TEMA12: ESPACIO MÉTRICO

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1 TEMA1: ESPACIO MÉTRICO 1. PERPEDICULARIDAD A) RECTA-RECTA: Do ecta on pependiculae i u vectoe diectoe on otogonale: V. W = 0. ota que eta condición no implica que la ecta e coten, pueden tene dieccione otogonale y cuzae. Paa que do ecta e coten pependiculamente e deben cumpli do condicione: 1) V. V = 0 v v' x x ) v v 1 3 v' 1 v' B) RECTA-PLAO: 3 y z y z = 0 Una ecta y un plano on pependiculae cuando el vecto diecto de la ecta e otogonal a lo do vectoe de diección del plano: V Vπ y V Wπ o bien, el vecto diecto de la ecta e popocional al vecto nomal del plano: V = ( v, v, v ), V = ( A, B, C) ( v, v, v ) = k( A, B, C) C) PLAO-PLAO: π 1 A 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 =0 π A x+b y+c z+d =0 lo vectoe nomale de ambo plano deben e otogonale ente í: V W A 1.A +B 1.B +C 1.C =0 Ejecicio: 1º) Compueba i lo iguiente ubepacio on pependiculae: y + x 3y 1 = 0 a) x = = z + 3 x 3z 6 = 0 x y z b) = = π 3x + y z 1 = c) π 3x + y z + 5 = 0 π ( x, y, z) = (, 1, 3) + λ (, 1, 0) + µ ( 1, 01) 1 1/10 IBR-IES LA ÍA

2 º) Dada la ecta ( x, y, z) = (5, 1, 4) + k(3, 1,), indica do ecta pependiculae a que paen po el punto A(0,0,1). Cuánta ecta pependiculae a paan po el punto A? Cuánta ecta cotan pependiculamente a y paan po el punto A? 3º) Ecuación de la ecta que paa po A(3,0,-1) y e pependicula a π x-3y-z+1=0 4º) Dado el plano π x-3y+5=0, da la ecuacione de: a) una ecta paalela a π b) una ecta pependicula a π c) un plano paalelo a π d) un plano pependicula a π x = 1+ λ 5º) Halla la ecuación de un plano que contiene a la ecta : y = y e pependicula al z = 3 + 3λ plano XY. [y=-] 6º) Plano que paa po A(0,1,), paalelo a (x-1)/=(y-)/3=z-3 y pependicula al plano x-y+z=0. [x-z+4=0] 7º) Ecuación del plano que divide pependiculamente el egmento de extemo AB en do pate iguale, A(-,-1-1), B(-1,4,-), (fomado po todo lo punto que equiditan de A y de B). [x+10y-z-15=0] º) Calcula el imético del punto A(-1,3,0) epecto al plano x-3y+z+5=0,, º) Ecuación de la ecta poyección de obe π x-y+3z-4=0, x = 1+ λ x = 1+ α a) y = λ b) y = 1+ 3α z = λ 3 z = 1+ α 10º) Dado el plano de ecuación π x+y+z-3=0 y el punto A(1,0,), ea B el pie de la pependicula de A a π, y C(,1,-) un punto del epacio. Se pide el áea del tiángulo ABC ( u ). ÁGULOS.1 Recta-Recta Dada la ecta y con vectoe diectoe V y como el ángulo fomado po u vectoe: ang(,)=ang(v,v )=α y V, e define el ángulo fomado po V. V Recodando que, a pati del poducto ecala, tenemo: coα =. V /10 IBR-IES LA ÍA

