el vector v (1, 3). Qué son las ecuaciones lineales y cómo se representan sus soluciones.

Transcripción

1 0SMTL_B_0.08 // 07: P gina 50 Geometía analítica Los cepos en moimiento desciben na tayectoia qe a eces es ecta, como oce con las bolas de billa. Estas chocan nas con otas y con las paedes de la mesa descibiendo líneas ectas. Un ben jgado de billa consige qe s bola golpee las otas; es deci, hace qe la tayectoia de la bola pase po el pnto donde se encentan las otas bolas. Bsca en las mesas del dibjo n jgado qe tenga s taco en posición coecta paa consegi caambola y oto qe no lo tenga. Razona t elección sando ectoes. b) Bsca en algna mesa na bola qe haya segido tayectoias paalelas despés de choca con las paedes. c) Si dos bolas son golpeadas con la misma diección, cómo son ss tayectoias? d) Conociendo la sitación de na bola en la mesa, qé elemento de geometía nos pemitiía descibi s tayectoia?

2 Receda y esele Qé son los ectoes y cómo se tilizan en las taslaciones. Un ecto B es n segmento oientado qe tiene n pnto oigen y n pnto extemo B. Las coodenadas de n ecto son las coodenadas del extemo. Dado n ecto t, se llama taslación de ecto t al moimiento qe hace coesponde a cada pnto P oto pnto P de foma qe PP t. Dibja el ecto B donde (, ) y B (, 5). Calcla las coodenadas del ecto B de la actiidad anteio. Dibja el ecto (, ). Encenta el pnto B qe se obtiene al taslada (0, ) mediante el ecto (, ). 5 Encenta el pnto C qe se obtiene al taslada el pnto (0, ) mediante el ecto, donde (, ). 6 Cómo están los pntos, B y C? Cómo se epesenta na ecta a pati de s ecación. Repesentación de ectas Las fnciones lineales son de la foma f(x) mx n. Paa epesenta na ecta se obtienen dos pntos y se taza la ecta qe pasa po ellos. 7 Repesenta las sigientes ectas: f(x) x d) f(x) b) f(x) x e) f(x) x c) f(x) x f) f(x) x Qé son las ecaciones lineales y cómo se epesentan ss solciones. Ecaciones lineales Una ecación lineal con dos incógnitas tiene como solciones todos los pntos de na ecta. 8 Repesenta las solciones de las sigientes ecaciones: y x c) x y b) x y 5 d) 6x y Cómo se eselen sistemas de ecaciones lineales con dos incógnitas. Resolción de sistemas de dos ecaciones lineales con dos incógnitas. Hay tes métodos paa esole sistemas de dos ecaciones lineales con dos incógnitas: Redcción Igalación Sstitción Los sistemas de dos ecaciones lineales con dos incógnitas peden tene na solción, ningna solción o infinitas solciones. 9 Resele estos sistemas po el método qe pefieas. En cada caso indica si hay solción única, infinitas solciones o ningna solción. x y ( x y b) x y ( x y c) x y ( x y d) x y 5 ( x y 0 e) x y 0 ( x y Geometía analítica 5

3 Vectoes en el plano. peaciones Piensa y dedce La sigiente figa epesenta las posiciones de Segio antes y despés de ealiza n desplazamiento de km en tes casos distintos. CS I CS II CS III posición posición posición posición posición posición Es sficiente esa infomación paa sabe dónde está Segio? Qé datos necesitas? Expesa con exactitd dónde ha ido Segio en cada caso. Si se mee a oto pnto qe no está en la misma hoizontal ni etical, como en el caso III, necesitamos algún elemento qe nos pemita identifica el desplazamiento con exactitd. Ten en centa w s, y w tienen la misma diección. y w tienen el mismo sentido. tiene sentido contaio a y w. y w tienen el mismo módlo. Receda qe en el cso pasado se tilizaban los ectoes paa defini con pecisión las taslaciones. Se llama ecto fijo B a n segmento oientado con oigen en y extemo en B. Un ecto está deteminado po tes caacteísticas: Módlo: longitd del segmento. Diección: diección de la ecta qe lo contiene. Sentido: el qe a del oigen al extemo. Todos los ectoes con el mismo módlo, diección y sentido se denominan eqipolentes. Se llama ecto libe,, al conjnto de todos los ectoes fijos eqipolentes; es deci, con el mismo módlo, diección y sentido. Un ecto libe se pede epesenta en calqie pate del plano con calqie oigen. Dados dos pntos en el plano, y B, el ecto fijo B es n epesentante del ecto libe eqipolente a él. B Dado calqie ecto libe y n pnto, siempe podemos epesenta el ecto libe con oigen en. 5 UNIDD 8

4 .. peaciones con ectoes libes Sma de ectoes libes Si B y BC, entonces, w C. El ecto sma,, tiene como oigen el oigen de y como extemo el extemo de. Podcto de n ecto libe po n escala k El ecto k tiene la misma diección qe y s módlo se obtiene mltiplicando k po el módlo de, qe tiene el mismo sentido si k es positio y sentido contaio si k es negatio. Mediante el podcto de n ecto po n escala podemos obtene el ecto opesto de, es deci (), cyo módlo y diección son igales qe los de y cyo sentido es contaio al de. En la figa del magen pedes obsea qe la sma de ectoes es conmtatia. La sma es oto ecto w, con el mismo oigen, epesentado po la diagonal del paalelogamo qe foman. Conociendo, podemos esta ectoes: ( ) Po ejemplo, dados los ectoes y, calclamos. B w C ctiidades Di cáles de estos ectoes tienen el mismo módlo, cáles la misma diección y cáles el mismo sentido: B C E H F D Indica cál es el único pa de ectoes eqipolentes de la actiidad anteio. Dibja n ombo y nomba los étices consectios con las letas, B, C y D. Dibja y nomba los ectoes qe esltan al ealiza las sigientes opeaciones: b) CD B c) D B BC BC d) B BC Taza n paalelogamo como el de la figa. Expesa en fnción de y los sigientes ectoes: B, D, C, BC, C, B, BD, DB, CD. G J I K L P M N 5 Dibja n pentágono como este. D C E B Nomba cinco ectoes distintos qe tengan como oigen y extemo los étices del pentágono. b) Expesa el ecto D como sma de dos ectoes. c) Expesa D como sma de tes ectoes. d) Expesa C como sma de dos ectoes. e) Expesa E como sma de ectoes. f) Expesa CD como difeencia de dos ectoes. g) Expesa B como podcto de n ecto po n escala. h) Expesa el ecto nlo como sma de ectoes. D 6 Taza tes ectoes cya sma sea el ecto nlo. B C 7 Qé difeencia hay ente la diección y el sentido de n ecto? Geometía analítica 5

