UNIDAD 10.- Geometría afín del espacio (tema 5 del libro)

Transcripción

1 UNIDD.- Geometía afín del espacio tema del libo). VECTOR LIBRE. OPERCIONES CON VECTORES LIBRES En este cuso amos a tabaja con el espacio ectoial de dimensión,, que es simila al tatado en º de Bachilleato, sólo que con una componente o coodenada más,. En, los ectoes los puntos son de la foma,, Definición: Un ecto fijo de oigen el punto etemo el punto B, es un segmento oientado caacteiado po: - Diección, que es la ecta que contiene al ecto - Sentido u oientación de la ecta, en este caso de hacia B - Módulo o longitud del segmento oientado La flecha indica el sentido el módulo es la distancia ente B En el espacio los puntos tienen coodenadas amos a utilia un sistema de efeencia otonomal, fomado po los ectoes i,, ), j,, ) k,, ) son unitaios pependiculaes ente si) el oigen O, como emos en la imagen Llamamos coodenadas de un ecto fijo B de oigen el punto a, etemo el punto Bd, e, f) a los númeos que se obtienen de esta a las coodenadas del etemo las coodenadas del oigen: B = d - a, e f Ejemplo: Dados los puntos P,, -) Q-,, -) tenemos que PQ =--, -, ---)) = -, -, -) El módulo de un ecto fijo B = d - a, e f, que se nota po B, se obtiene mediante el teoema de Pitágoas es: B = d a e b f c UNIDD.- Geometía afín del espacio

2 Ejemplo: Dado el ecto fijo PQ =,, -), tenemos que PQ = ) Definición: Llamaemos ecto libe al conjunto de todos los ectoes fijos que tienen igual módulo, diección sentido ectoes fijos equipolentes). Se epesenta po B, peo po comodidad no pondemos los cochetes usaemos la misma notación que la de ecto fijo solo ecto libe B. Todos los ectoes fijos del dibujo son un Las coodenadas de un ecto libe son las coodenadas de uno cualquiea de sus epesentantes o ecto fijo. Y el módulo de un ecto libe es el módulo de uno cualquiea de sus ectoes fijos. Los ectoes libes se suelen nota po sí si u a, u a b c u, Los ectoes libes que tienen módulo se les llama unitaios OPERCIONES CON VECTORES LIBRES.- Suma de ectoes Dados dos ectoes u a, d, e, f ), se define el ecto suma como u a d, b e, c f ) La suma de ectoes se puede hace gáficamente aplicando la egla del paalelogamo. La suma de ectoes tiene las siguientes popiedades: - sociatia: u ) u ) - Elemento neuto: El ecto nulo,,) - Elemento opuesto: El ecto opuesto de u a, es u a, - Conmutatia: u u B.- Poducto de un númeo eal po un ecto Dado un nº eal k un ecto u a,, tenemos el ecto k u k a, k k que eifica que: - Tiene la misma diección que u - Si k tiene el mismo sentido que u, si k tiene sentido opuesto a u - El módulo de u k es igual la alo absoluto de k po el módulo de u k u k u UNIDD.- Geometía afín del espacio

3 Como popiedades tenemos: - Distibutia del poducto especto de la suma de ectoes: u k - Distibutia de la suma de númeos eales po un ecto: p - sociatiidad mita: - Elemento neuto: u u k p u k p u l cumpli el conjunto de ectoes libes del espacio espacio ectoial. k u k k u k u p u estas popiedades decimos que tiene estuctua de. DEPENDENCI E INDEPENDENCI DE VECTORES. BSES Definición: Dados dos ectoes u a, a, c ) diemos que son linealmente dependientes si son popocionales, es deci tienen la misma diección. O lo que es lo mismo u a, a, c ) son a b c linealmente dependientes si sólo si ango a b c Definición: Dados dos ectoes u a, a, c ) diemos que son linealmente independientes si no son popocionales, es deci no tienen la misma diección. O lo que es lo mismo u a, a b c a, son linealmente independientes si sólo si ango a b c Definición: Dados tes ectoes u a,, a, c ) a, c ) diemos que son linealmente dependientes si alguno de ellos es combinación lineal de los demás. O lo que es lo mismo u a,, a b c a, a, c ) son linealmente dependientes si sólo si ango a b c a b c UNIDD.- Geometía afín del espacio

