Resumen de Geometría. Matemáticas II GEOMETRÍA. w y los números a, b, c,, g, la expresión

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1 Resmen e Geometía Matemáticas II GEOMETRÍA - BASE EN lr Daos los ectoes x,, z,, w los númeos a, b, c,, g, la expesión a x+ b + c z + + gw se llama combinación lineal e esos ectoes Dos ectoes son linealmente epenientes si algno e ellos se pee expesa como combinación lineal e los emás En caso contaio se llaman linealmente inepenientes o Dos ectoes alineaos (popocionales) son LD o Dos ectoes no alineaos son LI o Tes ectoes coplanaios son LD o Tes ectoes no coplanaios son LI Tes ectoes no coplanaios, x,, z, foman na base ß (x,, z) poqe calqie oto ecto se pee expesa como combinación lineal e ellos Si los ectoes x,, z son pepeniclaes ente sí, la base ß (x,, z) otogonal Si aemás tienen mólo, se ice qe la base es otonomal se llama Daa na base ß (x,, z), calqie ecto se pee expesa e foma única como combinación lineal e ss elementos: se llaman cooenaas el ecto especto a la base ß a x+ b + c z Se escibe (a,b,c) - PRODUCTOS DE VECTORES Pocto escala: cos(, ) también + + Se aplica paa: o Calcla el mólo e n ecto: + + o Calcla el ánglo ente os ectoes: α ac cos o Calcla la poección e sobe : P( sobe ) o Como citeio e pepeniclaia: 0 Pocto ectoial: El esltao es n ecto pepenicla a ambos: i j k a b x z (z z, xz + xz, x x) x z Aemás, s mólo es a b a b sen θ coincie con el áea el paalelogamo eteminao po los ectoes a b Depatamento e Matemáticas IES Atenea San Sebastián e los Rees

2 Resmen e Geometía Matemáticas II Pocto mixto: Se llama pocto mixto e tes ectoes al númeo qe eslta e hace ( w) : ( w) [,,w] w w w S alo absolto coincie con el olmen el paalelepípeo efinio po, w - APLICACIONES DE VECTORES A PROBLEMAS GEOMÉTRICOS Cooenaas e n ecto qe ne os pntos- Si A(x,,z) B(x,,z) son os pntos, el ecto qe ne A con B es AB (x x,,z z) Pntos alineaos- Tes pntos A(x,,z), B(x,,z) C(x,,z) están alineaos si AB BC son paalelos (popocionales), es eci: x x z z x x z z Pnto meio e n segmento- El pnto meio, PM, el segmento AB es: x + x + z + z PM,, AB Pnto simético- Si A (x,,z) es el pnto simético e A(x,,z) especto al pnto B(x,,z), entonces B es el pnto meio el segmento AA, es eci: x + x + x; z + z ; z 4- ECUACIONES DE LA RECTA Una ecta qea eteminaa po n pnto P(p, p,p ) e la ecta n ecto (,, ) paalelo a icha ecta (ecto iecto) Ecación ectoial e la ecta: Ecaciones paaméticas e la ecta: Ecación contina e la ecta: (x,,z) (p,p,p ) + λ (,, ) x p p z p λ λ λ x p p z p Depatamento e Matemáticas IES Atenea San Sebastián e los Rees

3 Resmen e Geometía Matemáticas II También se pee expesa na ecta como intesección e os planos: Ecación implícita e la ecta: ax + b + cz + 0 a x + b + c z + 0 En este caso, poemos consegi pntos e la ecta esolieno el sistema s ecto iecto se consige hacieno el pocto ectoial (a,b,c) (a,b,c ) 5- POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS Dos ectas en el espacio peen se coincientes, paalelas, peen cotase en n pnto o peen czase Paa estia posiciones elatias ente os ectas, s, tilizaemos angos Consieamos las matices: M P(p, p, p ) one conocemos (,, ) Entonces: M q q q p p p Q(q, q, q ) (,, ) s o Si an (M) an (M ) s coincien o Si an (M) an(m ) s son paalelas o Si an (M) an (M ) s se cotan o Si an (M) an (M ) s se czan 6- ECUACIONES DEL PLANO Un plano qea eteminao po n pnto P(p, p,p ) el plano os ectoes paalelos al mismo linealmente inepenientes ente sí (no popocionales): (,, ) (,, ), llamaos ectoes posicionales Ecación ectoial el plano: x,,z) (p,p, p ) + λ (,, ) + µ (,, ) Ecaciones paaméticas el plano: ( x p + p + z p + Ecación implícita el plano: λ + λ + λ + ax + b + cz + 0 En este caso, el ecto n (a,b,c) es n ecto nomal (pepenicla al plano ) µ µ µ Depatamento e Matemáticas IES Atenea San Sebastián e los Rees

