Unidad 12: Posiciones y Métrica en el espacio.

Transcripción

1 Unidad 12: Poicione y Mética en el epacio. 1) Poicione elativa en el epacio: a) De un punto con ecta y plano: a1) Un punto A petenece a una ecta i cumple u ecuacione geneale, en cao contaio e dice que no petenece. a2) Un punto A petenece a un plano i veifica u ecuación geneal. b) De do ecta: Geométicamente: Se cuzan Se cotan Paalela Coincidente Rg( u, u )= 2 Rg( u, u )= 2 Rg( u, u )= 1 Rg( u, u )= 1 Rg( u, u, B A )= 3 Rg( u, u, A B ) = 2 Rg( u, u, A ) = 2 Rg( u, u, A ) = 1 Siendo A un punto de la ecta y u un vecto diecto y B un punto de la ecta y un vecto diecto Ax By Cz + D = 0 A x B y C z + D = 0 Siendo : y : A x B y C z + D = 0 A x B y C z + D = A B C A B C D M= A B C y M*= A B C D : A B C A B C D A B C A B C D Analíticamente Se cuzan Se cotan Paalela Coincidente gm = 3 gm = 4 gm = 3 gm = 3 Página 299, ejecicio 107, 108, 116, 117. gm = 2 gm = 3 c) de una ecta y un plano: Geométicamente: Se cotan Paalela Contenida u. n 0 u. n = 0 u. n = 0 A A B gm = 2 gm = 2 Siendo A un punto de la ecta y u un vecto diecto y n un vecto nomal del plano B, en conecuencia 0 Analíticamente: Se cotan Paalela Coincidente gm = 3 gm = 3 gm = 2 gm = 3 Ax By Cz + D = 0 Siendo : A x B y C z + D = 0 gm = 2 gm = 2 A y : A x + B y + C z + D = 0, iendo M= A A B B B C C y C

2 A B C D M*= A B C D A B C D Página 299, ejecicio 105, 106, 145. d) de do plano a pati de u ecuacione geneale: Se cotan Paalelo Coincidente A B C A B C D A B C D A B C A B C D A B C D Siendo : Ax + By + Cz + D = 0 y : A x + B y + C z + D = 0 Página 299, ejecicio 103. e) de te plano: A pati de la ecuacione geneale, iendo M la matiz fomada po lo coeficiente de la 3 ecuacione geneale y M la matiz ampliada (Página 299, ejecicio 104, 148, 149, 150): Cao 1 Cao 2 Cao 3 Cao 4 Cao 5 Se cotan en un Coincidente punto gm = 3 gm = 3 - Se cotan do a do - Uno cota a do paalelo gm = 2 gm = 3-3 plano e cotan en una ecta - 2 coincidente y el 3º lo cota gm = 2 gm = 2-3 Paalelo - 2 paalelo y 1 coincidente gm = 1 gm = 2 gm = 1 gm = 1 Cao 1 Cao 2 Cao 2 Cao 3 Cao 3 Cao 4 Cao 4 Cao 5

3 12.2 Ángulo en el epacio. El ángulo ente ditinto elemento del epacio no depende de la poición elativa. a) De do ecta que e cotan e el meno de lo ángulo que foman en el plano que deteminan. Si la ecta e cuzan, e el ángulo fomado po la ecta ecante paalela a la dada. El ángulo de do ecta vaía de 0º a 90º. Se dicen que on pependiculae i foman un ángulo de 90º. co( ) co(u u ) b) De do plano (que e cotan) e el meno de lo ángulo diedo que deteminan. Vaían de 0º a 90º. co( ) co(n n ) c) De una ecta y un plano e el ángulo que foma la poyección de obe el plano. Vaía de 0º a 90º en( ) co(n u ) 12.3 Ditancia en el epacio. Ante de comenza el cálculo de ditancia e neceaio ealiza el etudio de la poición elativa. a) Ente do punto A y B: d(a,b) = b) De un pto. P exteno a un plano: y P = (a 1,a 2,a 3 ). De foma azonada: AB Aa1 Ba2 Ca3 D d(p, ) iendo :Ax +By +Cz + D = A B C 1) Calcula la ecta pependicula al plano que paa po P 2) Cálculo del punto de cote de la ecta y el plano, Q. 3) d(p, ) d(p,q )

