Matemáticas 4º ESO Fernando Barroso Lorenzo GEOMETRÍA ANALÍTICA. r r

Transcripción

1 Fenando Baoso Loenzo GEOMETRÍA ANALÍTICA 1. Dados los vectoes cuyas coodenadas son u = ( 10, 2) y v = (13, 2), calcula el módulo u 43 u del vecto esultante de la siguiente combinación lineal w = u + v. Sol w = Dados dos vectoes u y v que veifican u = 3, v = 4 y cos ( u, v) =, calcula el 24 módulo siguiente: u + 3v Sol: u + 3 v = Responde a las siguientes cuestiones teóicas: a. Qué ángulo foman los vectoes u y v si se cumple que u v = u v? b. Demuesta que si el vecto u es pependicula a los vectoes v y w, también es pependicula a cualquie combinación lineal de ellos. c. Sabiendo que u =3 y v = 5, halla los posibles valoes del paámeto a paa que los vectoes u + av y u av sean pependiculaes. d. Dados los vectoes a, b y c tales que a = 3, b = 1, c = 4 y a + b + c = 0, calcula la siguiente suma a. b + b. c + a. c e. Sean u y v vectoes otogonales y de módulo 1. Halla los posibles valoes del paámeto a paa que los vectoes u +a v y u a v fomen un ángulo de 60º. 4. Sean los vectoes a = ( 1, 3) y b = (2,1). Halla: a. a + 3b b. 2a + b c. Dada la base B = { a, b} y el vecto u = (3, 6), halla u B. d. Las coodenadas de v sabiendo que v = (2, 1) e. Las coodenadas del vecto 4i especto de la base B f. Un vecto paalelo y un vecto pependicula a a g. Poducto escala a b h. Ángulo que foman a y b i. Un vecto paalelo a a que sea unitaio. j. Un vecto pependicula a b que tenga módulo 2. k. Halla las coodenadas de un punto A y oto B de foma que AB = a B 5. Escibe las ecuaciones geneales de los ejes coodenados. Cuál es la ecuación paamética de cada uno?.sol: y=0, x=0; {x=λ,y=0}; {x=0,y=λ} 6. Escibe la ecuación explícita de la bisectiz del pime y tece cuadante. Escibe también la de la bisectiz del segundo y el cuato cuadante. Sol: y= x; y= -x. 7. Petenece el punto P(3,3) a la ecta que pasa po los puntos A(1,-1) y B(2,1)? Sol: Sí - 1 -