5 Coodenadas de n ecto Piensa y dedce Volemos al cambio de posición de Segio. Según la figa, en el caso I se ha desplazado 5 nidades hacia aiba. Conocemos los pntos en los qe está antes y despés de desplazase. Sabes identifica mediante coodenadas los moimientos qe hace en los tes casos? CS I CS II CS III (, 6) (, 6) (5, ) (9, ) (, ) (, ) Ten en centa (5, ) (5, ) Un ecto libe con oigen en (0, 0) tiene las mismas coodenadas qe el pnto de s extemo. bsea El ecto nlo, 0, es aqel en el qe el extemo y el oigen coinciden. Ss coodenadas son 0 (0, 0)... Vecto de posición de n pnto Dado n pnto, se llama ecto de posición de al ecto, qe ne el oigen de coodenadas, (0, 0), con el pnto y tiene las mismas coodenadas qe... Coodenadas de n ecto bsea en la sigiente figa qe el ecto B se calcla estando a las coodenadas de B las de. Po ejemplo, si (, ) y B (5, ), el ecto qe a de a B es: B (5, ) (, ) Dados los pntos (a, a ) y B (b, b ), las coodenadas del ecto B se obtienen estando a las coodenadas del pnto B las coodenadas del pnto. B (b a, b a ) B b a (a, a ) B (b, b ) b a EJERCICIS RESUELTS Halla las coodenadas del ecto B en el qe (, 5) y B (6, ). B (6, 5) (, ) (, 5) B B (6, ) bsea El ecto k tiene la misma diección qe. Ss coodenadas son popocionales. (, 6) ( (), ) (, ).. peaciones con ectoes mediante ss coodenadas Sma de ectoes w (, ) (, ) (, ) Podcto de n ecto po n escala k k (, ) (k, k ) Difeencia de ectoes w ( ) (, ) (, ) (, ) 5 UNIDD 8

6 EJERCICIS RESUELTS Dados (, 5) y (, ), ealiza estas opeaciones: (, 5) (, ) (, 5 ()) (, ) b) (, 5) (, ) (, 5 ()) (, 7) c) 5 5 (, 5) (5, 5 5) (5, 5) d) () (, ) ((), () ()) (9, 6) e) 5 (, 5) 5 (, ) (, 5) (5, 0) (, 5) f) 0 (, 5) 0 (, ) (, 5) (0, 0) (, 5) ctiidades 8 Dados los pntos (, ), B(, ), C(, ) y D(, ), halla las coodenadas del ecto indicado en cada caso y epeséntalo en nos ejes de coodenadas: B b) C c) BC d) D e) DC 9 Halla las coodenadas de los sigientes ectoes: H 6 D 5 G K I L F 0 Repesenta en nos ejes coodenados los ectoes qe eifican las condiciones indicadas en cada caso: S oigen es el pnto (, 5), y s extemo, B(, ). b) Ss coodenadas son (5, ), y s oigen, (, ). c) Ss coodenadas son (, ), y s extemo, B(, 0). Dibja cinco ectoes eqipolentes al ecto B cyos oígenes sean, espectiamente, los pntos C, D, E, F y G. Cáles son las coodenadas de todos estos ectoes? Halla las coodenadas de s extemo. 6 B 5 C E G 5 F D C B E J Repesenta en nos ejes coodenados los ectoes qe eifican las condiciones indicadas en cada caso: a (, ) c) c (, ) e) e (, 0) b) b (, ) d) d (, 5) f) f (0, ) Detemina las coodenadas de los sigientes ectoes e indica cáles epesentan el mismo ecto libe: I 6 G 5 D L J E F H C K N K B P M Dados (, ), (5, ) y w (, ), opea: d) g) w b) e) h) ( w ) c) f) i) ( w w ) 5 Indica si los ectoes dados en cada apatado tienen la misma diección. Compeba ts espestas epesentándolos gáficamente. (, ), (6, 9) d) (, 6), (0, 5) b) (, 5), (, 0) e) (6, ), (, ) c) (, 7), (5, 8) f) (0, 8), (0, 9) 6 Cómo son ente sí las coodenadas de dos ectoes eqipolentes? 7 Cáles son las coodenadas del ecto nlo? 8 Cáles son las coodenadas de n ecto cyo oigen es el oigen de coodenadas y cyo extemo es n pnto calqiea, P(a, a )? Geometía analítica 55

7 plicaciones de los ectoes (, ) Piensa y dedce Cál es la longitd del ecto de la figa del magen? bsea qe el ecto es la hipotensa del tiánglo ectánglo. Relaciona las coodenadas de con s longitd. Qé elación hay si aplicamos el teoema de Pitágoas a este tiánglo ectánglo?.. Módlo de n ecto El módlo de n ecto (, ) coesponde a s longitd: EJERCICIS RESUELTS Calcla el módlo del ecto (, 5). () nidades.. Distancia ente dos pntos d B Piensa y dedce Dados y B en el plano, cántos ectoes podemos dibja con oigen o extemo en no de ellos? Podíamos sa esos ectoes paa halla la distancia ente y B? Qé elación hay ente d y B? La distancia ente dos pntos y B es la longitd del segmento qe los ne; es deci, el módlo del ecto B. d(, B) B (b a ) (b a ) EJERCICIS RESUELTS Calcla la distancia ente los pntos (, ) y B (, ). d(, B) B ( ) ( ()) (5) Pnto medio de n segmento bsea Si M es el pnto medio ente y B, entonces B es el pnto simético de especto de M. Dado n segmento B, con (a, a ) y B (b, b ), las coodenadas del pnto medio de B son: M a b, a b EJERCICIS RESUELTS 5 Sean (5, ) y B (, ). Halla el pnto medio, M. 5 () M, 8 (, ), 6 56 UNIDD 8