3 . Plano-Plano Baándono en el hecho de que el ángulo fomado po do dieccione (π 1,π ) e el mimo que el deteminado po do dieccione otogonale a ella (V, W ): ang(π 1,π )=ang(v Recodando ota vez la fómula del poducto ecala de do vectoe: V. W coα =. W, W ).3 Recta-Plano Si llamamo α=ang(,π), como V ángulo fomado po V e otogonal al plano, el y V eá el complementaio de α, e deci, π α π V. V co α =.. V po ángulo complementaio: co(π/ α)=enα en α = V. V. V Ejecicio: 11º) Calcula el ángulo fomado po: a) π 1 x+z-=0 b) x+y-z=1 c)(x-1)/6=(y+)/-3=(z-4)/6 π x-y+7=0 x-y-z-7=0 (x+)/3=(y-3)/6=(z+4)/- d) (x+1)/3=(y-1)/6=(z-3)/-6 x-y+z-3=0 x 1 y 1 z 3 1º) Dada la do ecta y, que e cotan, de ecuacione : = = y 6 6 x 3 y + 3 z 1 : = =, e pide: (Jun-07) 4 a) El punto P de cote de la ecta y. [(,-1,3)] b) Un vecto dieccional de y oto de, y el ángulo que foman la ecta y en el punto P. [76,55º] c) La ecuación implícita ax+by+cz+d=0 del plano π que contiene a la ecta y. [15x+14y+4z-8=0] 13º) Dado lo plano π 1 y π de ecuacione π 1 : x + y + z + 3 = 0, π : x + y z 6 = 0 a) Calcula el ángulo α que foman lo plano π 1 y π b) Calcula la ecuación paamética de la ecta, inteección de lo plano π 1 y π 3/10 IBR-IES LA ÍA

4 c) Compoba que el plano π de ecuación x + y 1 = 0, e el plano biecto de π 1 y π. e deci, foma un ángulo α/ con cada uno de lo plano π 1 y π, donde α e el ángulo obtenido en el apatado a). (Sep-07) 14º) Sean π y π lo plano del epacio R 3, deteminado del modo iguiente: El plano π paa po lo punto (0,,1), (3,-1,1) y (1,-1,5) y el plano π paa po lo punto (3,0,), (,1,1) y (5,4,-). a) Una ecuación paamética de la ecta inteección de lo plano π y π. [ π : x + y + z 5 = 0; π : y + z = 0] b) El ángulo α que foman lo do plano. [45º] (Sep-03) c) La ecuación del plano que contiene a la ecta y foma un ángulo de 90º con el plano π [-x+y+z-1=0] 15º) Conideemo lo plano π1 : x + y 6 = 0, π : x + 4y + λz + = 0 donde λ e un paámeto eal. a. Detemina la ecuacione paamética de la ecta inteección de lo plano π 1 y π cuando λ=4. (Sep-0) b. Calcula azonadamente λ paa que π 1 y π e coten fomando un ángulo de 45º. [ λ = ± 4] 16º) En el epacio e conidean: La ecta inteección de do plano de ecuacione implícita: x+y-z=5 y x+y-z= Y la ecta que paa po lo punto P=(3,10,5) y Q=(5, 1,6). Se pide: a) Calcula la ecuacione paamética de la ecta y de la ecta. [: x = λ y = 8 z = 3 λ ; : x = 3 + µ y = 10 + µ z = 5 + µ ] b) Calcula el punto H inteección de y y el ángulo α que deteminan y.[(1,8,4), 45º] c) Calcula lo punto M y de la ecta paa lo que el áea de cada uno de lo tiángulo de vétice PQM y PQ e 3 unidade de áea. (Jun-06) [(-1,8,), (3,8,6)] 3. DISTACIAS 3.1. Punto Punto: El módulo del vecto que une dicho punto 1 p1 ) + ( q p ) + ( q3 3 ) d( P, Q) PQ = + ( q p = 3..Punto-Recta 1) Calculando la poyección otogonal de P obe : Vamo a intenta enconta el punto P poyección otogonal de P(x 0.y 0,z 0 ) obe la ecta. La ditancia de P a vendá dada po la ditancia de P a P : d=d(p,)=d(p,p )= PP' 4/10 IBR-IES LA ÍA