4 Definición: Dados tes ectoes u a,, a, c ) a, c ) diemos que son linealmente independientes si ninguno de ellos es combinación lineal de los demás. O lo que es lo mismo u a,, a b c a, a, c ) son linealmente independientes si sólo si ango a b c a b c es un conjunto de ectoes linealmente independientes que a pati de ellos se Definición: Una base de puede obtene cualquie oto ecto del espacio ectoial, es deci, cualquie ecto de se puede pone como combinación lineal de los ectoes de la base. Popiedad: Tes ectoes linealmente independientes en foman una base. Nosostos usaemos la base canónica i,,, j,,, k,, B c Cuando decimos que las coodenadas de un ecto libe son u a, especto de la base canónica, en ealidad lo que estamos diciendo es que u a i b j c k. SISTEMS DE REFERENCI Los puntos objetos del espacio siempe an a eni efeidos a un sistema de efeencia como dijimos al pincipio del tema. Vamos a usa el sistema de efeencia catesiano fomado po la base canónica po un punto oigen O. Lo notaemos así R O,,); B,,, j,,, k,, c i Como emos en el dibujo el punto P,, ) iene uníocamente deteminado po el ecto de posición OP,, ) = i j k sí además, como a sabemos dados dos puntos,, ) B,, ), el ecto libe que deteminan es B,, ) que se obtiene poque: Y de aquí la epesión punto etemo menos punto oigen O B OB B OB O =,, ),, ) UNIDD.- Geometía afín del espacio

5 Coodenadas del punto medio de un segmento Dado un segmento de etemos,, ) con ecto de posición posición a O,, ) b OB, amos a calcula las coodenadas del punto medio M,, ) m OM. Tenemos la igualdad ectoial, OM O M OM O m m m como emos B con ecto de con ecto de posición B M, sustituendo) B m, m, m ) =,, ),, ) opeando nos queda) m, m, ) =,, ) m Las coodenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coodenadas de los etemos.. ECUCIONES DE L RECT Una ecta, al igual que imos el año pasado, iene deteminada po un punto po donde pasa P,, ) un ecto diecto,, ) como emos en el dibujo cualquie punto X,, ) de la ecta ha de cumpli que: OX OP t paa t R que es la llamada ecuación ectoial de la ecta UNIDD.- Geometía afín del espacio

6 ECUCIÓN VECTORIL DE UN RECT: OX OP t con t R pati de esta ecuación opeando en coodenada s obtenemos las demás ecuaciones que son: ECUCIONES PRMÉTRICS t t con t R t ECUCIONES CONTINUS Se obtienen despejando el paámeto t de cada una de las paaméticas e igualando ente si: ECUCIONES IMPLÍCITS Son dos ecuaciones, que se obtiene despejando el paámeto t de una de las paaméticas sustituendo en las otas dos, o bien, a pati de las continuas desaollando la doble igualdad. B C D B C D Es mu impotante entende que las ecuaciones implícitas de una ecta en el espacio, si le damos una intepetación algebaica, no es ota cosa que un sistema de ecuaciones con incógnitas, que debe se un sistema compatible indeteminado, que al esolelo lo que obtenemos son las ecuaciones paaméticas de la ecta. NOT: También una ecta iene uníocamente deteminada po dos puntos po donde pasa, a, B a,, pues podemos obtene sin más el ecto diecto que es B a a, b c Ejemplo: Halla las ecuaciones de la ecta que pasa po el punto,, -) tiene po ecto diecto, 6,8) Lo pimeo que hemos de tene en cuenta es que como ecto diecto es mejo toma el ecto u,,), que nos da la misma diección paa la ecta es más simple, con lo cual los posibles cálculos seán menos complejos. t Ecuaciones paaméticas: t con t R t t Ecuación continua: Despejamos t de cada una de las ecuaciones paaméticas: t ahoa las igualamos t 6 UNIDD.- Geometía afín del espacio

