas II Geomeía del espacio 7 9. Sea el eaedo de la figua fomado po A(,, ), B(,, ), C(,, 6) D(α,, ). Calcula: a) El áea del iángulo limiado po los punos A, B C. b) La ecuación del plano π que pasa po los punos A, B C. c) El valo de α paa que el veco AD sea pependicula al plano π aneio. d) Paa α 5, el puno D siméico de D especo al plano π. a) El áea del iángulo de véices A, B, C viene dada po S AB AC Como AB (,, ) (,, ) (,, ), AC (,, 6) (,, ) (,, 6), se iene que u u u AB AC 6 (,8, 6) Luego, S b) El plano esá deeminado po el puno A los vecoes AB AC aneioes. Su ecuación es: 6 π: 6 c) El veco AD seá pependicula al plano cuando AD sea paalelo al veco nomal del plano, v π (,, ); siendo AD (α,, ) (,, ) (α,, ). Po ano: AD k v π (α,, ) k (,, ) α, (pues k ) α 5. d) Sea D`(a, b, c) el puno buscado. Debe cumpli:. El veco DD debe se paalelo al nomal del plano v π (,, ). El puno medio (M) del segmeno DD debe peenece al plano. Po ano: DD (a 5, b, c ) k(,, ) a 5 k; b k; c k a 5 k; b k; c k [] a 5 b c a 5 b c M,, π 6 a b c 8 [] Susiuendo [] en []: k 8 k a ; b ; c. El puno siméico buscado es D (,, ). José Maía Maíne Mediano

8 Maemáicas II Geomeía del espacio 8. a) Compoba que las ecas: (,, ) (,, ) λ(,, ) s (,, ) (,, ) µ(,, ) se coan en un puno. b) Halla la ecuación geneal del plano que coniene a las ecas dadas en el apaado aneio. a) Dos ecas se coan en un puno cuando no son paalelas esán en el mismo plano. Como sus vecoes de diección son v (,, ) v s (,, ) esula evidene que no son paalelas. Esaán en el mismo plano si los vecoes v, v s RS son coplanaios, siendo R un puno de S oo puno de s: RS (,, ) (,, ) (,, ). Como, los vecoes son linealmene dependienes. Luego, efecivamene, los vecoes son coplanaios. En consecuencia, las ecas s se coan. b) El plano que deeminan viene dado po el puno R los vecoes v v s. Su ecuación es: ( ) ( ) ( ). Se considean los punos A (,, ), B (,, ) C (,, ). Se pide: a) Halla la ecuación geneal del plano π que los conienen. b) Halla la ecuación de la eca pependicula a π que pasa po el oigen de coodenadas. Halla ambién el puno de inesección de la eca con el plano. a) El plano viene deeminado po cualquiea de los punos, po ejemplo A, po los vecoes AB (,, ) (,, ) (,, ) AC (,, ) (,, ) (,, ). Sus ecuaciones seán: h π: 6 6 h b) El veco de diección de la eca es el nomal del plano v π (,, 6). λ Sus ecuaciones paaméicas son: λ 6λ El puno de coe de la eca el plano se obiene esolviendo el sisema que deeminan. Paa ello susiuimos los valoes de la eca en la ecuación del plano. Así: (λ) (λ) 6 (6λ) 6 9λ 6 λ 6/9 La eca el plano se coan si λ 6/9. Se obiene el puno P (/9, 8/9, 6/9). José Maía Maíne Mediano

9 Maemáicas II Geomeía del espacio José Maía Maíne Mediano 9. Calcula la ecuación de una eca que pasa po el puno de inesección del plano 6 π con la eca s es paalelo a la eca. Las ecuaciones paaméicas de eca s son: s Susiuendo en π se obiene el puno P de coe: ( ) 6 P (9,, ) Las ecuaciones paaméicas de son: siendo v (,, ) Po ano, la eca, paalela a que pasa po P, es: 9. Halla la ecuación del plano que pasa po el puno A(,, ), es pependicula al plano es paalelo a la eca Las ecuaciones paaméicas de la eca dada son: : El plano pedido esá deeminado po el puno A (,, ) po los vecoes π v (,, ) v (,, ). Su ecuación seá: 5.