5 1. Ecuación del plano π pependicula a que paa po P. ( V V π = ). Punto de cote de y π: P 3. d=d(p,p ) ) Uando el poducto vectoial: Sea A un punto cualquiea de y V u vecto diecto Si calculamo el áea del paalelogamo ombeado: S=b.h= V.d po ota pate también Igualando: AP V d( P, ) = S= AP V 3.3. Punto-Plano: P(x 0,y 0,z 0 ) π Ax+By+Cz+D=0 El punto P e la poyección de P obe π, luego: d(p, π)=d(p,p ) Como PP' RP' PP' e otogonal al plano, lo eá a cualquie vecto contenido en él; en paticula Hacemo el poducto ecala V. RP : V. RP = V. RP co( π α) =. RP enα d po ota pate: enα = RP Luego d = V.RP A( x0 x1) + B( y0 y1) + C( z0 z1) = A + B + C Sea R un punto cualquiea de π R(x 1,y 1,z 1 ) como R(x 1,y 1,z 1 ) π Ax 1 +By 1 +Cz 1 +D=0 Ax 1 By 1 Cz 1 =D y quedaía: Ax0 + By0 + Cz0 + D d( P, π ) = (ponemo el valo aboluto po e una ditancia) A + B + C V.RP =. RP. d RP Ejecicio: 17º) Ditancia del plano 6x 7y+5z+8=0 al oigen de coodenada. 18º) π 1 x y+z 1=0, π x+3y 1=0. Ditancia del punto de cote de π 1 con el eje Z, al plano π. [ 13 13u ] 5/10 IBR-IES LA ÍA

6 19º) Ecuación del plano paalelo a x-y+3z+6=0, que dita 1 unidade del oigen. 0º) Dado lo punto A=(4,-4,9), B=(,0,5), C=(4,,6), L=(1,1,4), M=(0,,3) y =(3,0,5), a) Calcula la ditancia d del punto C al punto medio del egmento de extemo A, B y el áea del tiángulo de vétice A,B,C. [ 18 ; 9] b) Calcula la ecuacione implícita del plano π que paa po lo punto A, B, C y del plano π que paa po lo punto L, M,. [x-y-z+6=0; y+z-5=0] c) Calcula la ecuación paamética de la ecta inteección de lo plano π y π y el ángulo α que deteminan lo plano π y π. [ x = + λ y = λ z = 5 + λ; 45º ] (Jun- 06) 1º) a) Halla la ditancia del punto P=(3,-1,4) a la ecta inteección de lo plano π1 : x + y z + 5 = 0, π : 4x + 4y z + 9 = 0. [ 6 u ] b) Halla la ecuación del plano que paa po la ecta y el punto P. (Jun-0) [x-11y-7z+11=0] º) Dado el plano π : x + y + 3z 1 = 0 y el punto Q=(,1,3), e pide calcula: a) La ditancia del punto Q al plano π. [ ] b) El áea del tiángulo cuyo vétice P 1, P y P 3 on lo punto de inteección del plano π con lo eje coodenado. [ 14 1u ] u (Sep-07) c) El volumen del tetaedo de vétice P 1, P, P 3 y Q. [ ] 3º) Conideemo lo punto A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1) y D=(,1,). Se pide: a. Halla el áea del tiángulo de vétice B, C y D b. Calcula el volumen del tetaedo de vétice A, B, C y D c. Halla la ditancia del punto A al plano que paa po lo punto B, C y D. (Sep-04) 3 4º) Tenemo que e la ecta y π el plano de R, deteminado po: paa po lo punto (,,4) y (-1,,1) y π paa po lo punto (1,0,1), (1,-1,0) y (3,0,0). Se pide: a) Demota que la ecta no e paalela a π. b) Calcula el punto P de inteección de y π y el ángulo que foman la ecta y el plano π. [(1,,3); 45º] c) Detemina lo punto de la ecta que cumplen que u ditancia a π e 4. (Jun-03) [(5,,7), (-3,,-1)] 3.4. Recta-Plano Si cota a π o etá contenida en él, la ditancia e 0. Si e paalela a π: bata toma un punto cualquiea de, P, y d(,π)=d(p,π), que e calculaá con la fómula anteio 6/10 IBR-IES LA ÍA