7 UNIDD.- Geometía afín del espacio 7 Ecuaciones implícitas: Vamos a obtenelas a pati de las continuas, de la doble igualdad podemos establece: 6 6 cambiamos de signo la ª ecuación simplificamos po la ª) Ejemplo: Lo mismo paa la ecta que pasa po los puntos,,-) B-,,). En este caso nos falta conoce el ecto diecto. Como sabemos es el ecto ),, B a actuamos igual que en el ejemplo anteio, tomando como punto o B. Os dejo a osotos la ealiación Ejemplo: Dada la ecta Se pide: a) Obtene sus ecuaciones paaméticas continuas b) Da puntos de la ecta. a) Vamos a esole el sistema de ecuaciones con incógnitas asociado, que se puede e fácilmente que es un SCI, pues el meno angomati coeficientes) = = angomati ampliadada) < nº incógnitas. Paametiamos la incógnita que no estaba en el meno,, sustituimos: esolemos po Came o Gauss, usamos Gauss que paece más fácil, haciendo E + E De E despejamos :. Sustituimos en la E obtenemos : Y po tanto las ecuaciones paaméticas de la ecta es: con R. Como emos a tenemos un punto po donde pasa la ecta,, P un ecto diecto,,. Podemos considea otos ectoes diectoes que nos esulten más cómodos paa el cálculo, como po ejemplo,,, u, así po ejemplo tendiamos otas ecuaciones paaméticas de la ecta, peo totalmente álidas: con R OBSERVCIÖN: Si al pincipio hubiésemos tomado el meno de las las,, entonces paametiamos haciendo, nos queda el sistema éste lo esolemos po Came:

8 Y po tanto la ecta es: con R que es una epesión más cómoda que las dos anteioes al no tene facciones. El punto po donde pasa es Q,, ecto diecto,, u b) Paa obtene puntos de una ecta basta con dale aloes al paámeto en las paaméticas. Vamos a usa la ecuación ; ; P,, ; ; P,, 7 ; ; 7 P,,7 ECUCIONES DE LOS EJES COORDENDOS mu impotante) Os dejo una tabla con los datos ecuaciones. Las continuas no se suelen usa pues tenemos el en el denominado. Es más, en el espacio se usan las paaméticas las implícitas pimodialmente paa todas las ectas. EJE Punto Vecto diecto OX O,,),, OY O,,) OZ O,,) Ecuaciones paaméticas i OX j,, OY k,, OZ VER: Ejecicios esueltos del libo de teto de la página Ecuación continua OX OY OZ Ecuaciones implícitas OX OY OZ 8 UNIDD.- Geometía afín del espacio

9 . ECUCIONES DEL PLNO. HZ DE PLNOS Un plano en el espacio iene dado po un punto po donde pasa,,, ), dos ectoes diectoes, a, c a, c,que han de se linealmente independientes, pues sino seía una ecta. La ecuación ectoial del plano es: OX O con, R de ella obtenemos las,, ),, ) a, c a, paaméticas, simplemente usando las coodenadas e igualando: c ECUCIONES PRMÉTRICS a a b b con, R c c ECUCIÓN IMPLÍCIT De las ecuación ectoial o de las paaméticas se obsea que el ecto X OX O,, ) = a, c a, c ), es deci, a, c ango X es linealmente dependiente especto de los ectoes a, c X,, = a b c Realiando este deteminante nos a b c queda al final una ecuación del tipo: B C D que es la ecuación implícita del plano NOT: Nomalmente los planos se designan po las leta giegas,, Un plano también puede eni deteminado po puntos no alineados po donde pase:,, ), B,, ) C,, ). En este caso tomamos podemos obtene los ectoes diectoes a pati de los puntos, po ejemplo B C, considea cualquiea de los puntos. nálogamente a las ectas podemos toma ectoes popocionales que nos hagan más facíl las opeaciones. 9 UNIDD.- Geometía afín del espacio