4 Resmen e Geometía Matemáticas II Aemás o Si conocemos n pnto el plano, P, os ectoes posicionales,, es fácil consegi la ecación implícita e la sigiente manea: x p p 0 z p o Si conocemos n pnto el plano P s ecto nomal n (a,b,c), la ecación implícita es (x p ) + b ( p ) + c (z p ) 0 a En este caso, también se pee impone qe el pnto P є, ebe cmpli s ecación, es eci, sstiti las cooenaas el pnto en la ecación el plano calcla 7- POSICIONES RELATIVAS ENTRE PLANOS Dos planos en el espacio peen se coincientes, paalelos o cotase en na ecta Paa istingi caa caso consieamos los planos ax + b + cz + 0 a x + b + c + 0 las matices Entonces M a b c a b c M o Si an (M) an (M ) son coincientes o Si an (M) an(m ) son paalelos o Si an (M) an (M ) se cotan en na ecta Tes planos en el espacio peen se coincientes (SCI), paalelos (SI), os paalelos cotaos po n tece plano (SI), las tes caas e n pima e base tiangla (SI), peen cotase en na ecta (SCI) o peen cotase en n pnto (SCD) Fomano n sistema e ecaciones aplicano el T ma e Rochè poemos istingi caa no e los casos 8- POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTA Y PLANO En el espacio, na ecta pee esta contenia en n plano, pee se paalela a ese plano o lo pee cota en n pnto La ecta está contenia en el plano - En este caso se eben cmpli os coniciones: El ecto iecto e la ecta el ecto nomal el plano son pepeniclaes: n n 0 Un pnto calqiea, P, e la ecta también petenece al plano Depatamento e Matemáticas IES Atenea San Sebastián e los Rees 4

5 Resmen e Geometía Matemáticas II La ecta es paalela a plano - En este oto caso se ebe cmpli: El ecto iecto e la ecta el ecto nomal el plano son pepeniclaes: n n 0 Un pnto calqiea, P, e la ecta no petenece al plano La ecta cota al plano en n pnto P- En este caso el ecto iecto e la ecta el ecto nomal al plano foman n ánglo istinto e 90º Poemos calcla el pnto e cote establecieno n sistema e ecaciones ente las ecaciones e la ecta las el plano 9- DISTANCIA ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS Distancia ente os pntos P Q- Coincie con el mólo el ecto qe los ne: ist(p, Q) x ) + ( ) + (z z) PQ (x Distancia e n pnto P na ecta - Si Q es n pnto e la ecta, la istancia ente P coincie con la alta el paalelogamo eteminao po los ectoes QP, es eci, con el esltao e iii el áea el paalelogamo ente la longit e s base: ist(p,) QP Distancia e n pnto P a n plano - Si P(x0, 0,z0 ) la ecación implícita el plano es ax + b + cz + 0, entonces: a x0 + b 0 + c z0 + ist(p, ) a + b + c Distancia ente os ectas s- Distingiemos os casos: o Si las ectas son paalelas, tomamos n pnto P e la ecta se cmpliá: o ist (, s) ist(p, s) Si las ectas se czan, la istancia ente ellas coincie con la alta el paalelepípeo eteminao po los ectoes, PQ, es eci, con el esltao e iii el olmen el paalelepípeo ente el áea e s base: ist(, s),s,pq Distancia e na ecta a n plano - Si la ecta cota al plano, la istancia ente ellos es ceo Si la ecta es paalela al plano (o está contenia en él) ist(, ) ist(p, ) Distancia ente os planos - Si los planos se cotan, la istancia ente ellos es ceo Si no se cotan es poqe son paalelos o coincien En este caso: ist(, ) ist(p, ) o ist(, ) ist(p, ) s s Depatamento e Matemáticas IES Atenea San Sebastián e los Rees 5