2 Fenando Baoso Loenzo 8. Las coodenadas del punto medio del segmento AB son (2,1). Calcula A sabiendo que B tiene coodenadas (1,2). Sol: (3,0) 9. Busca un punto P situado en el segmento AB, A=(1,2) y B=(4,-1) que lo divida en dos pates una doble de la ota. Sol: P=(2,1); P'=(3,0) uuu uuu 10. Sabiendo que A(2,4) y C(6,0). Halla las coodenadas del punto B de modo que CA = 1 CB. 4 Sol: (3,3) 11. Los puntos B(1,4) y C(8,3) son vétices de un tiángulo ectángulo. Si BC es la hipotenusa, halla el vétice A, sabiendo que está en la ecta y=x-1. Sol: (2,1), (7,6) 12. El cento de un cuadado es el punto P(2,2) y un vétice A(2,1). Halla las coodenadas de los otos vétices y el áea del cuadado. Sol: C(3,2) B(1,2) D(2,3); áea=2 u Dada la ecta que pasa po los puntos A(2,3) y B(-1,-2). a. Halla un vecto dieccional. b. Halla la pendiente y la odenada en el oigen c. Halla un vecto pependicula a dicha ecta de módulo 1. d. Halla los puntos de cote con los ejes de dicha ecta. e. El punto C=(3,-2) petenece a dicha ecta? f. Halla el punto medio del segmento AB 14. Halla las ecuaciones de la ecta en cada uno de los siguientes casos: a. Pasa po A(5,3) y lleva la diección u = i 2 j. b. Pasa po el punto A(3,1) y lleva la diección = (4,2) c. Pasa po los puntos A(5,0) y B(0,3). d. Pependicula al segmento de extemos A(5,6) y B(1,8) en su punto medio. e. Paalela a 3 x + 4y 5 = 0 que pase po el punto (0,0). f. Pasa po el punto A(1,-2) y dista 2 unidades del punto B(3,1). g. Es pependicula al vecto w (2,1) y que cota a y=x-2 en el punto de odenada 3 h. La mediatiz del segmento de extemos los puntos A(1,3) y B(5,-1) i. Pependicula a la ecta del apatado anteio que pasa po (1,0). j. Pasa po el punto de cote de las ectas 2 x + 3y 4 = 0 y s x y = 0 y po A(2,1). k. Pasa po el punto de intesección de las ectas y=x+2 y 3x+y=2 fomando un ángulo de 45º con la segunda de ellas. Sol: t 1 y=2x+2; t 2 x+2y-4=0 l. Pasa po el punto A(5,2) y foma un ángulo de 30º con el eje de abscisas. m. Pasa po el punto P(2,-3), foma un ángulo de 45º con la ecta 3 x 4y + 7 = 0. n. Pasa po P(0,4) y la tangente del ángulo que foma con el eje de abscisas es 2. o. Pasa po el punto de intesección de 2 x + 3y 5 = 0 y x + y = 0 y el punto de intesección de las ectas s x + 5 y 3 = 0 y s x + y 3 = 0. p. Equidista de los puntos A(5, -2) y B(-1, 5). 15. Indica cuáles de las siguientes ectas son paalelas coincidentes, no coincidentes, secantes o pependiculaes: 1 2x + 3y 4 = 0, 2 x 2y + 1 = 0, 3 3x 2y 9 = 0, 4 4x + 6y 8 = 0, 5 2x 4y 6 = 0 y 6 2x + 3y + 9 = 0 u - 2 -

3 Fenando Baoso Loenzo 16. Pueba que las ectas y=ax+5 y s y=(a-1)x-2 no pueden se ni paalelas ni pependiculaes. 17. Halla el ángulo que foman las ectas 2 x + 3y 5 = 0 y x y + 7 = Dadas las ectas : 3x+y=3 y s: -2x+ay=8. Detemina "a" paa que foman un ángulo de 45º. Sol: a=1 x = 2 λ x = 1+ 2λ 19. Halla el valo de k paa que las ectas y fomen un ángulo y = 2λ y = 2 + kλ de 45º. Sol: k= Detemina si los puntos A(3,1), B(5,2) y C(1,0) están alineados. Caso de que fomen un tiángulo halla su áea. 21. Demuesta que todas las ectas cuyas ecuaciones se ajustan a la foma y = ax-a, pasan po un punto. Cuáles son las coodenadas de ese punto?. Sol: P(1,0) 22. Calcula el valo de a y b paa que las ectas ax-3y+5=0 y s bx+2y-1=0 sean pependiculaes y además la segunda pase po el punto P (-1,2). Sol: b=3; a=2 23. Calcula a y c sabiendo que la ecta 3x + 2y 8 = 0 es pependicula a la ecta s ax+ 2y+c=0, y que esta última pasa po el punto P(3,5). 24. Halla las coodenadas de un punto C que petenece a la ecta 2x+y+2=0 sabiendo que los puntos A(3,0), B(1,3) y C foman un ángulo ecto desde A. Sol: C(0,-2) 25. Dadas las ectas: deteminada po el punto A(2,1) y el vecto u = (a,4) y s deteminada v po el punto B(-1,4) y el vecto = (5,3). Detemina a paa que y s sean paalelas. Paa qué valoes de a las ectas y s son secantes? Pueden se coincidentes? Sol: a =20/3 26. La ecta s 5x + 3y + 7 = 0 cota a los ejes en dos puntos. Halla la longitud del segmento que deteminan. 27. Busca un punto P de la ecta -3x+4y+1=0, de foma que la ecta OP (ecta que pasa po el oigen O y el punto P) pase po el punto medio del segmento AB, siendo A=(2,1) y B=(1,1). Sol: (3,2) 28. Halla un punto de la ecta x+y-2=0 equidistante de A(1,3) y B(1,1). Sol: (0,2) 29. Halla las coodenadas de un punto de la ecta x-y-1=0 que diste 1 unidad de la ecta s 3x-4y+2=0. Sol: (1,0) 30. Halla las coodenadas de un punto P equidistante de A (4,4), B (5,3) y C (-1,3). Sol: P(2,1) 31. Un punto P que es equidistante de A=(1,1) y de B=(-2,3), dista el tiple del eje de abscisas que del eje de odenadas. Cuáles son sus coodenadas? Sol: (11/6,11/2) 32. La ecta t 4x 3y = 12 es mediatiz del segmento AB. Sabiendo que las coodenadas de A son (1,0), halla las de B