10 De la ecuación implícita de un plano B C D, se obtiene un ecto otogonal pependicula) al plano que se llama ecto nomal es n, B, C Con esto, un plano también queda uníocamente deteminado po un punto po donde pase,,, ), un ecto nomal a él, n, B, C Ejemplo: Halla las ecuaciones paaméticas e implicita, así como un ecto nomal del plano que pasa po los puntos,, ), B,, ) C,,). Consideemos como ectoes diectoes BC,, ) B,, ) como punto tomamos C,,). Ecuaciones paaméticas: Ecuación implícita: La obtenemos de con, R podemos simplifica nos queda) El ecto nomal es,, n Ejemplo: Obtene las ecuaciones paaméticas e implícita del plano que pasa po P,, ) tiene po ecto n nomal,6, Pimeo amos a considea como ecto nomal n,,, pues lo que nos inteesa es la diección, así los cálculos seán más cómodos. La ecuación implícita del plano sea de la foma: D. Como P ha de eifica la ecuación del plano de ahí calculamos D ) D D Ecuación implícita: Ecuaciones paaméticas: De manea simila a las ecta, esolemos de foma algebaica el sistema {, que obiamente es compatible indeteminado. Com es una sóla ecuación tes incógnitas, hemos de paametia dos de ellas. Lo más cómodo es hace despejamos en la ecuación:. Po tanto: UNIDD.- Geometía afín del espacio

11 con, R son las ecuaciones paaméticas del plano. demás a tenemos oto punto po donde pasa,, ectoes diectoes u,,,, PLNOS COORDENDOS En el espacio ha planos coodenados como podemos e en la figua: quí están sus caacteísticas os dejo a osotos la obtención de las ecuaciones que se dan: Plano OXY OXZ OYZ Punto O,,) O,,) O,,) Vectoes diectoes Vecto nomal Ecuaciones paaméticas Ecuación implícita i,,) k,, ) OXY j,,) OXY i,,) j,, ) OXZ k,,) OXZ j,,) i,, ) OYZ k,,) OYZ VER: Ejecicios esueltos del libo de teto de la página 6. POSICIONES RELTIVS DE DOS Y TRES PLNOS a.- Posiciones elatias de dos planos B C D Consideemos dos planos B C D su posición elatia se educe a estudia el sistema de ecuaciones asociado:. Estudia UNIDD.- Geometía afín del espacio

12 B C D B C Donde tenemos la mati de coeficientes la mati ampliada B C D B C B C D * Las posibilidades son las siguientes: B C D.- ango) = ango*) = se tata de un sistema compatible indeteminado, tiene infinitas soluciones, las dos ecuaciones son popocionales los planos son coincidentes Ejemplo: Los planos 6, tenemos el sistema asociado, es fácil e que E E po tanto, ango) = ango*) = ), es deci, 6 los dos planos son el mismo o coincidentes..- ango) = ango*) = se tata de un sistema incompatible los planos son paalelos Ejemplo: Los planos 6 9, tenemos el sistema asociado, es fácil e que ango) = ango*) =, es deci, los dos planos son 6 9 paalelos..- ango) = ango*) = se tata de un sistema compatible indeteminado, tiene infinitas soluciones peo las dos ecuaciones no son popocionales los planos son secantes se cotan en una ecta) UNIDD.- Geometía afín del espacio