8 .. Relación ente las coodenadas de tes pntos alineados Piensa y dedce Spongamos qe los pntos (a, a ), B (b, b ) y C (c, c ) están alineados como en la figa del magen. Qé tienen en común los ectoes B, C, y BC? Qé opeación nos pemite obtene ectoes con la misma diección a pati de no dado? Cómo son las coodenadas de los ectoes qe se obtienen mltiplicando n mismo ecto po n escala? C B Si los pntos (a, a ), B (b, b ) y C (c, c ) están alineados, entonces ss coodenadas cmplen estas popociones: b a b a c a c a b a c a b a c a ecípocamente, es deci, si ss coodenadas eifican estas popociones, los pntos están alineados. EJERCICIS RESUELTS 6 Compeba, haciendo los cálclos coespondientes, si los pntos (, ), B (, 6) y C (, 5) están alineados. Hacemos las popociones coespondientes: b a b a c a c a Lego los pntos, B y C no están alineados. ctiidades 9 Calcla el módlo de los sigientes ectoes: a (, 5) c) c (, ) e) e (, ) b) b (, ) d) d (0, 6) f) f (, 0) 0 Halla la longitd de los ectoes epesentados: Dados los pntos (, ), B(, ) y C(5, ), calcla: B b) C c) BC d) C Dados los pntos (0, 6), B(, 5) y C(, ), halla: d(, B) b) d(, C) c) d(b, C) Halla en cada caso las coodenadas del pnto medio del segmento B. Compeba gáficamente los esltados. (, ), B(, 5) c) (5, 0), B(, ) b) (, ), B(5, ) d) (0, 0), B(7, 0) Calcla las coodenadas del pnto Q, si M es en cada caso el pnto medio del segmento PQ: P(, ), M(5, 5) c) P(, ), M(0, 0) b) P(5, ), M d) P, M(, ) 5 Demesta qe el tiánglo de étices (, ), B(, ) y C(6, ) es ectánglo. (yda: n tiánglo es ectánglo si ss lados cmplen el teoema de Pitágoas.) 6 7 Cómo son los módlos de los ectoes opestos? Estdia si estos pntos están alineados: (, 5), B (, 6), C (, 7) b) (6, ), B (, 5), C (9, ) 8, 8, 5 Halla n pnto alineado con (, ) y B(6, ). Geometía analítica 57

9 Ecaciones de la ecta P Q bsea y esele Todos los pntos de na ecta están alineados. Todos los ectoes de tienen la misma diección. Si llamamos a n ecto en la ecta, seán ectoes de la ecta los ectoes y? Si P y Q son dos pntos de la ecta, qé elación habá ente y PQ? La ecación de na ecta es na ecación qe eifican todos los pntos de y ningno más. Paa detemina na ecta,, es necesaio conoce: Un pnto P qe petenezca a. Un ecto qe sea paalelo a ( se llama ecto diecto o ecto de diección de ). Veamos las difeentes fomas en las qe se pede pesenta la ecación de na ecta. P P P Receda Las coodenadas de (x, x ) coinciden con las coodenadas de s ecto de posición (x, x )... Ecación ectoial de na ecta Tenemos na ecta de la qe conocemos n pnto P qe petenece a ella (se escibe de la foma P ) y n ecto diecto,, de. Sea n pnto calqiea de. En la figa del magen, nos damos centa de qe calqie pnto,, de eifica qe es paalelo a ; es deci, t. Como, en fnción de los ectoes de posición de P y obtendemos P P P P P t. Paa obtene los pntos de la ecta hay qe hace aia el paámeto t en todos los númeos eales. Ecación ectoial: P t,con t.. Ecaciones paaméticas de na ecta P (, ) (, ) Q S bsea y esele Tenemos na ecta con ecto diecto (, ) qe pasa po P (, ). Encenta dos pntos, Q y S, de la ecta haciendo qe el paámeto alga t y t en la ecación ectoial. Paa cada alo del paámeto t obtenemos las coodenadas de n pnto. Cando en la ecación P t sstitimos los ectoes po ss coodenadas, obtenemos esta ecación: (x, y) (p, p ) t(, ) & (x, y) (p t, p t ) Igalamos la x con la pimea coodenada y la y con la segnda. Ecaciones paaméticas: x p t con t y p t 58 UNIDD 8

10 EJERCICIS RESUELTS 7 Escibe las ecaciones paaméticas de, qe pasa po P (, ) y tiene po ecto diecto (, 5). Halla dos pntos más de. x t () x t & y t (5) y 5t Paa t, x 9 0; y 5 ; obtenemos B (0, ). Paa t, x ; y 5 ; obtenemos C (, )... Ecación contina de na ecta Despejamos t en las dos ecaciones paaméticas de la ecta: t x p Como el alo de t tiene qe se el mismo, se igalan los aloes obtenidos. t y p x p Ecación contina: y p EJERCICIS RESUELTS 8 Halla el ecto diecto de y calcla dos pntos de ella. x y Las coodenadas del ecto diecto,, coesponden a los denominadoes de las facciones; es deci, (, ) (, ). Un pnto po el qe pasa es P (, ), qe hace ceo los nmeadoes. Paa halla oto pnto, smamos el ecto a las coodenadas de P: Q (, ) (, ) (, ) ctiidades 9 Calcla la ecación ectoial de cada ecta: (, ), (, ) c) (0, 0), (, ) b) (, 5), (, 6) d) (, 0), (, 0) 0 Detemina en cada caso las ecaciones paaméticas de la ecta qe pasa po y tiene la diección de : (, ), (, ) c) (, ), (, 0) b) (, ), (, 7) d) (6, 8), (, 5) Halla las ecaciones contina y ectoial de las ectas del ejecicio anteio. Estdia si P(, 0), Q(, ) y (0, 0) están en algna de estas ectas. Indica n pnto y n ecto diecto. x y (, ) t(, ) b) x c) y t 5 Las sigientes ecaciones están en foma contina. Qé númeo diide a los miembos de la igaldad? Indica n ecto diecto. y x x c) y 6 y b) x d) x 8 y Indica, azonadamente, si estas son ecaciones de na ecta en foma contina. En caso contaio, escíbelas en foma contina. x 5 y x c) y 5 b) x y x 5 d) y 5 5 Geometía analítica 59

11 .. Ecación geneal o implícita de na ecta Como la ecación contina de la ecta nos mesta na igaldad ente dos facciones, ss podctos czados son igales. l ealiza la opeación obtenemos la sigiente expesión: (x p ) (y p ) & x p y p & & x y p p & x y ( p p ) 0 Llamamos: al coeficiente de x: B al coeficiente de y: B C al témino independiente: C p p Ecación geneal o implícita: x By C 0 Es impotante pode enconta lo más fácilmente posible las coodenadas del ecto diecto de na ecta a pati de calqie ecación. En las ecaciones ectoial, paaméticas y contina, las coodenadas del ecto diecto se identifican a pimea ista, peo no oce lo mismo en el caso de la ecación implícita. El ecto diecto de la ecación implícita x By C 0es: (B, ) EJERCICIS RESUELTS 9 Detemina la ecación geneal de la ecta qe pasa po el pnto P (, 0) y cyo ecto diecto es (, ). Repeséntala. Como el ecto diecto es (, ) (B, ), entonces los coeficientes y B de la ecación geneal son: B & B ; Sstitimos y B en la ecación geneal: x y C 0 Si pasa po el pnto P (, 0), ss coodenadas deben eifica la ecación. Paa ello, sstitimos, en la ecación, x e y po las coodenadas de P y obtenemos: 0 C 0 & 6 0 C 0 & C 6 La ecación geneal de la ecta qe bscamos es: x y 6 0 La epesentación de la ecta es la qe es en la figa del magen. (, ) P(, 0) 0 Encenta n pnto y el ecto diecto de la ecta cya ecación geneal es x y 0. pati de los coeficientes de la ecación calclamos el ecto diecto de la ecta: ; B & (B, ) ((), ) (, ) Paa calcla n pnto de la ecta, damos n alo calqiea a x y calclamos la aiable y. Elegimos x y sstitimos en la ecación: y 0 & y & y & y La ecta pasa po el pnto P (, ). 60 UNIDD 8