4 Fenando Baoso Loenzo 33. Los puntos B(-1,3) y C(3,-3) son los vétices de un tiángulo isósceles que tiene el tece vétice A en la ecta x + 2y 15 = 0, siendo AB y AC los lados iguales. Calcula las coodenadas de A y las tes altuas del tiángulo. Sol: A(7,4) 34. Halla las ecuaciones de las medianas del tiángulo de vétices A(3,1), B(0,2) y C(1,-2). Sol: 2 x 5y 1 = 0; s 5x + 4y - 8 = 0; t 7x - y - 9 = Dado el tiángulo de vétices A(0,1), B(2,3) y C(3,0) calcula el baicento, el cicuncento y el otocento. Sol: G(5/3,4/3), C(7/4,5/4) y O(3/2, 3/2) 36. El baicento del tiángulo ABC es el punto G(2,1). El punto medio del segmento AB es M(3,0) y el punto medio del segmento BC es N(1,5). Calcula los vétices del tiángulo ABC. 37. Dado el tiángulo de vétices A(2,5), B(3,1) y C(2,-1). a. Calcula su áea. b. Calcula las coodenadas del baicento G del tiángulo ABC. c. Calcula las coodenadas de los puntos medios M, N y P de los lados del tiángulo ABC. d. Calcula el baicento G del tiángulo MNP. e. Compaa G con G. 38. Los puntos A(0,0) y C(1,7) son vétices opuestos de un ectángulo. Un lado está situado sobe la ecta x-3y=0. Halla las coodenadas de los vétices B y D y las ecuaciones de los lados. Sol: B(-2,6); D(3,1). AB:3x+y=0; BC:x-3y+20=0; AD: x-3y=0; CD: 3x+y= La distancia del punto A(10,6) a oto B del eje de abscisas es 10. Halla las coodenadas del punto B. 40. Detemina el áea del cículo cicunscito al tiángulo que con los ejes detemina la ecta 4x + 3y - 24 = Halla la tangente del ángulo que foman las ectas x + 2y + 1 = 0 y 3x + y + 5 = Dadas las ectas mx+(2m-1)y+3=0 y s (4m-7)x -(m+2)y -8=0, halla el valo de m paa que:: a. sea paalela a la bisectiz del pime cuadante. b. s sea paalela a la bisectiz del segundo cuadante. c. y s sean paalelas. Pueden se coincidentes? 43. Dadas las ectas: 3x + by 8 = 0 y s ax 3y + 12 = 0 : a. Detemina a y b paa que se coten en el punto P(2,-3). Sol: a=-21/2; b=-2/3 b. Detemina paa qué valo de a, la ecta s, detemina con los ejes un tiángulo de 36 unidades de supeficie. 44. Detemina el valo de a paa que las ectas ax ( a ) y ( a ) 3ax ( 3a + 1) y ( 5a + 4) = 0 sean: a. Paalelas. b. Pependiculaes = 0 y - 4 -