6 Resmen e Geometía Matemáticas II 0- ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS Ánglo ente os ectas- El meno ánglo qe foman os ectas es el mismo qe el qe foman ss ectoes iectoes: s α ac cos s Ánglo ente os planos- El ánglo qe foman os planos es el mismo qe el qe foman ss ectoes nomales: n n α ac cos n n Ánglo ente na ecta n plano- El ánglo qe foman na ecta n plano es complementaio el qe foman el ecto iecto e la ecta el ecto nomal el plano: cos (90º α) n n ó α ac sen n n - ÁREAS Y VOLÚMENES Áea e n paalelogamo Áea e n tiánglo- El áea e n paalelogamo eteminao po los ectoes AB AC es el mólo e s pocto ectoial: ÁREA DEL PARALELOGRAMO AB AC Po lo tanto, el áea el tiánglo e étices A, B C seá la mita el áea el paalelogamo, es eci: ÁREA DEL TRIÁNGULO Volmen el paalelepípeo Volmen el tetaeo- El olmen el paalelepípeo eteminao po tes ectoes mixto e estos tes ectoes: VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO AB AC AB, AC AD es el alo absolto el pocto AB,AC,AD Po lo tanto, el olmen el tetaeo e étices A, B, C D es VOLUMEN DEL TETRAEDRO Ota esión e esta fómla sencilla e ecoa es: x VOLUMEN DEL TETRAEDRO AB,AC,AD 6 one x i, i, z i son las cooenaas e A, B, C D, espectiamente 6 x x x 4 4 z z z z 4 Depatamento e Matemáticas IES Atenea San Sebastián e los Rees 6

7 Resmen e Geometía Matemáticas II - LUGARES GEOMÉTRICOS LA ESFERA Plano meiao- El lga geomético e los pntos X (x,,z) qe eqiistan e los extemos e n segmento AB se llama plano meiao S ecación se calcla imponieno la conición qe lo efine: ist (X,A) ist(x,b) Planos bisectoes- El lga geomético e los pntos X (x,,z) qe eqiistan e os planos son otos os planos σ σ llamaos planos bisectoes, qe son pepeniclaes ente sí Ss ecaciones se calclan imponieno la conición: ist(x, ) ist(x, ) La esfea- Una esfea e cento C(x0, 0,z0 ) aio es el lga geomético e los pntos X (x,,z) qe cmplen ist (X,C) ist(c, X) CX Al impone esta conición consegimos la ecación e la esfea: Desaollano la expesión se obtiene: 0 ) + ( 0 ) + (z z0 ) e (x x e x + + z + Ax + B + Cz + D 0 Si la ecación tiene este aspecto s cento s aio son: A B C A B C C,, + + D INFORMACIÓN DE LA UNIVERSIDAD: Pincipales contenios qe se tenán en centa en la elaboación e las Pebas e Acceso a la Uniesia paa los estiantes poenientes el Bachilleato LOE Matemáticas II Cso De aceo con el Deceto 67008, e 9 e jnio, po el qe se establece el cíclo el Bachilleato paa la Comnia e Mai, pblicao en el BOCM con fecha 7 e jnio e 008, paa elaboa las Pebas e Acceso a la Uniesia se tenán en centa los sigientes contenios: GEOMETRÍA Vectoes Opeaciones con ectoes Depenencia e inepenencia lineal Bases Cooenaas Pocto escala: efinición, popieaes e intepetación geomética Vectoes nitaios, otogonales otonomales Mólo Ánglo ente os ectoes Poección e n ecto sobe oto Pocto ectoial: efinición, popieaes e intepetación geomética 4 Pocto mixto e tes ectoes: efinición, popieaes e intepetación geomética 5 Ecaciones e ectas en el espacio Ecaciones e planos Posición elatia e pntos, ectas planos en el espacio Distancia ente pntos, ectas planos Haces e planos Pepenicla común a os ectas Ánglos ente ectas planos Depatamento e Matemáticas IES Atenea San Sebastián e los Rees 7

8 Resmen e Geometía Matemáticas II 6 Áeas e paalelogamos tiánglos Volúmenes e pismas tetaeos 7 Ecación e la speficie esféica Resolción e poblemas Depatamento e Matemáticas IES Atenea San Sebastián e los Rees 8