12 .5. Ecación explícita de na ecta Piensa y dedce En las ecaciones de ectas qe manejamos en. de ES, apaece la coodenada y despejada en n miembo de la ecación. Cómo podemos pasa de la ecación geneal a na ecación como las del cso pasado? Receda qe no se pede diidi ente ceo. Se pede despeja y en calqie ecación geneal? Si B0, podemos despeja y en la ecación geneal de la ecta y obtenemos esta ota ecación: Ecación explícita: y mx n Receda qe en la ecta y mx n, el paámeto m es la pendiente y n es la odenada en el oigen (el pnto de cote de la ecta con el eje ). pati de la pendiente de na ecta, podemos enconta n ecto diecto de la misma: (, ) (B, ). m B P C y x B B (, ) La pendiente, m, es el cociente ente la segnda y la pimea coodenada del ecto diecto de la ecta. m Piensa y dedce Paa calcla la pendiente hay qe hace n cociente. Qé oce si la pimea coodenada del ecto diecto,, es 0? Es posible en ese caso enconta la ecación explícita de la ecta? Cómo son los ectoes cya pimea coodenada es ceo? Qé ectas no tiene ecación explícita? EJERCICIS RESUELTS Encenta la ecación explícita de na ecta qe pasa po el pnto P (, ) y tiene po ecto diecto (5, ). Como m, la ecación es y x n. 5 5 La ecta pasa po P, lego, paa halla el alo de n, sstitimos las coodenadas de P en la ecación: 9 Po tanto, : y x n & n ctiidades 5 Escibe las ecaciones implícita y explícita de estas ectas: x y x 5 y d) b) x y x e) y 5 c) x y y f) x 5 6 Detemina las ecaciones implícita y explícita de las ectas qe cmplen lo sigiente: Pasa po (, 6) y s ecto diecto es (, ). b) Pasa po (, ) y B(5, ). c) Pasa po (0, 5), y s pendiente es m. d) Ss ecaciones paaméticas son x 5 t ) y 6 t 7 Di si estos pntos petenecen a la ecta 5x y 0: (, 5) d) D(, ) b) B(, ) e) E(, 6) c) C(, ) f) F(5, ) 8 Estdia si (, 0), B(, 6),,, C y D petenecen a cada na de estas ectas: xy0 c) 7x5y70 x b) y 5x d) y 9 Calcla tes pntos de cada na de las sigientes ectas: x y 5 0 c) x 7y 0 b) y x d) y x 0 Escibe n pnto y n ecto de estas ectas: xy0 d) xy0 b) xy50 e) x y 0 c) xy 0 f) xy0 Detemina la pendiente de las sigientes ectas: y x c) y x 0 b) y x 5 d) x y Geometía analítica 6

13 .6. Ecación pnto-pendiente de na ecta bsea y esele pati de la pendiente de na ecta podemos enconta sin dificltad s ecto diecto. Peo si conocemos el ecto diecto, podemos enconta siempe la pendiente de la ecta? Con qé ectoes no se pede? Escibe la pendiente de la ecta qe tiene po ecto diecto (, ). Encenta n ecto diecto de la ecta cya pendiente es m. Paa obtene la ecación de la ecta en la qe apaecen el pnto po el qe pasa y s pendiente, olemos a la ecación contina de la ecta: x p y p & y p (x p ), peo m Ecación pnto-pendiente: y p m (x p ) EJERCICIS RESUELTS Escibe la ecación pnto-pendiente de na ecta qe pasa po P (, ) y tiene po ecto diecto (, 6). 6 m & y () (x ()) & y () (x ) Identifica la pendiente, n ecto diecto y n pnto po el qe pasa la sigiente ecta: y (x ) Pnto: P (, ); pendiente: m ; ecto diecto: (, )..7. Ecación de la ecta qe pasa po dos pntos Piensa y dedce Cántas ectas pasan po dos pntos? Dados dos pntos P y Q de la sigiente figa, encenta n ecto qe tenga la misma diección qe la ecta qe los ne. Q(, ) PQ P(, ) Calcla las coodenadas del ecto PQ. pati de ellas halla la pendiente de la ecta. Escibe la ecación pnto-pendiente de la ecta qe pasa po P y tiene po ecto diecto. Escibe la ecación de la ecta s qe pasa po Q con ecto diecto PQ PQ. Cómo son y s? Podemos enconta la ecación de na ecta si nos dan dos pntos po los qe pasa? 6 UNIDD 8

14 Dada na ecta,, qe pasa po P (p, p ) y Q (q, q ), y tiene po ecto diecto PQ (q p, q p ). Calclamos la pendiente de y escibimos la ecación pnto-pendiente con no de los pntos. Ecación de la ecta qe pasa po dos pntos: q p y p (x p ) q p q p m q p P(p, p ) PQ Q(q, q ) q p q p EJERCICIS RESUELTS Detemina la ecación de la ecta qe pasa po los pntos P (, ) y Q (, 6). 6 () y () (x ) & y 9(x ) 5 Repesenta la ecta qe pasa po los pntos P (, ) y Q (0, ). Encenta s ecación. Paa epesentala dibjamos los dos pntos y la ecta qe pasa po ellos. Pedes e la epesentación en el magen. P (, ) Q (0, ) S ecación es y (x 0) & y x & y x. 0 () 6 Escibe la ecación de la ecta qe pasa po los pntos P (, ) y Q (, ). y (x ) & y 0 & y ctiidades Escibe las ecaciones pnto-pendiente de cada na de estas ectas: (, ), donde (, ) y (, ). b) Pasa po P(5, ) y Q(, 8). c) Pasa po (0, 0) y tiene po pendiente m 5/. d) Pasa po (, ) y B(, ). Escibe todas las fomas de la ecación de la ecta qe pasa po P (7, 0) y tiene ecto de diección (5, ). Repesenta la ecta qe pasa po P (, ) y tiene pendiente m. Halla s ecación y oto pnto de la ecta. Repeséntala. 5 Halla la ecación pnto-pendiente estas ectas: 6 Encenta la ecación de la ecta qe pasa po los pntos P (, ) y Q (, ). 7 Los étices de n cadiláteo son los pntos P(, ), Q (, 6), R (7, ) y S (5, ). Halla las ecaciones de ss lados. b) Halla los ectoes, PQ, PS, SR y QR. Cómo son? Qé cadiláteo es? 8 Estdia si P (, ), Q (, ) y R (, ) están alineados. Si no lo están, halla las ecaciones de los lados del tiánglo qe foman. 9 Detemina la ecación de la alta sobe el lado desigal del sigiente tiánglo isósceles. P(, ) Q(, ) t s R(, ) Geometía analítica 6