13 UNIDD.- Geometía afín del espacio Ejemplo: Los planos, tenemos el sistema asociado, es fácil e que ango) = ango*) =, es deci, los dos planos son secantes, se cotan en una ecta.. VER: Ejecicios esueltos del libo de teto de la página 6 b.- Posiciones elatias de tes planos Consideemos tes planos D C B, D C B D C B. Estudia su posición elatia se educe a estudia el sistema de ecuaciones asociado: D C B D C B D C B Donde tenemos la mati de coeficientes C B C B C B la mati ampliada * D C B D C B D C B Las posibilidades son las siguientes:.- ango) = ango*) = sistema compatible indeteminado, las tes ecuaciones son popocionales los planos, son coincidentes Ejemplo: Los planos, 6 tenemos el sistema asociado 6, es fácil e que ango) = ango*) =, pues las ecuaciones son popocionales. Los planos son coincidentes.- ango) = ango*) = se tata de un sistema incompatible donde: -o bien, los tes planos son paalelos distintos dos a dos Ejemplo: Los planos, 7 6 tenemos el sistema asociado 7 6, es fácil e que ango) = ango*) =. Los planos son paalelos distintos dos a dos. -o bien, ha dos planos coincidentes el oto paalelo distinto

14 , 6 Ejemplo: Los planos tenemos el sistema asociado 6, es fácil e que ango) = ango*) =. demás se e que E E, luego los planos son coincidentes paalelos a.- ango) = ango*) = se tata de un sistema compatible indeteminado, los tes planos se cotan en una ecta, pues una de las ecuaciones depende linealmente de las otas dos. Puede ocui: -o bien, los tes planos son distintos secantes en una ecta, Ejemplo: Los planos tenemos el sistema asociado, es fácil e que ango) = ango*) =. demás se e que E E E, luego los planos son distintos se cotan en una ecta -o bien, dos de los planos son coincidentes el oto los cota en una ecta Ejemplo: Los planos, 6 tenemos el sistema asociado, es fácil e que ango) = ango*) =. demás se e que 6 E E, luego los planos son coincidentes secantes en una ecta con UNIDD.- Geometía afín del espacio

15 .- ango) = ango*) = el sistema es incompatible puede ocui que: -o bien, los planos se cotan dos a dos fomando un pisma, Ejemplo: Los planos tenemos el sistema asociado, es fácil e que ango) = ango*) =. demás se e que no ha planos paalelos, luego los planos se cotan dos a dos fomando un pisma -o bien, dos de los planos son paalelos el oto es secante con ellos, Ejemplo: Los planos tenemos el sistema asociado, es fácil e que ango) = ango*) =. demás se e que E E son incompatibles, luego los planos son paalelos secantes en una ecta con punto.- ango) = ango*) = el sistema es compatible deteminado, los tes planos se cotan en un UNIDD.- Geometía afín del espacio

16 , Ejemplo: Los planos tenemos el sistema asociado, es fácil e que ango) = ango*) =. Los tes planos son secantes en un punto. 7. POSICIONES RELTIVS DE UN RECT Y UN PLNO Consideemos un plano B C D la ecta en ecuaciones implícitas B C D Lo pimeo es dase cuenta que las ecuaciones implícitas de una ecta no es B C D ota cosa que las ecuaciones implícitas de dos planos, que po supuesto no han de se ni paalelos ni B C B C D coincidentes, es deci, ango ango = B C B C D B C D El sistema asociado al plano a la ecta es: B C D Donde tenemos la mati de B C D B C coeficientes B C la mati ampliada B C ango. Las posibilidades son las siguientes: B C D * B C D que po lo menos tienen B C D.- ango) = ango*) = es un sistema compatible indeteminado infinitas soluciones) la ecta está contenida en el plano Ejemplo: Dado el plano la ecta Estudia su posición elatia Tenemos que ango = pues su deteminante ale también se puede obsea que - F F F ). demás ango = po lo mismo de antes es un sistema compatible indeteminado ha infinitas soluciones) la ecta está contenida en el plano.- ango) = ango*) = es un sistema incompatible la ecta el plano son paalelos 6 UNIDD.- Geometía afín del espacio