7 3.5. Plano-Plano Igual que en el cao anteio, ólo calculaemo la ditancia ente do plano cuando éto ean paalelo (en oto cao la ditancia eá 0): π 1 Ax+By+Cz+D 1 =0 π Ax+By+Cz+D =0 Tomamo un punto cualquiea de π 1, P(x 0,y 0,z 0 ), y d(π 1,π )=d(p,π ): Ax0 By0 Cz0 D D D1 d( π 1, π ) = = (P π 1 Ax 0 +By 0 +Cz 0 = D 1 ) A + B + C A + B + C 3.6. Recta-Recta PARALELAS: Tomamo P 1 y d(p, )=d( 1, ) SE CRUZA: En ete cao e habla de mínima ditancia ente y. Dicha ditancia e alcanza ente lo punto P y Q que deteminan la pependicula común a y : d(,)=d(q,p) Hay te pocedimiento paa calcula eta ditancia: 1. Vamo a calcula la longitud del egmento de la pependicula común compendido ente la do ecta. Debemo calcula lo punto P y Q tale que: PQ y PQ. El pocedimiento a egui eá el iguiente: x = x0 + v1α x = x1 + w1β P P( x0 + v1α, y0 + vα, z0 + v3α) a) y = y0 + vα y = y1 + wβ Q Q x w y w z w z = z + v ( 1 + 1β, 1 + β, 1 + 3β) 0 3α z = z1 + w3β b) PQ y PQ PQ. V = 0 y PQ. W = 0 Eta do igualdade popocionan un itema de ecuacione con incógnita, α y β. c) Reolviéndolo y utituyendo eo valoe en y obtendemo lo punto P y Q que deteminan la pependicula común y, po tanto, la mínima ditancia ente y.. Calculando la ecuación del plano π que contiene a la ecta y e paalelo a la ecta. Ete plano etaá deteminado po un punto cualquiea R de y po lo vectoe diectoe V y U. La ditancia mínima ente la do ecta 7/10 IBR-IES LA ÍA

8 (PQ en la figua) coincide con la ditancia de cualquie punto S de al plano π: d (, ) = d(, π ) = d( S, π ) 3. Se puede jutifica la iguiente fómula paa calcula la ditancia: d(, ) = V, W, P Q V W Unimo un punto cualquiea P de con oto punto Q cualquiea de. El volumen del paalelepípedo deteminado po P Q, V, W e el valo aboluto del poducto mixto de eo te vectoe, y también e V, W, PQ V = Sb h = V W h. Luego h = d(, ) = V W Ejecicio: 5º) Compueba que ditancia. [ u ] x y 5 z = = 7 3 x = 1+ 3α + β π y = 1+ 4α - 3β on paalelo y calcula u z = 1+ 5α - β 6º) Calcula la ditancia ente lo iguiente pae de plano: a) π 1 3x-y+z=0, π x-3y+3=0 [0] b) π 1 x-y+z-5=0, π 4x-4y+z+1=0 [11/3] c) π : 3x + 9y z + 5 = 0 y π ': ( x, y, z) = (,0,3) + λ (1,0,3) + µ (3, 1,0) [ u ] 7º) Calcula la ditancia ente lo iguiente pae de ecta: x y z x y z a) = = = = [e cuzan; u ] x y 5 b) : ( x, y, z) = (1,7,0) + k(,3,1) y : = = z + 1 [paalela; 4 14] 3 x 1 3 y z + c) : ( x, y, z) = (,1,0) + k(1,,) y : = = [e cotan] 3 x = 3 + k x 3 y + 3 z 1 d) : = = y : y = 3 3k [Coincidente] 6 4 z = 1 k x = 1+ λ x - 3y + z = 0 e) y = 1- λ y [Se cuzan; ] 3x - y +1 = 0 z = 5-7λ 8º) Dado el punto Q=(3,-1,4) y la ecta de ecuación paamética : x = + 3λ y = λ z = 1 + 4λ, e pide: 8/10 IBR-IES LA ÍA