15 5 Incidencia y paalelismo de ectas 5.. Posiciones elatias de dos ectas bsea estas figas y piensa en la elación ente ss posiciones elatias y los ectoes dibjados. s P P Q Q s P w P Q Q s P w Q P Q fig. I fig. II fig. III La sigiente tabla nos pesenta las posiciones elatias de dos ectas, y s, y s elación con los ectoes diectoes y los coeficientes de las ecaciones de las ectas. El símbolo ente dos ectoes qiee deci qe no son paalelos, y el símbolo, qe sí lo son. figa I Posición elatia Rectas secantes. Pntos en común Tienen n pnto en común. Vectoes (, ) (, ) figa II Rectas paalelas y distintas. No tienen ningún pnto en común. (, ) (, ) w (w, w ) figa III Rectas coincidentes Tienen infinitos pntos en común. (, ) (, ) w (w, w ) Coodenadas de los ectoes Coeficientes de la ecación implícita. B (B, ) B' ' B C B' ' C ' B C B' ' C ' Pendientes m m m m Cada ecta tiene na ecación qe eifican todos ss pntos. Enconta los pntos de cote de dos ectas es halla los pntos qe eifican a la ez las dos ecaciones. Paa ello, se esele el sistema fomado po las dos ecaciones. Dadas las ectas : x By C 0 y s: 'x B'y C' 0, paa calcla ss pntos de cote se esele n sistema fomado po ss dos ecaciones: x By C 0 ) 'x B'y C' 0 La sigiente tabla elaciona el tipo de sistema de ecaciones y la posición elatia de las ectas. Tipo de sistema de ecaciones Sistema compatible deteminado. Sistema compatible indeteminado. Sistema incompatible. Númeo de solciones Una única solción. Infinitas solciones. No hay solción. Posición elatia de las ectas Rectas secantes. Rectas paalelas y coincidentes. Rectas paalelas y distintas. Repesentación gáfica de las ectas 6 UNIDD 8

16 EJERCICIS RESUELTS 7 Estdia la posición elatia de y s y calcla el pnto de cote. : ( x t x y s: : y t (, ) y s (, ). Como, las coodenadas no son popocionales y, po tanto, y s son secantes. Calclamos las ecaciones pnto-pendiente de y s y deteminamos el pnto de cote. : y (x ) s: y (x ) ( y x & x, y & Pnto de cote: P y x 8 Estdia la posición elatia de : y x y s: x y 0. Pasamos a foma geneal: x y 0., s (, ) (, ) (,5, ) (, 0) (, ) s s & Po tanto, las ectas son paalelas y distintas. 9 Indica la posición elatia de : 6x y 0ys: x y & Po lo tanto, ectas son paalelas y coincidentes. 6 s ctiidades 50 Estdia la posición elatia de y s: : (x, y) (, 5) (, )t, s: (x, y) (, ) (, 6)t x y 5 x y b) :, s: 6 c) x t x t : s: y t y t d) : y x, s: y x e) : x y 0, s: x 6y 0 f) : x y 0, s: x 5y 0 x 7 y x 7 y g) :, s: 5 5 h) x t x t : s: y 5t y 5 5t i) : y x 5, s: y x 5 Compeba qe y s tienen la misma diección. Di, despés, si ambas ectas son coincidentes. x 5t x 7 5t : s: y t y t b) : y x, s: y x 5 c) : x y 0, s: x y 8 0 d) : x y 0, s: x y 0 5 Calcla el alo de a paa qe las ectas, y s, qe se indican en cada no de los sigientes apatados tengan la misma diección: x y : x y 0 c) : 6 s: x ay 0 x y 6 s: a b) : y x 6 d) : y 5 (x ) s: y ax 5 s: y a(x ) 5 Estdia la posición elatia de : x y 0 y la ecta qe pasa po P (0, ) y Q (, 9). 5 Encenta la ecta paalela a : x y 5 0 qe pasa po P (, ). 55 Estdia, mentalmente, si las ectas y s son secantes o paalelas: : (, ), (, 5) y s: B(, ), (, ) b) : (5, ), (, ) y s: B(, ), (, ) c) : (6, ), (7, ) y s: B(, ), (, ) d) : (, ), (5, ) y s: B(, 8), (, 5) 56 Si la pendiente de na ecta es m / y el ecto diecto de ota es (, ), cál pede se la posición elatia de ambas? si la pendiente de na es m / y el ecto diecto de la ota es (, )? Geometía analítica 65

17 Estategias paa esole poblemas Intepeta expesiones algebaicas desde el pnto de ista geomético Podemos Una foma tabaja de esole solo n con poblema ectoes es y bsca ss todos popiedades los casos geométicas posibles. paa enconta ecaciones de ectas o coodenadas de pntos. S R tos poblemas S P s Q S bisectiz s Poblema Dados tes pntos no alineados en el plano, P (, ), Q (, ) y R (, ), encenta los tes paalelogamos qe tienen dichos pntos como étices. Resolción Los paalelogamos tienen los lados paalelos dos a dos y de la misma longitd, lego los ectoes qe podemos foma con oigen y extemo en ss étices son igales dos a dos. En el paalelogamo PQRS el pnto S tiene coodenadas (a, b). QP RS (, ); RS (a, b ) (, ) a, b & S (, ) En el paalelogamo PQRS el pnto S tiene coodenadas (a, b). PR QS' (, ); QS' (a, b ) (, ) a 0, b 6 & S (0, 6) En el paalelogamo PQRS el pnto S tiene coodenadas (a, b). RQ PS'' (, ); PS'' (a, b ) (, ) a, b 0 & S (, 0) Poblema Encenta el ecto diecto de la ecta bisectiz (figa del magen) de las sigientes ectas: : x y 0ys: y. Resolción Vecto diecto de : (, ); ecto diecto de s: (, 0). Encontamos ectoes paalelos a y con módlo ( ya tiene módlo ). Sea el ecto de módlo con la misma diección qe. El ecto ' se obtiene al diidi cada coodenada de ente 5. Es deci, ' (/5, /5). Como es al magen, el ecto sma, qe es la diagonal del paalelogamo de lados ' y, diide el ánglo po la mitad poqe los lados miden lo mismo. 5, 5 0 El ecto de diección de la bisectiz es: ' 8 5, 5 Halla, sando ectoes, las coodenadas de los étices de PQR de la figa sabiendo qe es semejante al tiánglo PQ R con azón. R R (, ) P(, ) Q (, ) Q Halla n ecto de diección de la bi - sectiz de las ectas y s epesentada en ojo en la figa de la deecha. s (, ) (, ) bisectiz 66 UNIDD 8