10 Maemáicas II Geomeía del espacio. Dada la eca de ecuación el puno P(,, ), calcula: a) la ecuación de la eca que pasa po P, es pependicula a se apoa en. b) las coodenadas del puno Q siméico de P especo de. La siuación es la siguiene: s P X Q a) Las ecuaciones paaméicas de son: : Sea X (,, ) un puno genéico de. El veco PX, de diección de la eca s, pependicula a, es: PX (,, ) (,, ) (,, ) Ese veco debe se pependicula a v (,, ). Po ano: (,, ) (,, ) 8 6 / Luego, X (/, 5/, 5/) PX (7/, /, /) (7,, ). La eca pedida es 7λ s : λ λ b) Sea Q (a, b, c). Como X (/, 5/, 5/) es el puno medio ene P Q, se cumple que: a b c 5 5 7,,,, a, b, c 7 Po ano, Q,,. José Maía Maíne Mediano

11 Maemáicas II Geomeía del espacio 5. De los planos paalelos al plano 8, encona el que deemina con los ejes de coodenadas un iángulo de áea 8. Los planos paalelos son k. Esos planos coan a los ejes en los punos: A (k,, ), B (, k, ) C (,, k). La supeficie del iángulo de véices ABC es: S AB AC, siendo AB (k, k, ) AC (k,, k). Luego, u AB AC k k ( k k u u k, k, k k S k k k 8 k o k. Los planos pedidos son:, 6. Encuene el plano que coniene a la eca: L es paalelo a la eca deeminada po los punos: P(,, ) Q(,, ). El plano pedido esá definido po el puno A (,, ) de la eca L, po el veco de diección de L, v L (,, ), po el veco PQ (,, ) (,, ) (,, ). Sus ecuaciones son: ) h h h. José Maía Maíne Mediano

12 Maemáicas II Geomeía del espacio José Maía Maíne Mediano 7. Dados los punos del espacio A (,, ), B (,, ) C (,, ). a) Deemina la ecuación del plano π que los coniene. b) Calcula la ecuación de la eca pependicula al plano π que pasa po el oigen. [ punos] a) La ecuación es: ( ) b) Como el veco (, 6, ) es nomal al plano, la eca pedida es: 6 : 8. Halla el valo de k paa que las ecas k s se coen. Halla el puno de coe. Paa que las ecas se coen, el sisema fomado po las cuao ecuaciones lineales k debe se compaible. En consecuencia, k k Paa k, el sisema aneio es equivalene a ; ; El puno de coe es P (,, ).

13 Maemáicas II Geomeía del espacio 9. Se considea la eca el plano π. Se pide: a) Deemina el puno P de inesección de π, el puno Q en que la eca coa al eje OZ. b) Deemina el puno R que es siméico de Q especo de π la ecuación de la eca siméica de especo del plano π. a) Las ecuaciones paaméicas de son: :. Susiuendo en la ecuación del plano: ( ). Luego, el puno P (,, ). Los punos del eje OZ son de la foma (,, ) Q (,, ). b) Sea R (,, ) el siméico de Q especo de π. Ambos punos Q R esaán en la eca s, pependicula a π po Q. s Además, si M es el puno de coe de esa eca el plano, M debe se el puno medio ene Q R. Como v λ π (,, ), se deduce que s : λ P λ Coe de eca plano: λ λ λ λ /. 8 Po ano, M,, Puno medio de Q R:,, 8 Como M,,,,,, 7 7 Luego, el puno siméico es R,,. La eca, siméica de especo e π, es la deeminada po los punos P R. Como 5 PR,, (,, 5), su ecuación seá: : 5 Q M R José Maía Maíne Mediano