4 c) Ente do plano paalelo: d(, ) d(a, ) d) De un punto a una ecta: d(p, ) PA u x u 1) Se calcula el plano pependicula a que paa po P. 2) Se calcula el pto. de cote ente el plano y la ecta, P. 3) d(p, ) = d(p, P ) e) De do ecta paalela: d(,) d(a,) f) Do ecta que e cuzan: AA,u,u d(, ) u x u g) De una ecta a un plano (paalelo): d(, ) d(a, ) 1) Calcula la ecta t que cota pependicula a y a. 1.1 Calculamo el plano con el vecto diecto de y el vecto pependicula a y. 1.2 Calculamo el plano con el vecto diecto de y el vecto pependicula a y. 1.3 La inteección de lo do plano e la ecta t. 2) Calcula el punto de cote de t con, A. 3) Calcula el punto de cote de t con, B. 4) d(, ) = d(a, B) 12.4 Modelo de ejecicio de Geometía: 1) Haz de plano paalelo: Dado una plano :Ax + By + Cz + D = 0 lo plano paalelo a (haz de plano paalelo) on de la foma Ax + By + Cz + k = 0 con k númeo eal. 2) Haz de plano ecante: Dado una ecta, el conjunto de todo lo plano que paan po e llama haz de plano ecante y a e le llama Ax By Cz + D = 0 aita del haz. Siendo :, A x B y C z + D = 0 cualquie plano tiene la foma: Ax + By + Cz + D + a(a x + B y + C z + D ) = 0

5 3) Poyección de un punto obe una ecta: Sea una ecta y P un punto exteio a ella (poición elativa paa compobalo), la poyección de P obe e un punto P de, iendo PP un vecto pependicula a. Paa calculalo eguimo lo iguiente pao: a) Calcula el plano pependicula a que paa po P b) P e el punto inteección del plano y la ecta Obevación: d(p,p ) = d(p,) 4) El punto imético de P epecto de la ecta e el punto P de foma que P o e el punto medio de P y P. Paa calcula P eguimo lo iguiente pao: a) Calcula el plano pependicula a que paa po P b) P o e el punto inteección del plano y la ecta P P c) Calcula P abiendo que P o 2 5) Poyección de un punto obe un plano: Sea un plano y P un punto exteio a él (poición elativa paa compobalo), la poyección de P obe e un punto P o de, iendo PP un vecto pependicula a. Paa calculalo eguimo lo iguiente pao: a) Calcula la ecta pependicula a que paa po P b) P e el punto inteección del plano y la ecta Obevación: d(p, P ) = d(p,) 6) El punto imético de P epecto del plano e el punto P de foma que P o e el punto medio de P y P. Paa calcula P eguimo lo iguiente pao: a) Calcula la ecta pependicula a que paa po P b) P o e el punto inteección del plano y la ecta P P c) Calcula P abiendo que P o 2 7) La poyección de una ecta obe un plano : E ota ecta contenida en el plano fomada po toda la poyeccione otogonale de todo lo punto de obe el plano. E impotante en etudia en pime luga la poición elativa: a) Si la ecta e pependicula al plano, la poyección e el punto de cote. b) Si la ecta e incidente con el plano, e calcula el punto de cote y una poyección de un

6 punto cualquiea de c) Si la ecta y el plano on paalelo, e calcula la poyección de do punto cualequiea de la ecta 8) La ecta imética epecto del plano : a) Si la ecta e incidente con el plano, e calcula el punto de cote y un punto imético de epecto del plano c) Si la ecta y el plano on paalelo, e calcula do punto imético de epecto del plano 9) t ecta pependicula a do ecta y : a) Si la ecta e cotan, calculamo uxu que eá el vecto diecto de t y paaá po el punto de cote de y. b) Si la ecta e cuzan: - Plano que paa po A, uxu, u - Plano que paa po A, uxu, u - La ecta bucada e la inteección de lo do plano 10) Halla el luga geomético (epeenta a la figua de lo punto que cumplen la condicione que indica el ejecicio) de lo punto que equiditan de lo iguiente plano: : 3x + y-2x + 1 = 0 y :x 3y + 2z 3 = 0 e cumple d(p, ) = d(p,); Página 299, ejecicio 111, 112, 113, 114, 115, 146, 147.