18 Ejecicios y poblemas Vectoes en el plano. peaciones Dados los sigientes ectoes: 6 Realiza gáficamente las opeaciones indicadas en cada no de los apatados: a b c a b c e d Indica cáles de ellos epesentan el mismo ecto libe; es deci, son eqipolentes. b) Cáles son opestos? c) Cáles tienen el mismo módlo y distinta diección? d) Cáles tienen la misma diección y distinto sentido? En n pentágono egla se considean todos los ectoes qe tienen oigen en n étice calqiea y extemo en oto étice distinto. Es posible enconta dos ectoes qe sean eqipolentes? Foma, con los pntos de la figa, n ecto qe cmpla lo qe se indica en cada apatado: f a b b) c d c) d) b b c c b 7 Teniendo en centa qe el hexágono de la figa es egla, dibja y nomba los ectoes qe esltan al ealiza las sigientes opeaciones: d) y x b) w y e) w x c) z f) z x y z 8 Expesa los esltados de las opeaciones indicadas con algún ecto de la sigiente figa: y d w x B C b c D a g h d H E G F Eqipolente al ecto B. b) Repesenta el mismo ecto libe qe el ecto HC. c) Tiene el mismo módlo, la misma diección y el mismo sentido qe CB. d) Repesenta al ecto libe opesto al ecto libe epesentado po GH. e) Tiene el mismo módlo, la misma diección y sentido contaio al ED. a b c) h i e) a b c d e b) a b c d) i d f) f e 9 Indica en cada apatado cál de las dos epesentaciones gáficas es la coecta: a b c I a f b i e I w Dibja n ombo, nomba ss étices consectios con las letas, B, C y D y taza los sigientes ectoes: B BC c) CB DC b) B DC d) DB B 5 Son eqipolentes los ectoes B y B? Razona t espesta. c b) w II a c b II w Geometía analítica 67

19 Ejecicios y poblemas 0 Dibja sobe na cadícla cato ectoes cya sma sea el ecto nlo. Taza sobe na cadícla dos ectoes cya sma sea el ecto nlo. Razona si las sigientes afimaciones son edadeas o falsas: Si dos ectoes tienen la misma diección y el mismo sentido, el módlo de la sma es igal a la sma de los módlos. b) No es posible qe la sma de dos ectoes sea el ecto nlo. c) El podcto de n númeo po n ecto,, es oto ecto qe tiene la misma diección y el mismo sentido qe el ecto inicial. d) Es posible qe la difeencia de dos ectoes con distinta diección sea el ecto nlo. Coodenadas de n ecto. peaciones Dados los pntos (, ), B(5, ), C(, ) y D(, ), calcla las coodenadas de los sigientes ectoes y epeséntalos en nos ejes coodenados: B b) C c) BC d) CB e) D Detemina las coodenadas de estos ectoes: b c a Repesenta en nos ejes de coodenadas los ectoes a (, ), b (, 6), c (, 5), d (8, ), e (, ) y f (8, ) y contesta las sigientes pegntas: Cómo son las coodenadas de los qe tienen la misma diección y el mismo sentido? b) Cómo son las coodenadas de los qe tienen la misma diección y distinto sentido? 6 Dados los sigientes ectoes: a (, ), (, ),, d e b c, (, ), (0, 5). Indica cáles cmplen lo qe se indica en cada apatado: Tienen la misma diección y el mismo sentido. b) Tienen la misma diección y distinto sentido. c) Tienen distinta diección. e d f 7 Dado (, ), calcla en cada caso las coodenadas de dos ectoes qe cmplen lo qe se indica en los sigientes apatados: Tienen la misma diección y sentido qe. b) Tienen la misma diección y distinto sentido qe. c) Tienen distinta diección qe. 8 Calcla en cada no de los apatados el alo de x paa qe los sigientes paes de ectoes tengan la misma diección: a (, ) y b (6, x) b) c (, 5) y d (9, x) c) (0, ) y (x, 5) d) m (5, ) y n (x, ) 9 Detemina en cada caso el alo de x paa qe los sigientes ectoes tengan la misma diección: (, 6), (6, x) b) (, ), (x, ) c) (5, x), (6, ) d) (x, 8), (6, ) 0 Dados los pntos P(, ) y Q(, ), epesenta en nos ejes coodenados el ecto PQ y dibja cato ectoes eqipolentes a PQ cyos oígenes sean (, ), B(0, 0), C(5, ) y D(0, ). Facilitados los sigientes pntos (, 5), B(, ) y C(, 6), calcla las coodenadas del pnto P paa qe los paes de ectoes indicados en cada no de los apatados sean eqipolentes: B y CP b) BC y P c) C y BP d) C y PB Calcla lo qe se indica en cada no de los sigientes apatados: si B (7, ) y B(5, ). b) B si B (, ) y (, ). c) B si B es eqipolente al ecto CD (6, ). d) B si (, 0) y B es eqipolente a CB (, ). e) si B(, ) y B es eqipolente a CD (, ). f) B si (0, 0) y B es eqipolente a CD (, ). g) si B(, ) y B es eqipolente a UNIDD 8