17 UNIDD.- Geometía afín del espacio 7 Ejemplo: Dado el plano la ecta Estudia su posición elatia Tenemos que ango = pues su deteminante ale también se puede obsea que F F F ). demás ango = pues el meno de oden es un sistema incompatible la ecta el plano son paalelos.- ango) = ango*) = es un sistema compatible deteminado solución única) la ecta el plano se cotan en un punto Ejemplo: Dado el plano la ecta Estudia su posición elatia Tenemos que ango = pues su deteminante ale -. demás ango = pues el la mati de coeficientes es una submati tiene ango es un sistema compatible deteminado la ecta el plano son secantes se cotan en un punto VER: Ejecicios esueltos del libo de teto de la página 8 8. POSICIONES RELTIVS DE DOS RECTS Vamos a considea dos ectas dadas en foma paamética: t t t con R t tenemos un punto de,, un ecto diecto,, t t t s con R t tenemos un punto de s,, s un ecto diecto,, Tenemos oto ecto a pati de los dos puntos,, s. Estudiemos la dependencia de estos tes ectoes,, s,,,,, que nos daán la infomación eleante de la posición elatia de las dos ectas:.- Si ango = son popocionales s tienen la misma diección o son iguales o paalelas)

18 es deci, ango a.- Si, s,, =, entonces las dos ectas son coincidentes. s, es popocional a cualquiea de los dos ectoes, ectoes, es deci, ango b.- Si, s,, =, entonces las dos ectas son paalelas. s, no es popocional a cualquiea de los dos.- Si ango = no son popocionales s no tienen la misma diección o se cuan o se cotan) es deci, ango a.- Si, s,, =, entonces las dos ectas son secantes. s, es linealmente dependiente especto de, es deci, ango b.- Si, s,, =, entonces las dos ectas se cuan. s, es linealmente independiente especto de, t Ejemplo: Sean las ectas t t calcula su punto de cote. s Estudia su posición elatia si son secantes De la ecta tenemos un punto un ecto diecto:,,,, La ecta s la pasamos a paaméticas haciendo nótese que no se puede hace) calculamos: 8 UNIDD.- Geometía afín del espacio

19 s. Con lo cual tenemos su punto su ecto diecto:,,,, Tenemos que: ango, = ango =. Po tanto las ectas o son secantes o se cuan. Calculamos el ecto s,, el ango s,, con el meno =. Po tanto, ango, =. Las ecta s se cuan s, s 9. HCES DE PLNOS.- Haces de planos paalelos Dado un plano B C D, se llama ha de planos paalelos a a todos aquellos que son paalelos a él, es deci, son de la foma B C El ha de planos se epesenta po: H B C con R Ejemplo: Dado el plano, detemina su ha de planos paalelos halla el plano de este ha que pasa po el punto P,,). El ha de planos paalelos es: H con R De todos estos planos, el que pase po P, tiene que cumpli la ecuación así calculamos : el plano pedido es: B.- Haces de planos secantes Consideemos dos planos B C D B C D que sean secantes en una ecta. Se llama ha de planos secantes a todos los planos que contienen a esa ecta El ha de planos secantes es: H B C D) B C D) con R B C D pues el plano no se puede obtene paa ningún alo de 9 UNIDD.- Geometía afín del espacio

20 Ejemplo: Dados los planos. Da la ecuación del ha de planos secantes fomado po esos dos planos enconta el que pasa po el oigen de coodenadas Es fácil e que los dos planos son secantes en una ecta, po tanto se puede calcula el ha de planos secantes H ) ) con R Imponemos que pase po el oigen paa calcula : ++) + --)= = El plano pedido es EJERCICIOS: De la página 6, los ejecicios,,,, 6, 7, 8, 9,,,, De la página 7, los ejecicios,, 6, 8, 9,,, De la página 8, los ejecicios,, 8, 9,, UNIDD.- Geometía afín del espacio