9 a) Halla la ditancia del punto Q a la ecta. [ 6 ] b) Jutifica que la ecta que paa po Q y tiene (1,-1,1) como vecto dieccional no cota a. c) Calcula la ditancia ente la ecta y. (Jun-07) [ 6 ] 9º) Detemina la ditancia de la ecta a cada uno de lo plano π 1 y π : [ 5 5 ; 3 ] x + 3y z = 0 π1 x + z = π x + y + 5 = 0 y z + 1 = 0 30º) Longitud del egmento de la ecta compendido ente lo plano π y π : π 3x+z=5 π x-y-z=0 x-y=0///x-z=0 (5 6 4 ) y z + x + y = 0 31º) Calcula la pependicula común a la ecta : x 1 = = : 3 x z 5 = 0 [x=1/13 +k; y=8/13-4k; z=-9/13-3k] 3º) En el epacio e conidean: La ecta inteección de do plano de ecuacione implícita: x-y-z=9 y 4x-y+z=4 Y la ecta que paa po lo punto (1,3,-4) y (3,-5,-). Se pide: a) Calcula la ecuacione paamética de la ecta y de la ecta. b) Jutifica que la ecta y e cuzan c) Calcula un vecto dieccional de la ecta t, pependicula común a la ecta y, y calcula el punto P de inteección de la ecta y t. (Sep-06) [P(,-1,-3)] 33º) a) Ecuación del plano π que paa po el punto A(1,-1,) y e otogonal a la ecta x 1 y + 1 : = = z. 3 b) Halla el punto B de π que eté má póximo del punto P(3,-4,3). c) Ditancia del punto P al plano π. x = λ x + 1 y z 34º) Sean la ecta : = = y : y = 1+ 3λ. 3 z = λ a) Halla la ecuación geneal del plano π que contiene a y e paalelo a. [ 9 x 4y + 3z + 9 = 0] b) Detemina la ditancia del plano π a la ecta.[ u] 35º) Dado lo punto A=(1,-,3) y B=(0,,1), e pide: (Jun-0) a) La ecuación paamética de la ecta que paa po ambo punto. b) La ecuación del plano π que etá a igual ditancia de A y de B.[-x+8y-4z+9=0] c) La ditancia al oigen de la ecta inteección del plano y-z=0 con el plano π.[9/ u] 36º) En el epacio e conidean: El plano π que paa po lo punto (11,1,), (5,7,5) y (7,-1,-) [x+y-z-9=0] Y la ecta inteección de do plano de ecuacione implícita: x+y+z=15 y x- 7y+z=3 (Sep-06) a) Calcula la ecuación paamética de la ecta y la ecuación implícita del plano π. b) Calcula el punto P de inteección de y π y el ángulo que deteminan y π.[(9,3,3)] c) Calcula lo punto M y de la ecta cuya ditancia al plano π e igual a 3 u. l. [(1,3,0),(6,3,6)] 9/10 IBR-IES LA ÍA

10 37º) Dado el plano definido po la ecuación π: 8x 4y+z=3, halla a) La ecuación de la ecta pependicula al plano π que paa po el punto P(1,-3,7), expeada como la inteección de do plano.[x+y=-5//x-8z=-55] b) La ditancia del punto P al plano π [8/3 ul] c) La ecuacione de lo plano que ditan 3 unidade del plano π. [8x-4y+z=-4 ; 8x-4y+z=30](Sep-0) 38º) Dado lo punto P = (3, 1, 4), Q = (1,0, 1), y el plano π de ecuación π : x y + z + 5 = 0, e pide calcula azonadamente : a) La ecuación de la ecta que paa po el punto P y e pependicula al plano π b) La ecuación de lo plano que paan po el punto P y on pependiculae al planoπ. [-x+(-1+a)y+az+5-3a=0] c) La ecuación del plano π' que paa po lo punto P y Q y e pependicula al plano π (Sep-09) [-8x-y+3z+11=0] 5x + y z = 4 x y = 5 39º) Dada la ecta de ecuacione : y :, e pide: (Jun-10) x y z = 5 z = 4 a) Jutifica que la ecta y e cuzan. b) Calcula azonadamente la ditancia ente la ecta y. c) Detemina la ecuación del plano π que e paalelo y equiditante a la ecta y 10/10 IBR-IES LA ÍA