20 Ejecicios y poblemas Dados los ectoes, y w, calcla las coodenadas de los ectoes esltantes de las opeaciones indicadas y compeba los esltados gáficamente: d) b) w e) w c) f) ( w ) Dados los ectoes, y w (, 6), calcla: d) g) w b) e) w h) w c) 5 f) ( ) i) 5( ) w 5 Estdia en cada caso si niendo consectiamente los pntos, B, C y D se foma n paalelogamo: (, ), B(, ), C(0, ), D(, ) b) (, ), B(, ), C(, ), D(, ) 5 6 Detemina en cada no de los sigientes apatados las coodenadas del pnto D de foma qe los pntos (, ), B(, ), C(, ) y D, deteminen los étices de n paalelogamo. El étice D es el opesto del étice B. b) El étice D es el opesto del étice C. Poblemas de geometía analítica 7 Calcla el módlo de los ectoes a, b, c y d de la sigiente figa: a 8 Calcla el módlo de las sigientes expesiones si sabemos qe (, 6), (, ) y : w, 5 c) w b) d) w w b c 5,, d 5 9 Calcla en cada caso los aloes de x paa qe el módlo del ecto sea el indicado: (, x), 5 b) (x, ), c) (0, x), 8 d) (x, 0), 0 Calcla la distancia de los pntos, B, C, D y E al pnto P(, ): Calcla en cada caso los aloes de x paa qe la distancia ente los pntos y B sea la indicada: (, 5), B(x, ), d(, B) 5 b) (8, x), B(, 5), d(, B) Demesta qe los pntos (, ), B(5, 0) y C(, 0) petenecen a na cicnfeencia de cento P(, 0) y detemina el adio de dicha cicnfeencia. Calcla en cada caso las coodenadas del pnto medio del segmento B: (, ), B(, 5) b) (, 8), B(, 5) c) (7, ), B(, 7) d) (7, ), B(, 7) 5 B C 5 D E Repesenta gáficamente el paalelogamo cyos étices consectios son (, 0), B(, ), C(, ) y D(, ). Calcla s peímeto. 5 Dado el tiánglo de étices (, ), B(, ) y C(, ), calcla: Las coodenadas de los étices del tiánglo qe se foma al ni los pntos medios de los lados del tiánglo BC. b) La longitd de los lados de los dos tiánglos. 6 Compeba qe las diagonales del paalelogamo cyos étices consectios son (, ), B(, ), C(0, ) y D(, 0) se cotan en ss pntos medios. 7 Si (, ), B(, ) y C(5, ) son tes étices consectios de n paalelogamo, calcla las coodenadas del cato étice. Geometía analítica 69

21 Ejecicios y poblemas 8 Escibe las coodenadas de los pntos qe diiden estos segmentos en otos dos igales: 9 Compeba en cada caso si el tiánglo BC es ectánglo. Calcla s peímeto y s áea. (, ), B(, ), C(5, ) b) (0, ), B(, 6), C(7, 5) 0 Halla las coodenadas de M si el pnto simético de (5, ) especto de M es B(, ). Dados los pntos (, ) y B(, ), halla las coodenadas del pnto simético: De especto de B. b) De B especto de Detemina en cada caso si el tiánglo BC es eqiláteo, isósceles o escaleno: (, ), B(, ), C(5, 5) b) (, ), B(6, 8), C(, ) 5 c) (, 0), B(, 0), C(0, 7) Consideemos el cadiláteo cyos étices consectios son (, ), B(, 9), C(, ) y D(, ): Qé clase de cadiláteo es? III IV b) Calcla las longitdes de ss lados y de ss diagonales. c) Halla las coodenadas del pnto de intesección de dichas diagonales. Calcla las longitdes de los segmentos inteioes de las medianas del tiánglo de étices (, ), B(, ) y C(, ). 5 Estdia en cada caso si los pntos P, Q y R están alineados: P (, ), Q (5, ), R (, ) b) P (, 0), Q (, ), R (, ) 6 Estdia si estos pntos foman n tiánglo: P (, ), Q (, 0), R (, ) 7 Encenta n pnto qe esté alineado con los pntos P (, ) y Q (, ). I II Ecaciones de la ecta 8 Escibe de todas las fomas posibles la ecación de la ecta qe tiene la deteminación lineal qe se indica en cada apatado: (, ), (,) c) (0, ), (5, ) b) (, ), (6, ) d) (0, 0), (, ) 9 Expesa cada na de las sigientes ecaciones de todas las fomas posibles: x t y t b) y 5x x y c) 5 d) y 5 (x ) 50 Detemina n pnto, n ecto y la pendiente de cada na de las ectas: y 5x d) (x, y) (, 0) (0, )t b) x y 5 0 e) y (x ) 5 c) x t f) y t x y 5 Encenta tes pntos, n ecto y la pendiente de las sigientes ectas y despés escibe ss ecaciones: El eje de abscisas. b) El eje de odenadas. c) La bisectiz del pime cadante. d) La bisectiz del segndo cadante. 5 Estdia cáles de las sigientes ectas tienen la misma pendiente: x y 0 d) x y 5 0 b) x y 0 e) 6x y 0 6 c) y x 5 f) y x 5 Halla la ecación pnto-pendiente de la ecta qe pasa po (, ) y foma con el semieje positio de abscisas el ánglo qe se indica en cada caso: 50 b) 5 c) 0 d) 5 5 Los pntos (, ), B(, ) y C(, ) son los étices de n tiánglo. Calcla las ecaciones paaméticas de las ectas qe contienen a ss lados. 55 Halla la ecación pnto-pendiente de la ecta qe pasa po el pnto (5, ) y tiene la misma diección qe la x y ecta. 70 UNIDD 8

22 Ejecicios y poblemas 56 Escibe la ecación contina de la ecta qe pasa po el oigen y tiene la misma pendiente qe la ecta 5x y Calcla la ecación explícita de la ecta qe pasa po (, ) y tiene la misma diección qe la bisectiz del pime cadante. 58 Estdia si las sigientes ectas se peden expesa en foma contina: x y 0 b) x 0 c) x 5 t y 59 Indica si el pnto petenece a la ecta : (, ), : x 7y 0 x y b) (, ), : 5 c) (7, ), : x 5t, y t d) (5, 0), : y 6x 0 60 Encenta tes pntos de cada na de las sigientes ectas: x 5 y c) x t y t b) x y 0 d) y 5x 6 Dada la ecta x 5t, y t, detemina los pntos qe se obtienen paa el alo del paámeto indicado en cada caso: t 0 c) t 5 b) t d) t 6 Detemina a cáles de las sigientes ectas petenece el pnto (0, 0): 5x y 0 c) x y 0 b) x 7y 0 d) 6x 5y 0 6 Halla en cada caso la ecación de la ecta qe pasa po y B y estdia si el pnto C petenece a dicha ecta: (, 5), B(, 0), C(, ) b) (0, ), B(, ), C(, ) 6 Calcla el alo de k paa qe se eifiqe lo qe se indica en cada caso: (, k) petenece a la ecta qe pasa po los pntos B(, ) y C(, ). x y b) (k, ) petenece a la ecta. 8 c) (k, ) está alineado con B(, ) y C(, ). d) (9, k) petenece a la ecta x 5y Escibe la odenada en el oigen de estas ectas: y x c) y 5x b) y x 5 d) y x 66 Detemina la ecación explícita de la ecta cya pendiente es m y cya odenada en el oigen es b: m 5, b c) m 0, b 7 b) m, b 0 d) m, b 67 Detemina cáles de las sigientes ectas son paalelas a los ejes de coodenadas. Se peden expesa en foma contina? (x, y) (, ) (, 0)t d) x 0 b) x e) x 5 t y t y 7 c) y f) (x, y) (, ) (0, )t 68 Encenta la ecación de la ecta qe pasa po los pntos P (, ) y Q (, 6). 69 Halla las ecaciones de estas ectas: s 70 Halla la ecación de la ecta paalela a la bisectiz del segndo y cato cadante qe pasa po el pnto P (, 0). 7 Halla las ecaciones de estas ectas: t t 7 Detemina la ecación de la ecta paalela a la bisectiz del pime y tece cadante qe pasa po el pnto P (, ). s Geometía analítica 7