5 Fenando Baoso Loenzo 45. Halla la distancia ente las ectas y en cada uno de los siguientes casos: a. 2 x + 3y 5 = 0 y 2x + 3y + 7 = 0. b. x = 2 3t y = 1+ t y x + 3 y + 5 = Dados los puntos A(4,-2) y B(10,0), halla el punto de la bisectiz de los cuadantes 2º y 4º que equidista de los dos. 47. Halla la ecuación de una ecta que pasa po el punto A(4,5) y foma con los semiejes positivos un tiángulo de 40 unidades de supeficie. Te aconsejo que uses la ecuación segmentaia. 48. Halla las ecuaciones de las ectas que son incidentes con el punto A(2,3) y distan 2 unidades del oigen de coodenadas. Sol: 5x-12y+26=0 49. Dados el punto P(-1,2) y la ecta 3x - 5y - 21 = 0, calcula: a. El pie de la pependicula tazada desde el punto a la ecta. b. La distancia desde dicho pie al punto en el que esta ecta cota al eje OX. c. El punto Q simético de P especto de la ecta. 50. Encuenta un punto C de la ecta de ecuación s 2x y + 5 = 0 que equidiste de A(3,5) y B(2,1). 51. Calcula el pie de la pependicula tazada po el punto P(-1,2) a la ecta t 3x 5y 21 = 0, y la distancia de dicho pie al punto en que esa ecta cota al eje OX. 52. Calcula en cada uno de los siguientes apatados: a. Las coodenadas del punto P', simético del P(2,1), especto del M(2,0). b. Las coodenadas del punto A', simético de A(-2,1), especto de la ecta 2x+y-2=0. c. La ecuación de la ecta ', simética de x+2y-3=0, especto de la s x+y=4. Sol: a) (2,-1); b) (0,2); c) 4x+3y= Dados los puntos A(3,6) y B(1,0) y la ecta x-y+1=0, halla: a. El simético de A especto a B. b. El simético de B especto a. c. La ecuación de la ecta s, simética a la AB especto de. Sol: a. (-1,-6); b. (-1,2); c. x-3y+7= Pila tenía escito en su cuadeno los vétices de un paalelogamo, peo le ha caído un boón de tinta y se le ha tapado uno de los vétices. a. Calcula las coodenadas del vétice C, sabiendo que A(2,2), B(12,8) y D(6,1) b. Halla las ecuaciones de sus diagonales. c. Halla el punto de cote de las diagonales. d. Compueba que las diagonales de un paalelogamo se cotan en su punto medio. 55. Po el punto A(2,6) se tazan dos ectas pependiculaes a las bisectices del pime cuadante y del segundo cuadante. Halla: a. Las ecuaciones de dichas ectas. b. Las coodenadas de los vétices del tiángulo fomado po la ecta 3x 13y 8 = 0 con dichas ectas

6 Fenando Baoso Loenzo 56. Halla el valo de m paa que las ectas mx + y = 12 y s 4x-3y = m + 1sean paalelas. Calcula su distancia. Sol: m=-4/3, d(,s)=7 57. La ecta 3 x + ny 7 = 0 pasa po el punto A(2,3) y es paalela a la ecta s mx + 2 y = 13. Calcula m y n 58. Las ectas y = 2x -4 y y = -3x +2 deteminan con el eje de abscisas un tiángulo. Calcula las coodenadas de los vétices del tiángulo y dibuja el tiángulo en tu cuadeno. Calcula el áea del tiángulo. 59. Calcula la ecuación de la ecta que pasa po el punto P(-3, 2) y es paalela a la ecta que pasa po los puntos A(0, -3) y B(4, 2). Halla las coodenadas de los puntos de cote de la ecta cuya ecuación has calculado con los ejes de coodenadas. Calcula el áea del tiángulo que detemina la ecta calculada con los dos ejes de coodenadas. 60. Calcula el haz de ectas en cada uno de los siguientes casos: a. El haz de ectas que pasa po el (1,-2). b. El haz de ectas paalela a la ecta 3x 2y + 5 = 0. c. El haz de ectas pependiculaes a la ecta anteio. d. El haz de ectas que foma un ángulo de 30º con el eje de abcisa. e. El haz de ectas que foma un ángulo de 30º con el eje de odenada. f. El haz de ectas que tiene vecto diecto u = (3, 1). 61. Dadas las ectas 3x + my - 7 =0; 4x + y - 14 =0 y 7x + 2y - 28 =0, detemina m paa que las tes ectas sean ayos del mismo haz. 62. Halla el haz de ectas que pasa po el punto A(3,-1) en foma explícita. Cuál de las ectas del haz es paalela a la ecta 3x-y=2? Cuál de las ectas del haz pasa po el punto medio del segmento de extemos A(4,-1), B(0,-5)? - 6 -