23 Ejecicios y poblemas Incidencia y paalelismo de ectas 7 Dada la ecta : x y, encenta n pnto de. Estdia si P (, ) petenece a. 7 Estdia la posición elatia de los sigientes paes de ectas y compeba el esltado gáficamente. Calcla el pnto de intesección de las qe sean secantes. : 5x y 0 s: x y 0 b) : y x s: c) : x (y ) d) x t : y 5 t x t s: y t s: x y 0 75 Estdia la posición elatia de la ecta : x y 0 y la ecta qe pasa po los pntos P (, ) y Q (,5). 76 Encenta la ecta paalela a : x y 0 qe pasa po P (, ). 77 Detemina la posición elatia de dos ectas, y s, qe tienen: Dos pntos en común. b) Un pnto en común y distinta pendiente. c) La misma pendiente y distinta odenada en el oigen. 78 Dada la ecta : x y 7 0, escibe las ecaciones de dos ectas paalelas a ella. 79 Halla la ecación de la ecta de la figa. Calcla la ecación pnto-pendiente de na ecta paalela a qe pase po P (, ). P x y 6 80 Si los pntos (, ), B(, ) y C(, ) son tes étices de n paalelogamo, halla: Las coodenadas del étice D, opesto al. b) Las ecaciones de las dos ectas qe pasan po los pntos medios de los lados paalelos. c) El pnto de intesección de las dos ectas del apatado anteio. 8 Detemina el alo del paámeto a paa qe las sigientes ectas: x y : s: xay 0 Sean paalelas. b) Sean secantes. 8 Calcla en cada caso el alo de a paa qe las ectas y s tengan la misma diección. Estdia lego si paa el alo de a hallado, las ectas son coincidentes. : xay 0 s: x y 5 0 b) : x t y 5 t s: 8 Estdia la posición elatia de cada na de las sigientes ectas con los ejes de coodenadas, y en caso de se secantes con ellos, detemina los pntos de cote con dichos ejes: x y 0 c) y 6x b) x 5t y t d) x y 6 a x y 8 Dada la ecta y 5x 0 0, calcla la longitd de los segmentos qe detemina sobe cada eje de coodenadas, es deci, la longitd de los segmentos deteminados po cada pnto de cote y el oigen. 85 Calcla la ecación de la ecta qe pasa po el oigen de coodenadas y po el pnto de intesección de las ectas : x y 0 y s: y x. 86 Estdia si las sigientes ectas se cotan fomando n tiánglo. En caso de se así, calcla ss étices. : x y 6 0 s: y x 0 p: 5y x Los pntos (, ), B(5, ) y C(0, ) son los étices de n tiánglo. Calcla: La ecación geneal de la ecta qe contiene a cada no de ss lados. b) La ecación de cada na de ss medianas. c) Las coodenadas del baicento del tiánglo. 88 Estdia si los pntos, B y C foman n tiánglo y, en caso afimatio, calcla las coodenadas del baicento: (0, ), B(, ) y C(, ) b) (0, ), B(, ) y C(, ) 89 Compeba qe (, ), B(, ), C(5, ) y D(, 0) son los étices de n paalelogamo. Halla: La ecación de la ecta qe contiene a cada no de ss lados. Cál debe se s posición elatia? Compébalo. b) La ecación de cada na de las diagonales. c) El pnto en el qe se cotan dichas diagonales. 7 UNIDD 8

24 Ealación Ejecicios y poblemas Conoces los ectoes En la sigiente figa, bsca ectoes qe cmplan lo qe se indica en cada apatado: C B E J F D Dos ectoes qe tengan el mismo módlo, la misma diección y distinto sentido. b) Dos paes de ectoes eqipolentes. c) Dos ectoes con la misma diección, el mismo sentido y distinto módlo. btienes coodenadas de ectoes y sabes opea con ellos Dados los pntos P(, ), Q(, 0) y R(, 5), halla las coodenadas de los sigientes ectoes y epeséntalos en nos ejes coodenados: P c) QR b) PR d) PQ Dado el pnto P(, 5), calcla las coodenadas del pnto Q paa qe el ecto PQ sea el qe se indica en cada caso: PQ (, ) c) PQ (, 9) b) PQ (0, ) d) PQ (7, 0) Dados los ectoes (, ), (, ) y w (, 6), calcla las coodenadas de los ectoes qe esltan de ealiza las sigientes opeaciones: w b) w c) w d) w Reseles poblemas de geometía analítica 5 Detemina el módlo de cada no de los sigientes ectoes: (, 0) b) (, ) c) w (5, 0) d) s (, ) G H L K I M P N 6 Calcla en cada caso la distancia ente P y Q y el pnto medio del segmento PQ: P(, ), Q(, 0) b) P(, ), Q(5, 8) c) P(, ), Q(, 6) d) P(6, 9), Q(, ) Reconoces y expesas las distintas fomas de la ecación de na ecta 7 Escibe todas las fomas posibles de la ecación de la ecta qe pasa po el pnto (6, ) y cyo ecto diecto es (, 5). 8 Calcla n pnto, el ecto diecto y la pendiente de cada na de las sigientes ectas y expesa, despés, ss ecaciones de todas las fomas posibles: (x, y) (, ) (, )t b) x t y 5 6t c) x 6y 0 d) y x x e) 7 y f) y 8 x 9 Halla la ecación geneal de la ecta qe cmple lo qe se indica en cada caso: Pasa po (9, ) y B(6, 0). b) Pasa po (0, ) y s pendiente es m 5. c) Pasa po (, ) y foma n ánglo de 0º con el semieje positio de abscisas. d) Pasa po (5, ) y es paalela a la ecta qe pasa po B(, 9) y C(, ). e) Pasa po (6, ) y tiene la misma pendiente qe la ecta x y 6 0. f) Pasa po (, ) y es paalela a la bisectiz del tece cadante. Estdias la posición elatia de dos ectas 0 Estdia la posición elatia de estos paes de ectas: x t : s: x t y 5t y b) : x 8y 5 0, s: x y 0 0 c) : y x, s: y 6x x 5 y d) :, s: y 9 6 x Geometía analítica 7